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《数列》《平面向量》《排列组合》《二项式定理》基础知识、题型、方法(新)


2012 届高三理科数学高考考前复习资料四

《数列》基础知识、题型、方法
一、 一、等差、等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式记住了?性质与函数关系理解了?用 等比数列求前 n 项和时应注意什么?查考纲要求。 等差数列 等比数列 2 ? 定义 ? an ? a ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N ) ? ? q (常数) ? ? n an ?1 an ? 0 (两项 ? ? 的关 an ? a1 ? q n?1 ? sn ? m ? m ? q n 系) 通项公 a am ? an ? q m?n ? q m?n ? m ; 式 an 前n项 和公式
?na1 , q ? 1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) n ? 1 ? q ? A ? Aq , q ? 1 ? ?na1 , q ? 1 ? Sn ? ? a1 ? an q ? 1 ? q ?, q ? 1 ?

单调性

an ? dn ? (a1 ? d )(d ? 0, 递增;d ? 0, 递减;d ? 0, 常数列) sn ? An 2 ? Bn (当A=d ? 0, (n,Sn )是 经过原点的二次函数上孤立的点)

对称性 题 1:若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = ▲注意:证明或研究等差、等比数列时用定义.

若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q (答:-1)

题 2.【链接】【综合训练三 19】已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0), an ? 2 ? p ? 非零常数, n ? N * ) 。 (1)判断数列 ?

an ?12 (其中 p 为 an

? an ?1 ? (3)当 a ? 1 时,令 ? 是不是等比数列?(2)求 an ; ? an ?
2

bn ?

n ?3 n ? 2 nan ? 2 , S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 S n 。 (? an ? a n?1 p 2 , n ? N* ; an

? n(n ? 1) , p ? 1, ? ) ? 2 ? n(n ? 1) Sn ? ?? , p ? ?1, 2 ? ? p (1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1. ? 2 2 1 ? p2 ? (1 ? p )

题 3.已知各项为正数的等差数列 ? an ? 的前 20 项和为 100, 那么 a7 ? a14 的最大值为

(

)

A.25

B.50

C.100 D.不存在

( A) (- 3 )

a98 是方程 x 2 ? mx ? 3 ? 0 题 4.等比数列{ a n }中, (m ? 0) 的两根, 则 a 50 = a2 、
若把条件中的“ m ? 0 ”换成“ m ? 0 ”呢?( 3 )

若把条件中的“ a 2 、 a 98 ”换成“ a1 、 a 99 ”呢?(± 3 )注意:等比中项的符号问题
1

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3.数列求和中的分组求和、错位相减法,裂项、叠加相消法、倒序相加法掌握了吗?还有那些求和 方法?适用题型分别是什么?重温模块复习学案《数列》。 ▲判断求和的方法应该抓住数列的通项进行判断。 如
n ?1 2n ? 5 1 ? n ____; n 2 n ?1 = _______ (2 ? 1)(2 ? 1) ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2

n ?1 1 =_________ ? ____ , n (n ? 2) 2 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)
2

题 5.已知数列 ? an ? 的通项公式是 an ? ? ?1?

n

? n ? 1? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? (



A.?55 B.?5 C.5 D.55 ( C) 题 6.【链接】【2013 广州调研测试 20 题】在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递 增的等比数列,将这 n ? 2 个数的乘积记为 An ,令 an ? log 2 An , n ?N * . (1)求 An 的前 n 项和 S n ;(2)求 Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ? ? tan a2 n ? tan a2 n ? 2 .

? ?

4、求数列的通项: 重看《优化设计》或模块复习学案《数列》相应的内容 (1)形如 an ?1 ? an ? f (n) (累加法或迭代法)得 an ? a1 ? ? f (k )
k ?1 n ?1

(n ? 2)

(2)形如 an ?1 ? f (n)an (累乘法或迭代法)得 an ? a1 ?

? f (k )
k ?1

n ?1

(n ? 2) 【综合训练三 19】

q ? 0, ) 待 定 系 数 法 : 设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) , 比 较 得 (3) 形 如 an ?1 ? pan ? q( p ? 1,p ? 0,
??
q ,得 ? q q ,转化为类型 1: q ? 成等比数列, an ? (a1 ? ) p n ?1 ? . ?an ? ? 1? p 1 ? p 1 ? p 1 ? p ? ?

