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2.1.2 指数函数及其性质(二)(人教A版必修1)


2.1.2

指数函数及其性质(二)
自主学习

1.理解指数函数的单调性与底数 a 的关系,能运用指数函数的单调性解决一些问题. 2.理解指数函数的底数 a 对函数图象的影响. 基础自测 1.下列一定是指数函数的是( ) A.y=-3x B.y=xx(x>0,且 x≠1) C.y=(a-2)x(a>3) D.y=(1- 2)x x x 2. 指数函数 y=a 与 y=b 的图象如图,则( )

A.a<0,b<0 B.a<0,b>0 C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 x 3.函数 y=π 的值域是( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.R D.(-∞,0) 4.若指数函数 f(x)=(a+1)x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围为( ) A.a<2 B.a>2 C.-1<a<0 D.0<a<1 对点讲练 比较大小问题 【例 1】 比较下列各题中两个值的大小: - - (1)3π 与 33.14; (2)0.99 1.01 与 0.99 1.11; (3)1.40.1 与 0.90.3.

规律方法 比较两指数大小时,若底数相同,则先构造出该底数的指数函数,然后利用 单调性比较;若底数不同,则考虑选择中间量,通常选择“1”作为中间量. 4?1 2 ? 2?3 ?3?1 变式迁移 1 比较? ?3?3,23,?-3? ,?4?2的大小.

解简单的指数不等式 【例 2】 如果 a2x 1≤ax 5(a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围.
+ -

规律方法 解 af(x)>ag(x)(a>0 且 a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性,它的一般

步骤为

变式迁移 2 已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1 x,则 x 的取值范围是____________.


指数函数的最值问题 a 【例 3】 (1)函数 f(x)=ax(a>0, 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 , 求 a 的值; 2 2x x (2)如果函数 y=a +2a -1(a>0 且 a≠1)在[-1,1]上有最大值 14,试求 a 的值.

规律方法 指数函数 y=ax(a>1)为单调增函数,在闭区间[s,t]上存在最大、最小值, 当 x=s 时,函数有最小值 as;当 x=t 时,函数有最大值 at.指数函数 y=ax(0<a<1)为单调减 函数,在闭区间[s,t]上存在最大、最小值,当 x=s 时,函数有最大值 as;当 x=t 时,函数 有最小值 at. 变式迁移 3 (1)函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为 6,求 a 的值; 1 (2)0≤x≤2,求函数 y=4x- -3· 2x+5 的最大值和最小值. 2

1.指数函数的定义及图象是本节的关键.通过图象可以求函数的值域及单调区间. 2.利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小 (1)当两个正数指数幂的底数相同时,直接利用指数函数的单调性比较大小. (2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时,可利用两个指数函数的图象比较它们 的大小. (3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时,可考虑能否利用“媒介”数来 比较它们的大小. 3.通过本节的学习,进一步体会分类讨论思想在解题中的应用. 课时作业

一、选择题 1.下图分别是函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx 的图象,a,b,c,d 分别是四 4 3 1 数 2, , , 中的一个,则相应的 a,b,c,d 应是下列哪一组( ) 3 10 5

4 1 3 4 3 1 A. , 2, , B. 2, , , 3 5 10 3 10 5 3 1 4 1 3 4 C. , , 2, D. , , , 2 10 5 3 5 10 3 - 2.已知 a=30.2,b=0.2 3,c=(-3)0.2,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 1 2a+1 1 3-2a 3.若( ) <( ) ,则实数 a 的取值范围是( ) 2 2 1 1 A.(1,+∞) B.( ,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞, ) 2 2 1 1b 1a 4.设 <( ) <( ) <1,则( ) 3 3 3 A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa ax, x>1 ? ? 5.若函数 f(x)=? 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为 a ??4-2?x+2, x≤1 ? ( ) A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) 二、填空题 6.当 x∈[-1,1]时,函数 f(x)=3x-2 的值域是____________. 7.a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是____________. 1 - 8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等式 f(x)<- 的 2 解集是__________. 三、解答题 + - 9.解不等式 ax 5<a4x 1 (a>0,且 a≠1).

1 1 3 10.已知函数 f(x)=?2x-1+2?· ? ?x.

(1)求 f(x)的定义域;

(2)判断 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0.

2.1.2

指数函数及其性质(二)

