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08-16全国1卷概率统计大题


1.【2016高考新课标1,理19】 (本小题满分12分)某公 司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作 为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购 买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个 易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用 期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换 的易损零件数发生的概率,记 X 表示2台机器三年内共需 更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易 损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定n的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20之中选其一,应选用哪个?

解:(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需 更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2, 从而 P( X ? 16) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04
P( X ? 17) ? 2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.16
P( X ? 18) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24 P( X ? 19) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.24 P( X ? 20) ? 2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2

P( X ? 21) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08

P( X ? 22) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

所以 X 的分布列为
X P
16
0.04

17
0.16

18
0.24

19
0.24

20
0.20

21
0.08

22
0.04

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 P( X ? 18) ? 0.44 , P( X ? 19) ? 0.68 , 故 n的最小值为19.

2.【2015高考新课标1,理19】某公司为确定下一年度投入 某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年 销售量y(单位: t)和年利润z(单位:千元)的影响,对 近8年的年宣传费 xi 和年销售量 y( · ·,8)数据作 i i =1,2,· 了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
? x
46.6

? ? y
56.3

?? w
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w ? w) ? ( x ? x)( y ? y) ? (w ? w)( y ? y)
2
8
8

8

i ?1

i

i ?1

i

i

i ?1

i

i

?? 1 表中 wi ? xi , w =

289.8

1.6
8 i

1469

108.8

w . ? 8
i ?1

(Ⅰ)根据散点图判断, y=a+bx与y=c+d x 哪一个适 宜作为年销售 量y关于年宣传 费x的回归方程类型?(给出 判断即可,不必说明理由)

2.【2015高考新课标1,理19】某公司为确定下一年度投入 某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年 销售量y(单位: t)和年利润z(单位:千元)的影响,对 近8年的年宣传费 xi 和年销售量 y( · ·,8)数据作 i i =1,2,· 了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
? x
46.6

? ? y
56.3

?? w
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w ? w) ? ( x ? x)( y ? y) ? (w ? w)( y ? y)
2
8
8

8

i ?1

i

i ?1

i

i

i ?1

i

i

?? 1 表中 wi ? xi , w =

289.8

1.6
8 i

1469

108.8

w . ? 8
i ?1

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及 表中数据,建立y关于x的回归方 程; n
?= ?

? (u
i ?1 n

i

? u )(vi ? v)
2 ? u ) i

? (u
i ?1

? =v ? ? ?u ?

解:(1)根据散点图判断,y=c+d x 更适宜作为年销售 量y关于 年宣传费x的回归方程类型.

2.【2015高考新课标1,理19】某公司为确定下一年度投入 某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年 销售量y(单位: t)和年利润z(单位:千元)的影响,对 近8年的年宣传费 xi 和年销售量 y( · ·,8)数据作 i i =1,2,· 了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
? x
46.6

? ? y
56.3

?? w
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w ? w) ? ( x ? x)( y ? y) ? (w ? w)( y ? y)
2
8
8

8

i ?1

i

i ?1

i

i

i ?1

i

i

?? 1 表中 wi ? xi , w =

289.8

1.6
8 i

1469

108.8

w . ? 8
i ?1

(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x. 根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (ⅰ)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?

3.【2014课标Ⅰ,理18】从某企业生产的 某种产品中抽取500件, 测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下图频率分布直 方图: 2 x (I)求这500件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 s (同 一组的数据用该组区间的中点值作代表);

(II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标 Z 服从正态分

2 2 2 s 布 N ? ? , ? ? ,其中? 近似为样本平均数 x , 近似为样本方差 . ? (i)利用该正态分布,求 P ?187.8 ? Z ? 212.2? ; (ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记 X 表示这100件产 品中质量指标值位于区间 ?187.8, 212.2? 的产品件数.利用(i)的结果, 求 EX .

附: 150 ? 12.2
若 Z ~ N ? ? ,? 2 ? , 则 P ? ? ? ? ? Z ? ? ? ? ? ? 0.6826 , 。
P ? ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ? ? 0.9544

4.【2013课标全国Ⅰ,理19】(本小题满分12分)一批产品需 要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作 检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这 批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过 检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优 质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不 能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优 质品的概率都为 0.5,且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都 需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位: 元),求X的分布列及数学期望.

5.【2012全国,理18】某花店每天以每枝5元的价格从农场 购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当 天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元) 关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得 下表:
日需求量n
频数

14
10

15
20

16
16

17
16

18
15

19
13

20
10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概 率. ①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位: 元),求X的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进 16枝还是17枝?请说明理由.

6. 【2011全国,理18】根据以往统计资料,某地车主购买 甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险 的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率; (2) X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买 的车主数.求X的期望.

7.【2010新课标,理19】(12分)为调查某地区老年人是否需要志 愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人, 结果如下: (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助 与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人 中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由. 附:
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001

k

3.841

6.635

10.828

2 n(ad - bc) K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

8.【2009全国卷Ⅰ,理19】甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先 胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的 概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结 果相互独立.已知前2 局中,甲、 乙各胜1局. (Ⅰ)求甲获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设ξ 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布 列及数学期望.

9.【2008全国1,理20】(本小题满分12分) 已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来 确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结 果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化 验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2 只中任取1只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验 次数的概率; (Ⅱ)? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望.

10.【2006全国,理18】(本小题满分12分) A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对 比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另 2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有 效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲 类组,设每只小白鼠服用A有效的概率为 ,服用B有效的 概率为 。 (Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率。 (Ⅱ)观察3个试验组,用 表示这3个试验组中甲类组的 个数,求 的分布列和数学期望。

11.【2015高考新课标1,理4】投篮测试中,每人投3次, 至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中 的概率为0 .6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同 学通过测试的概率为( A ) (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 12.【2011全国新课标,理4】有3个兴趣小组,甲、乙 两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小 组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的 概率为 ( ) A 3 1 2 1 A.3 B. C. D.4 2 3

13.【2014课标Ⅰ,理5】4位同学各自在周六、周日两天 中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公 益活动的概率为( D )

1 A. 8

3 B. 8

5 C. 8

7 D. 8

14.【2010新课标,理6】某种种子每粒发芽的概率都为0.9, 现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2 粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( B ) A.100 B.200 C.300 D.400

15.【2012全国,理15】(某一部件由三个电子元件按下图 方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工 作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常 工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的 概 率为__________.

3 【答案】: 8


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