(4)形如 an ?1 ? pan ? f (n)( p ? 1, p ? 0) ,转化为类型 1: (5)形如 an ?1 ? pan ? qan ?1

an ?1 p n ?1

an ?1 an q ? n ? n ?1 , n ?1 p p p a a f ( n) ? n ? n ?1 ,令 bn ? nn , n p p p

(n ? 2) ;

当 p ? q ? 1时, an ?1 ? an ? ?q(an ? an ?1 ) ,则 {an ?1 ? an } 成等比数列,得 an ?1 ? an ? (?q) n ?1 (a2 ? a1 ) , 再由类型 1 可解。 an ? x ( 当 p ? q ? 1 时 , 存 在 实 数 x1 , x2 满 足 an ?1 ? x 1 ,与已知等式比较得 2an ? x a 1 n? ) 1

x1 ? x2 ? p, x1 x2 ? ?q , 把 x1 , x2 看做一元二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个根,容易求出 x1 , x2 ,
故数列 {an ?1 ? x1an } 成等比数列,可得 an ?1 ? x1an ? x2 (a2 ? x1a1 ) ,再由类型 4 即可求出 an :若
n n x1 ? x2 ,则 an ? ? x1n ? ? x2 ;若 x1 ? x2 ,则 an ? (? ? ? n) x1 ;
n ?1

(6) pan ?1an ? an ? an ?1

型(取倒数构造等差、等比数列)

2 ? an 1 1 , 如 a1 ? 1,3an an ?1 ? an ? an ?1 ? 0(n ? 2) an ? 1 ( 1 ? ) , ? ?1 ? an ?1 ? ( , an?1 ? 1 an ? 1 an ? 1 2 ? an 3n ? 2 ) 1 2 1 1 an ?1 ? an 2 Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1 , a n ? a n ?1 ? 2 n an ? ? 4? 2 4n ? 3 ) a n ?1 an ( , , (*) (8)形如 a n ?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,

周期为其通项分为奇数项和偶数项来讨论. (*) (9)形如 a n ?1 ? a n ? f (n) 型
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①若 a n ?1 ? a n ? p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其 通项分奇数项和偶数项来讨论; ②若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a n ? a n ?1 ? f (n ? 1) ,两式相除后,分奇偶 项来分求通项. ( 10 )形如 S n ? f (an ) 或 Sn ? f (an ?1 ) 等:利用 an ? ? ?
S1 , n ? 1 ? S n ? S n ?1 , n ? 2

或者由 S n ? f (an ) 构造关系式

Sn ?1 ? f (an ?1 ) 化和为项.
▲由 a n ? sn ? sn ?1 ,求数列通项时注意到 n ? 2 ?)由前 n 项和推出的通项公式有严格的范围限制 ( n ? 2 ),只有当单独计算出的 a1 亦满足所推出的该公式时,才可统一用该式表示数列的通项公 式,否则则需用分段函数的形式进行表示。 ▲求通项公式,有时可以先算出前面若干项,然后猜想通项公式,在用数学归纳法证明 题 7.

?an ? 的前 n 项和为 S n ,

1, n ? 1,) a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn (n ? N * ) 求 {an } 的通项及 S n .( ? an ? ? ? n?2
n ?1

3 ,n ≥ 2. ???

题 8.

?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S

n

?5? * ? n ? 5a n ?85 ( n ? N )求 ? an ? 的通项公式.( an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6?

题 9【链接】 :13 年广州一模 19 题: {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n (n ? . (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等差数列,试判断 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 是否 成等比数列?并说明理由.

题 10.(2012 年广州调研 20)已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 3 ,且 an ?1 ? an ? 2an ?1 ? n≥2 ? . (1)设 bn ? an ?1 ? ? an ,是否存在实数 ? ,使数列 ?bn ? 为等比数列.若存在,求出 ? 的值,若不 存在,请说明理由; (2)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n .