答案

基础自测 1.C 2.C 3.A 4.C 对点讲练 【例 1】 解 (1)构造函数 y=3x. ∵a=3>1, ∴y=3x 在(-∞,+∞)上是增函数. ∵π>3.14,∴3π>33.14. (2)构造函数 y=0.99x. ∵0<a=0.99<1, ∴y=0.99x 在(-∞,+∞)上是减函数. - - ∵-1.01>-1.11,∴0.99 1.01<0.99 1.11. x x (3)分别构造函数 y=1.4 与 y=0.9 . ∵1.4>1,0<0.9<1,∴y=1.4x 与 y=0.9x 在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数. ∵0.1>0,∴1.40.1>1.40=1. ∵0.3>0,∴0.90.3<0.90=1, ∴1.40.1>1>0.90.3,∴1.40.1>0.90.3. 4?1 2 ? 2?3 ?3?1 变式迁移 1 解 将? ?3?3,23,?-3? ,?4?2分成如下三类: 2?3 (1)负数? ?-3? ; 3?1 (2)大于 0 小于 1 的数? ?4?2; 4?1 2 (3)大于 1 的数? ?3?3,23. 4?1 1 1 2 ∵? ?3?3<43,而 43=23, 2 3 1 4 1 2 - ?3<? ? <? ? <2 . ∴? 3 ? ? ?4?2 ?3?3 3 + - 【例 2】 解 (1)当 0<a<1 时,由于 a2x 1≤ax 5, ∴2x+1≥x-5,解得 x≥-6. (2)当 a>1 时, + - 由于 a2x 1≤ax 5, ∴2x+1≤x-5,解得 x≤-6. 综上所述,x 的取值范围是: 当 0<a<1 时,x≥-6; 当 a>1 时,x≤-6. 1 变式迁移 2 ( ,+∞) 2 1 7 解析 a2+a+2=(a+ )2+ >1. 2 4 2 x ∴y=(a +a+2) 在 R 上是增函数.

1 ∴x>1-x,解得 x> . 2 1 ∴x 的取值范围是( ,+∞). 2 【例 3】 解 (1)①若 a>1,则 f(x)在[1,2]上递增,最大值为 a2,最小值为 a. a 3 ∴a2-a= ,即 a= 或 a=0(舍去). 2 2 ②若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上递减, 最大值为 a,最小值为 a2. a 1 ∴a-a2= ,即 a= 或 a=0(舍去), 2 2 1 3 综上所述,所求 a 的值为 或 . 2 2 x (2)设 t=a ,则原函数可化为 y=(t+1)2-2,对称轴为 t=-1. ①若 a>1,∵x∈[-1,1], 1 ∵t=ax 在[-1,1]上递增,∴0< ≤t≤a; a 1 ∴y=(t+1)2-2 当 t∈[ ,a]时递增. a 故当 t=a 时,ymax=a2+2a-1. 由 a2+2a-1=14, 解得 a=3 或 a=-5(舍去,∵a>1). 1 ②若 0<a<1,t=ax 在[-1,1]上递减,t∈[a, ], a -2 -1 ymax=a +2a -1=14, 1 1 解得 a= 或 a=- (舍去). 3 5 1 综上,可得 a= 或 3. 3 变式迁移 3 解 (1)∵f(x)=ax 在[1,2]上是单调函数, ∴f(x)在 1 或 2 时取得最值. ∴a+a2=6, 解得 a=2 或 a=-3, ∵a>0,∴a=2. 1 2x 1 (2)y= · 2 -3· 2x+5= (22x-6· 2x)+5 2 2 1 1 = (2x-3)2+ . 2 2 ∵x∈[0,2],1≤2x≤4, 1 ∴当 2x=3 时,y 最小值= , 2 5 当 2x=1 时,y 最大值= . 2 课时作业 1.C 2.B [c<0,b=53>3,1<a<3,∴b>a>c.] 1 3.B [函数 y=( )x 在 R 上为减函数, 2 1 ∴2a+1>3-2a,∴a> .] 2 4.C [由已知条件得 0<a<b<1, ∴ab<aa,aa<ba,∴ab<aa<ba.] 5.D [因为 f(x)在 R 上是增函数,故结合图象知

? ?4-a>0 ? 2 a ? ?4-2+2≤a
5 - ,1? 6.? ? 3 ?

a>1

,解得 4≤a<8.]

7.c>a>b 解析 y=0.8x 为减函数,∴0.80.7>0.80.9, 且 0.80.7<1,而 1.20.8>1,∴1.20.8>0.80.7>0.80.9. 8.(-∞,-1) 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0. 当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x) =2x-1. 1 - 当 x>0 时,由 1-2 x<- 得 x∈?; 2 1 当 x=0 时,f(0)=0<- 不成立; 2 1 因此当 x<0 时,由 2x-1<- 2 得 x<-1. 综上可知 x∈(-∞,-1). 9.解 当 a>1 时, 原不等式可变为 x+5<4x-1. 解得 x>2; 当 0<a<1 时, 原不等式可变为 x+5>4x-1. 解得 x<2. 故当 a>1 时,原不等式的解集为(2,+∞); 当 0<a<1 时,原不等式的解集为(-∞,2). 10.(1)解 由 2x-1≠0,得 x≠0. ∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)解 由于函数 f(x)的定义域关于原点对称, 1 1 3 f(-x)=?2-x-1+2?· ? ? (-x) 2x 1 1 1 3 ? =- 1-2x+2?x3=?2x-1+2?· ? ? ? ?x =f(x), 所以 f(x)为偶函数. 1 (3)证明 当 x>0 时, x >0,x3>0, 2 -1 ∴f(x)>0, 又∵f(x)为偶函数, ∴x<0 时,f(x)>0, 综上所述,对于定义域内的任意 x 都有 f(x)>0.


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