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函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法


函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法
1.函数: ⑴函数:一般地,设 A, B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则 f ,对于集合 A 中 的每一个元素 x ,在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,那么,这样的对应叫做 A到B 的 一个函数,通常记为:

y ? f ( x), x ? A
其中,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y ? f ( x) 的定义域。 ⑵值域:若 A是函数y ? f ( x)的定义域 ,则对于 A 中的每一个 x ,都有一个输出值 y 与之对立,我们将所有输出值 y 组成的集合称为函数的值域。 ⑶列表法、解析法、图象法是函数的常用方法: 用列表法表示函数关系, 不必通过计算就可以知道自变量取某个值时, 相应的函数值是 多少;用解析法表示函数关系,便于用解析式研究数的性质;而用图象法表示函数关系,可 以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况。 2.函数的简单性质: ⑴单调性: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内的任意两个 值 x1 , x2 ,当 x1<x2 时,都有

f ( x1 )<f ( x2 )
那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调增区间。 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1<x2 ,都有

f ( x1 )>f ( x2 )
那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调减函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调减区间。 ⑵最大值及最小值: 一般地,设 y ? f ( x) 的定义域为 A ,如果存在 x0 ? A ,使得对于任意的 x ? A ,都有

f ( x) ? f ( x0 )
那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最大值,记为

ymax ? f ( x0 )

如果存在 x0 ? A ,使得对于任意的 x ? A ,都有

f ( x) ? f ( x0 )
那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最小值,记为

ymin ? f ( x0 )
⑶奇偶性: ①对于函数 f ( x) ? x2 ,当自变量取一对相反数时,它们的函数值相等。如:

f (?2) ? 4 ? f (2)
实际上,对于函数 f ( x) ? x2 定义域 R 内任意一个 x ,都有 f (? x) ? x2 ? f ( x) ,这时 我们称函数 f ( x) ? x2 为偶函数。 ②对于函数 f ( x) ? ? 数。如:

1 ( x ? 0) ,当自变量取一对相反数时,它们的函数值也互为相反 x

f (?2) ?

1 ? ? f (2) 2

1 定 义 域 ?x | x ? R, x ? 0? 内 任 意 一 个 x , 都 有 x 1 1 f ( ? x) ? ? ? f ( x,这时我们称函数 ) f ( x) ? ? ( x ? 0) 为奇函数。 x x
实 际 上 , 对 于 函 数 f ( x) ? ? ③一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,如果对于任意的 x ? A 都有

f (? x) ? f ( x)
那么称函数 y ? f ( x) 是偶函数。 如果对于任意的 x ? A ,都有

f ( ? x) ? ? f ( x)
那么称函数 y ? f ( x) 是奇函数。 如果函数 f ( x ) 是奇函数或偶函数,我们就说函数 f ( x ) 具有奇偶性。 根据函数定义可知:偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称。 3.映射: 一般地,设 A, B 是两个非空集合,如果按某种对应法则 f ,对于 A 中的每一个元素, 在 B 中都有惟一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射,记



f : A?B
4.二次函数的解析式的三种形式: (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 5.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式:

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0

? | f ( x) ?

f ( x) ? N M ?N M ?N |? ?0 ? 2 2 M ? f ( x)

?

1 1 ? . f ( x) ? N M ? N

6. 方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 b ?? ? k2 . 2 2a
7.闭区间上的二次函数的最值:

k ? k2 b ? 1 , 或 f (k 2 ) ? 0 且 2a 2

2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区 2a

间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, 若x ? ?

b b ? ? p, q ?, ( ) nm ? f ( ? ,) (f )x 则 fx i 2a 2a

xm a xm a

? (f,)p ( )? fq

?;

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b ? ? p, q ? , 则 f ( xm (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ) i? m?i nf p ( ) f q (若 ) ?, , n 2a b x?? ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a x??
8.函数的单调性: ⑴设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

⑵设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果

f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数.
9.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数

y ? f [ g ( x)] 是增函数.
10.奇偶函数的图象特征: 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 11.若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶 函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 12.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴 是函数 x ? 称. 13 . 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若

a?b a?b ; 两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对 2 2 a 2

f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数.
14.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性: 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 15.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性: ⑴函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

? f (2a ? x) ? f ( x) .

⑵函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
16.两个函数图象的对称性: ⑴函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. ⑵函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? ⑶函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

a?b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

17.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图 象. 18.互为反函数的两个函数的关系:

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
19. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ?

1 [f k

?1

( x ) ? b] , 并 不 是

y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ?
20.几个常见的函数方程:

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

⑴正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . ⑵指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .
x

⑶对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . ⑷幂函数 f ( x) ? x , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? .
?
'

⑸余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

21.几个函数方程的周期(约定 a>0): ⑴ f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T ? a ; ⑵ f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 , 或 f ( x ? a) ?

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x)

或 f ( x ? a) ? ?

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x)



1 ? 2

f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T ? 2a ;

⑶ f ( x) ? 1 ?

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T ? 3a ; f ( x ? a)
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

⑷ f ( x1 ? x2 ) ?

f ( x) 的周期 T ? 4a ;
⑸ f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a)

? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T ? 5a ;
⑹ f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T ? 6 a .


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