题 11.(2011 年广州一模 13)已知函数 f ( x) 满足 f (1) ? 2 , 对任意 x, y ? R 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) , f ( y) 记 为

? ai ? a1 ? a2 ?? ? an ,则 ? f (6 ? i) 的值
i ?1 i ?1

n

10

32

5、根据条件求通项时注意表达式的转换变形,如: 广东考试大纲的说明题型示例 23(2009 年广东) ▲.求数列中最值问题可与函数的单调性、 基本不等 式、导数函数等知识联系,在需要用到数列的单调 性时可以通过比较相邻两项的大小进行判断。
3

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7.数列参与的不等式恒成立问题的处理方法类似函数,转换求数列的最值或分离参数法,较常为
转换求数列的最值

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) 2 2 (I)设 bn ? an ? n ,证明:数列{ bn }是等比数列; (II)求数列{n bn }的前 n 项和 Tn ;
题 12.(数列学案 1)数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ? (**) (III)若 (答案: (1) 求不超过 P 的最大整数的值。

1 bn ? ( ) n ;(2) 2

?1? 1? ? ? ?2? ? n ? 2? n? 2 Tn ? 1 2n 2n 1? 2

n

(3)2013)

题 13.(综合训练题九 20)已知数列 ? an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , S n 为其前 n 项
2 和,且满足 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1 )求 a1 、 d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
n

(3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值; 若不 存在,请说明理由.

▲数列与解析几何。如:2009 年广东 20, 题 14.如图,曲线 y ? x( y ? 0) 上的点 Pi 与 x 轴的正半
2

轴 上 的 点 Qi 及 原 点 O 构 成 一 系 列 正 三 角 形 边长为 an ,n∈N﹡(记 Q0 为 O ), Qn ? Sn , 0 ? . (1)求 a1 的值;

OPQ 1 1, Q 1P 2Q2 , ?, Qn ?1 P n Qn , ?. 设 正 三 角 形 Qn ?1 P n Qn 的
P (2)求数列{ an }的通项公式 an ;( an ?

P2
1

P
3

2 n) 3

1
(3)求证:当 n ? 2 时,

an

2

?

1 a n ?1
2

?

1 an ? 2
2

???

1 a2 n
2

?

3 2

O

Q1

Q2

▲数列与函数、不等式的综合问题. 2012 广东 20 ,2013 年广州一模文 21、理 21, 2013 广州 二模 21,2012 年广州二模 21 题
1? 题 15.(数列学案 5).已知函数 F ? x ? ? 3x ? 2 , ? ? x ? ?. 2x ?1 ? 2? 1 2 2008 ? ? ? ? ? ? 求F? ??F? ? ? ... ? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

(I) (II) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? F ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an ?

2n ? 1 .

(答案: (1) 3012; (? 2) an ? 1 ?

1 2n ? 2n ? 1 2 n ? 1 )

4

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* 题16.《2013年广州二模21题》设 an 是函数 f ? x ? ? x ? n x ? 1 n ? N 的零点.

3

2

?

?

(1)证明: 0 ? an ? 1 ;(**)(2)证明:

n 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? . n ?1 2

题 17.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,对于任意的 p, q ? N * ,有 a p ? q (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足: an ? 求数列 {bn } 的通项公式;
n

? a p ? aq
( an ? 2n )

b b b1 b b ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? …… ?(?1)n ?1 n n (n ? N * ) , 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 ( bn ? (?1)n?1 (2n?1 ? 2) (n ? N * ) )
*

(**)(3)设 Cn ? 3 ? ? bn (n ? N ) ,是否存在实数 ? ,当 n ? N * 时, Cn?1 ? Cn 恒成立,若存在, 9 3 求实数 ? 的取值范围,若不存在,请说明理由。 ( ? ? (? , ) ) 14 8 题 18.(2010 年广州二模)21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 和 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ,且对任意 n ? N * 都有 an ? bn ? 1 ,

an ?1 b ? n 2. an 1 ? an 1 n (1) 求数列 ? an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ( an ? , bn ? 1 ? an ? ) n ?1 n ?1 a a a a a a a a (2) 证明: 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n . b2 b3 b 4 bn ?1 b1 b2 b 3 bn

▲放缩法证明数列不等式: 1、和式数列不等式

?a
i ?1

n

i

? f (n) 成立的一个充分条件: ?
i

?a1 ? f (1) ?an ? f (n) ? f (n ? 1)

2、和式数列不等式

?a
i ?1

n

? c 的证明

(1) 可以加强不等式为成立 个充分条件: ?

