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2013东北师大附中高考第二轮复习 :专题四《三角函数综合练习题》


2013 东北师大附中高考第二轮复习 :专题四《三角函数综合练习题》
一、选择题 1.角α ≠

? 是 tanα ≠1 的( 4

) 。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不对 2.若 y=sinx 是减函数,且 y=cosx 是增函数,那么角 x 所在的象限是( ) 。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列函数中为奇函数的是( ) 。

x 2 ? cos x A.y= 2 x ? cos x
C.y=2
sin x

B.y=

1 ? cos x 1 ? cos x

D.y=lg(sinx+ 1? sin 2 x )

? )的图像,只须将函数 y=sin2x 的图像( ) 。 4 ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 8 8 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 4 1 3? 5.已知 cos(π +α )= - , <α <2π ,则 sin(2π -α )的值是( ) 。 2 2
4.要得到函数 y=cos(2x- A.

1 2

B. ±

3 2

C. ) 。

3 2

D.-

3 2

6.函数 f(x)=

sin x cos x 的值域是( 1 ? sin x ? cos x

A.[- 2 -1,1]∪[-1,

2 -1]

B.[-

2 ?1 2 ?1 , ] 2 2 2 ?1 ,-1 ) ∪(-1, 2 2 ?1 ] 2

C.[-

2 -1, 2

2 -1] 2

D.[-

7.若α 与β 是两锐角,且 sin(α +β )=2sinα ,则α 、β 的大小关系是( ) 。 A.α =β B.α <β C. α >β D.以上都有可能 8.下列四个命题中假命题是( ) A.存在这样的α 和β ,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β ,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对于任意的α 和β ,都有 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 和β ,使得 cos(α +β ) ≠cosα cosβ -sinα sinβ

1 ,则 P=cosxsiny 的值域是( ) 。 2 3 1 1 1 1 3 A.[- , ] B.[- , ] C.[- , ] 2 2 2 2 2 2
9.若 sinxcosy=

D.[-1,1]

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10.关于 x 的方程 x2-xcosAcosB-cos2 A.∠A=∠B B.∠A=∠C

C =0 有一个根为 1,则在△ABC 中一定有( 2
C.∠B=∠C D. ∠A+∠B=

) 。

11.在△ABC 和△A′B′C′中,若 cos

B?C B '?C ' <cos ,则下列关系正确的是( 2 2

? 2
) 。

A.B-C>B′-C′ B.|B-C|>|B′-C′| C.B-C<B′-C′ D.|B-C|<|B′-C′| 12.函数 y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是( ) 。 A.5

1 2

B.6

1 2

C.7

D.8

13.在 0≤x≤2π 范围内,方程 cos2x=cosx(sinx+|sinx|)的解的个数是( ) 。 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 14.函数 y=sinx,x∈[

? 3? , ]的反函数为( 2 2

) 。

A.y=arcsinx,x∈[-1,1] C.y=π +arcsinx,x∈[-1,1] 二、填空题 15.已知 sinα =

B.y= -arcsinx,x∈[-1,1] D.y=π -arcsinx,x∈[-1,1]

? 5 ?1 ,则 sin2(α - )= 4 2



16.在△ABC 中,a、b 分别是角 A 和角 B 所对的边,若 a= 3 ,b=1,B 为 30°,则角 A 的值是 。 17.函数 y=sin2x+2cosx,(

? 2? ≤x≤ )的最小值是 3 3



18.函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=π -arccos(sinx),则当 x<0 时,f(x)的解析式为 f(x)= 。 三、解答题 19.求下列函数的定义域和值域: (1)y=(arcsinx)2+2arcsinx-1 (2)y=arcsin(-x2-x+

1 ) 4

20.在△ABC 中,已知 sinBsinC=cos2

A ,试判断此三角形的形状。 2

21.若 sinx+siny=

3 4 ,cosx+cosy= 5 5

(1)求 cos(x+y)的值; (2)求 cosx?cosy 的值。
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22. △ABC 的角 A、B、C 分别对应边长为 a、b、c,若 A、B、C 成等差数列; (1)比较 a+c 和 2b 的大小; (2)求 cos2A+cos2C 的范围。