?a
i ?1

n

i

? c ? g (n), 其中g (n)与an 的解析式有关,然后利用它成立的一

?a1 ? c ? g (1) (注意从第几项开始运用(*) ,如放得过大,保留前 ?an ? g (n ? 1) ? g (n)(n ? 2)(*)
? na1 , q ? 1 , ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) , q ? 1 ? 1? q ?

面若干项不放) (2)可以利用等比数列的前 n 和公式

当 0 ? q ? 1 时, S n ?

a1 a qn a ? 1 ? 1 ,特别是 an 的解析式与指数式有关。 1? q 1? q 1? q

3、同理积式数列不等式

?a
i ?1

n

i

? f (n), ? ai ? c 也可以按以上两种思路证明
i ?1

n

5

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平面向量《基础知识回归》
问 1:平面向量的加减法的几何意义你理解吗? ??? ? ???? ??? ? ???? | AB ? AC | ? | AB ? 题 1: (1)⊿ABC 中,若 (直角) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC | ,则⊿ABC 为_______三角形; ? ( AB ? AC ) ? 0 ,则⊿ (2) (2)若 ( AB ? AC )? ABC 为 _______ 三角形 . ( 等腰 ) ? 问 2:下列结论成立吗?反思: (均不成立) 0 有关的结论你知道多少? ? ? ? 0与 ? 0 有何区别?与 ? ?? ? ? ? b ? b? a ?? ? b? b ? c,则 题 2:① a ? b ? ?? ? R, a ? ( ? ); ② ?若 ? a ? b, ? ? a ??c ( ? ); ③ a? b )? c=a? (b? c) ( ); ⑥ | a?b | = | a |? | b | ( ). ⑦ a ? b ? a ? b( ) ④ a? ⑤(a ? (b ? c) ? a? b ? a? c; 问 3:单位向量、相等向量、共线向量等概念你理解吗?怎样的两个向量可作为平面一组基底? ? 题 3:(1)非零向量 a 的单位向量是____;( 2) ? ABCD 中 A(-2,1), B(-1,3), C(3,4), 则 D(_____). ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? (3) AB ? e1 ? ke2 , CB ? 2e1 ? e2 , CD ? 3e1 ? e2 , 若 A, B, D 三点共线,则 k=____.( ? a ? ;(2, 2) ; 2 )
|a|

问 4:两平面向量的数量积、夹角、模长是怎样定义和计算的?有关公式你记住了吗?会用吗?什 么情况下用坐标公式、什么情况利用几何意义?

a+2b|=_____; 题 4:(1)若 | a |? 3,| b |? 4, a与b 的夹角为 120? ,则|
(2) 在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为( )A .20 B. ? 20 C. 20 3 D. ? 20
? ?
? ?

?

?

? ?

?

?

(7)
3

(B)

? ? (3)已知 a =2, b =3, a ? b = 7 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( )A.? B.? C. ? D. ? (C) 4 3 6 2

(4)已知向量 a ? (1,1), 2a ? b ? (4, 2) ,则向量 a, b 的夹角为( ) A.

? ? ? ? 总结反思:(1) a, b 的夹角为钝角等价于 a, b 的数量积小于 0 吗?为什么?(不等价)

? ? ? ? B. C . D . 6 4 3 2

(B)

(2)在三角形中,向量的夹角与三角形的内角的关系清楚了吗?(题 4(2)) 问 5:向量与三角函数、复数、解析几何综合题常有联系,要灵活应用向量定义与性质。 题 5:已知点 A(1 , 1) 和单位圆上半部分上的动点 B .⑴若 OA ? OB ,求向量 OB ;⑵求 | OA ? OB | 的最大值. ( 3? ; 3 2 ? 1)
4
? 65 5

问 6:投影的概念理解吗?题 6:若 a ? ?2,3?, b ? ?? 4,7 ?, a ? c ? 0, 则c在b方向 上的投影为__

排列组合《基础知识回归》
1.排列数、组合数运算变形: (1) (n ? 1)! ? (n ? 1)n!, nn! ? (n ? 1)!? n! ,

n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!

n ?m m ?1 m r r r r ?1 Cr (2) Cm ; (3) Cm 由此得: n ? Cn n ? Cn ?1 ? Cn ?1 , r ? Cr ?1 ? Cr ? 2 ? ? ? Cn ? Cn ?1 ;

▲.记数列{ a n }的前 n 项和为 S n ; a n ? n(n ? 1) = C2 n ?1 ,
2
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 则 S19 = C2 2 ? C3 ? C4 ? ? ? C20 = C3 ? C3 ? C4 ? ? ? C20 = C4 ? C4 ? ? ? C20 =…= C 21 =1330;

2.解决排列组合问题通常“先选后排”、“正难则反”(即去杂法) 、特殊元素、特殊位置优先等策略; 题 1. (2007 福建) 某通讯公司推出一组手机卡号码, 卡号的前七位数字固定, 从“ ???????0000 ” 到“ ???????9999 ”共 10000 个号码. 公司规定: 凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的一律作为 “优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) . C A.2000 B.4096 C.5904 D.8320
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解析:直接考虑带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的情况太多,逐一讨论非常麻烦;考虑事件的反面:后四位不 带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的,有 84 个,故“优惠卡”的个数为 104-84=5904. 题 2.四位同学乘坐一列有 6 节车厢的动车组,则他们至少有两人在同一节车厢的的情况共 有 种?(用数字作答). (936) 3.几个常见的类型:注意分类做到不重复不漏 (1)元素“相邻”(捆绑法)与“不相邻”问题 (2) “特殊元素”和“特殊位置”问题 (3)部分元素有顺序( n 个元素全排,其中 m 个元素要求按给定顺序排列的方法数为 n! ) , Cm n (n ? m)! = m! (4) “至多、至少、恰好”问题 n n n Cn nk C(k ?1)n C(k ? 2)n ? Cn (**)④平均分组( kn 个元素平均分成 k 组的方法数为 ) , k! (**) (4)相同元素分组(用“挡板法”) (5)穷举法、树状图 题 3.某校安排 6 个班到 3 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不 同的安排方法共有 种.
C6 C 4 C 2 4 2 ( C6 + C3 )×A 3 6 C3 + 3 =540 3!
2 2 2

题 4.某文艺小分队到一个敬老院演出,原定 6 个节目,后应老人们的要求决定增加 3 个节目,但 原来六个节目的顺序不变,且新增的 3 个既不在开头也不在结尾,则这台演出共有 种不同 4 3 3 2 2 的演出顺序. C 7 A 3 或 A 5 + A 3 A 5 +5 A 3 3 =210

二项式定理《基础知识回归》 r n ?r r 1. 二项式定理是 ; 项的个数及通项公式;Tr ?1 ? Cn a b ,其中 a 按降幂排列,b 按升幂排列. n n (a ? b) 与(b ? a) ▲ 的通项一样吗? r 2. 二项式系数的性质: C n (r=0,1,2,3┅n) 0 1 n 0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ; Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2 n ?1 ; Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2 n ?1 ; 1)
2) 二项式系数的最大项问题 3.二项式系数与项的系数的区别。
3 5 题 1.求(1-2x) 10 第四项的二项式系数和中间项的系数; ( C10 ? 120, C10 (?2)5 ? ?8064 ) 1 题 2.(2007 重庆理 4)若 (x ? ) n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( ).B x A.10 B.20 C.30 D.120

4.求有理项、常数项、x 项、整式项、中间项、奇数项系数等;如:
1? ? 题 3. (2007 全国Ⅱ卷理 13) (1 ? 2x 2 ) ? x ? ? 的展开式中常数项为 ? x?
n
8

6

. .

(-42) (7)

1 ? 3 题 4 (2007 安徽理 12)若 ? ? 3x ? ? 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 ? x?

5.对二项式中的 a、b 赋值能解决一系列的问题(特殊值法的应用)。若
n (2 ? 3x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n 则▲ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a n ? n n 5 ? 2 ;▲ a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n ? ? ? ▲ a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? an ? (?1) n ▲ a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? ? ? ▲ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?

;5 ; 5n ? (?1)n
2 5n ? (?1) n 2

n



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2012 届高三理科数学高考考前复习资料四

答案: 题 14.(3) 由 (2) 得
? 9? 1 1 1 ? ? ?? 2 ? ? 2 2 4 ? n (n ? 1) 4n ?
?

an ?

2 9 9 9 当 n ? 2 时,1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? n, ?? 2 2 2 2 2 3 4(n ? 1) 4 ? 4n 2 an an ?1 an ? 2 a2 n 4n
? 9? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )?( ? ) ??? ( ? )? ? 4 ? n ?1 n n n ?1 2n ? 1 2 n ?