23.如图,在平面直角坐标系中,y 轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点 A、B,试在 x 轴正半轴 (坐标原点除外)上求点 C,使∠ACB 取得最大值。

24.设三角函数 f(x)=asin(

kx ? + )(其中 a≠0,k≠0); 5 3

(1)写出 f(x)的最大值 M,最小值 m 和最小正周期 T; (2)试求最小正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个奇数间(包括奇数本身)变化时,函数 f(x)至少 有一个值是 M 与一个值是 m; (3)若 a=1,根据(2)得到的 k 值,用“五点法”作出此函数 f(x)的图像(作一周期的图像) 。

参考答案
【综合能力训练】
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1.B

2.C

3.D

4.A

5.C

6.D

7.B

8.B

9.B

10.A

11.B

12.C

13.D

14.D

15.2 - 5

16.60°或 120° 17.-

1 4

18.f(x)= - arccos(sinx)(x<0) 19.解 (1) ∵y=(arcsinx+1)2 – 2,arcsinx∈[- 1,1]。 (2)y=arcsin[-(x+

? ? ?2 , ],∴y∈[-2, +π -1], 又易知其定义域为 x∈[- 2 2 4

1 2 1 1 1 ?1? 6 ?1? 6 ) + ]。 令-x2-x+ ≥-1 得 ≤x≤ 。 由-1≤-x2-x+ ≤ 2 2 4 4 2 2

1 ? ? 得 y∈[- , ]。 2 2 6
20.解 由已知得 2sinBsinC=1+cosA 即 2sinBsinC=1-(cosBcosC-sinBsinC), ∴cos(B-C)=1 得 B=C。 ∴此三角形是等腰三角形。 21.解 (1)由已知条件得

x? y x? y 3? cos ? ? x? y 3 2 2 5? ? , ? ? tan x? y x ? y 4? 2 4 2 cos cos ? ? 2 2 5? 2 sin
∴cos(x+y)=

7 。 25 1 2

(2)已知两式两边平方相加得 2+2cos(x-y)=1 ? cos(x-y)= - ∴cosxcosy=

1 11 [cos(x+y)+cos(x-y)]= - 。 2 100 A?C B 22.解 (1)B=60°= ,故 2sin = 1。 2 2 A?C A?C B B B ∴a+c=2R(sinA+sinC)=2R?2sin cos ≤2R?2cos ?1=2R?22sin cos = 2 2 2 2 2
2KsinB=2b 即 a+c≤2b(当且仅当 cos

A?C =1,即三角形为等边三角形时取等号)。 2

(2)C=120°-A,且-120°<2A-120°<120° ∴cos2A+ cos2C= =1+

1 1 (1+cos2A)+ [1+cos2(120°-A)] 2 2

1 [cos2A+cos2(120°-A)] 2 1 =1- cos(2A-120°) 2
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∵ cos( 2 A ? 120 ?) ? (? ∴

1 ,1] 2

1 5 ≤cos2A+ cos2C< 。 2 4

23.[解] 设 A(0,a),B(0,b),C(c,0)。

a?0 a =- 0?c c b?0 b KBC= =- 0?c c b a ? ? (? ) c c = a?b ∴tan∠ACB= ab a b 1 ? (? ) ? (? ) c ? c c c
则 KAC= ∵c>0,a>b>0。 ∴a-b>0,c+

ab ≥2 ab c

∴tan∠ACB≤

a?b 2 ab

当且仅当 c=

ab ,即 c= ab 时上式取等号,即当 c 点坐标为( ab ,0)时,∠ACB 取得最大值 c

arctan

a?b 2 ab

(a>b>0) 。

24.解 (1)T=

10? |k|

当 a>0 时,M=a,m= -a。 当 a<0 时,M= -a,m= a。 (2)即要周期

10? ≤2,得|k|≥5π 。 |k|

∴最小正整数 k=16。 (3)略。

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