9 1 1 9(n ? 1) ,欲证 9(n ? 1) 3 ,只需证 3n ? 3 ? 4n2 ? 4n ,即证 4n2 ? 7n ? 3 ? 0 , ? ( ? )? ? 4 n ? 1 2n 8n(n ? 1) 8n(n ? 1) 2
设 f (n) ? 4n ? 7n ? 3 ,当 n ? 7 时,f(n)递增.而当 n ? 3 时,有 f (n) ? 0 成立.所以只需验证 n=2 8 9 1 9 52 9 61 3 .综上,原不等式成立. 时不等式成立.事实上, ? ? ? ? ? ? 16 4 64 64 64 64 2 * 题 17.解: (3) Cn ? 3n ? (?1)n?1 (2n?1 ? 2) ? ? 假设存在 ? ,使 Cn?1 ? Cn (n ? N )
2

? 9? 1 1 1 ? ?? ? 4 ? n(n ? 1) n(n ? 1) 2n(2n ? 1) ? ?

3n?1 ? (?1)n (2n?2 ? 2) ? ? ? 3n ? (?1)n?1 (2n?1 ? 2) ? ? .
[(?1)n (2n?2 ? 2) ? (?1)n?1 (2n?1 ? 2)] ? ? ? 3n ? 3n?1 ? ?2 ? 3n .
当 n 为正偶数时, (3 ? 2
n ?1
?1 (? 1n) ( ?3 n 2? n ? 4 ?) ? ? . 2 ? 3

? 4)? ? ?2 ? 3n 恒成立, ? ? (?
1 9 .∴ ? 14

3n 1 )max ? (? ) 2 n 1 max 3 ? 2n ? 2 3 ? ( ) ? 2 ? ( )n 3 3

∴ (?

1 2 1 3 ? ( ) n ? 2( ) n 3 3

) max ? ?

2 1 3 ? ( ) 2 ? 2( ) 2 3 3

??

??

9 14

????11 分
3 3n 1 )min ? ( )min ∴ ? ? . n 2 1 8 3? 2 ? 2 3 ? ( )n ? 2( )n 3 3

当 n 为正奇数时, ?(3 ? 2n?1 ? 4) ? ? ? ?2 ? 3n 恒成立.∴ ? ? ( 综上可知,存在实数 ? ? (?

9 3 , ) ,使 n ? N * 时, Cn?1 ? Cn 恒成立. 14 8

????14 分

an ?1 b 1 ? n 2= ∴ 1 ? 1 ?1 , an 1 ? an 1+an an?1 an 1 1 1 1 1 1 1 (2)证明: 即 ? ? ? ? ? ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? ? ? ? ? . 2 3 4 n ?1 2 3 n
* 题 18. (1)解:∵对任意 n ? N 都有 an ? bn ? 1 ,

① 先证右边不等式: ln ?1 ? n ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ., 令 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x ,

? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 , 即 ln ?1 ? x ? ? x .
当 x ? 0 时, f
'

2

3

n

则 f ' ? x ? ? 1 ?1 ? ? x . 1? x 1? x ?8 分

分别取 x ? 1, , ,?,

1 1 2 3

1 .得 ln ?1 ? 1? ? ln ?1 ? 1 ? ? ln ?1 ? 1 ? ? ? ? ln ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 . ? ? ? ? ? ? n 2 3 n ? 2? ? 3? ? n?

3 4 n ?1 ? 1 1 1 即 ln ??1 ? 1???1 ? 1 ???1 ? 1 ?????1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 .也即 ln ? ? 2 ? ? ??? ? ?1? ? ??? . ? ?? ? ? ?? ? 2 3 n ? 2 3 n 2 3 n ? ? 2? ? 3? ? n ?? ?

即 ln ?1 ? n ? ? 1 ? ②

1 1 1 ? ??? . 2 3 n

?10 分

1 1 1 1 则 ? ? ??? ? ln ?1 ? n ? . 令 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x , 2 3 4 n ?1 1? x 1 1 x .当 x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , , f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 , 即 ln ?1 ? x ? ? x .?12 分 f ' ? x? ? ? ? 2 2 1? x 1 ? x ?1 ? x ? ?1 ? x ?

再 证 左 边 不 等 式 :

8

2012 届高三理科数学高考考前复习资料四

?1 3 ? ,代入曲线 y 2 ? x( y ? 0) 得 3 a 2 ? 1 a ,? a ? 0,? a ? 2 ; 题 14.(1)由条件可得 P a , a1 ? 1 1 1 1 1? 1 ? ? ?2 2 ?

4

2

3

2 (2) ? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ∴点 Pn ?1 ( Sn ? 1 an ?1 , 3 an ?1 ) 代入曲线 y ? x( y ? 0) 并整理得

2 2 * 3 2 1 3 2 1 3 2 1 an ?1 ) ? ( an ? an ) Sn ? an ?1 ? an ?1 ,于是当 n ? 2, n ? N 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ( an ?1 ? 4 2 4 2 4 2

2 (n ? 2, n ? N * ) 3 2 4 3 2 1 4 2 2 2 又当 n ? 1时, S1 ? a2 ? a2 ,? a2 ? (? 舍去) ? a2 ? a1 ? ,故 an ?1 ? an ? (n ? N * ) 4 2 3 3 3 3 2 2 2 所以数列{ an }是首项为 、公差为 的等差数列, an ? n ; 3 3 3 2 (3) 由(2)得 an ? n ,当 n ? 2 时, 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 2 2 2 2 3 an an an a2 ?1 ?2 n
即 1 (an?1 ? an ) ? 3 (an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ,? an ?1 ? an ? 0,? an ?1 ? an ?

?

? 9? 1 1 1 ? ?? ? 4 ? n(n ? 1) n(n ? 1) 2n(2n ? 1) ? ? 1 9(n ? 1) 9? 1 1 1 1 1 1 ? 9 1 , ? ?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? ( ? )? 4 ? n ?1 n n n ?1 2n ? 1 2 n ? ? 4 n ? 1 2n 8n(n ? 1)
9 9 9 ? ?? 4n2 4(n ? 1)2 4 ? 4n 2
? 9? 1 1 1 ? ? ?? 2 ? 2 2 4? n ( n ? 1) 4 n ? ?

?

9(n ? 1) 3 ? ,只需证 3n ? 3 ? 4n2 ? 4n ,即证 4n2 ? 7n ? 3 ? 0 , 8n(n ? 1) 2 7 2 设 f (n) ? 4n ? 7n ? 3 ,当 n ? 时,f(n)递增.而当 n ? 3 时,有 f (n) ? 0 成立.所以只需验证 n=2 8 9 1 9 52 9 61 3 时不等式成立.事实上, ? ? ? ? ? ? .综上,原不等式成立. 16 4 64 64 64 64 2 题 17.解: (1)取 p ? n, q ? 1,则 an?1 ? an ? a1 ? an ? 2 ∴ an?1 ? an ? 2 ( n ? N * )
欲证 ∴ {an } 是公差为 2 ,首项为 2 的等差数列 ∴ an ? 2n ????4 分 b b b b b (2)∵ 1 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ??? ? (?1) n?1 n n ? an ( n ? 1) ① 2 ? 1 2 ? 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

b ?1 b1 b ? 2 2 ? ??? ? (?1)n ?2 n ?n ? an?1 (n ? 2) 2 ?1 2 ?1 2 1 ?1 bn n ?1 ? 2 (n ? 2) ∴ bn ? (?1)n?1 (2n?1 ? 2) (n ? 2) ①-②得: (?1) n 2 ?1

1

② ????6 分 ????8 分

b1 n?1 n ?1 * ∴ b1 ? 6 ,满足上式 ∴ bn ? (?1) (2 ? 2) (n ? N ) 3 * n (3) Cn ? 3 ? (?1)n?1 (2n?1 ? 2) ? ? 假设存在 ? ,使 Cn?1 ? Cn (n ? N )

当 n ? 1 时, a1 ?

3n?1 ? (?1)n (2n?2 ? 2) ? ? ? 3n ? (?1)n?1 (2n?1 ? 2) ? ? .
[(?1)n (2n?2 ? 2) ? (?1)n?1 (2n?1 ? 2)] ? ? ? 3n ? 3n?1 ? ?2 ? 3n .
当 n 为正偶数时, (3 ? 2
n ?1
?1 (? 1n) ( ?3 n 2? n ? 4 ?) ? ? . 2 ? 3

? 4)? ? ?2 ? 3n 恒成立, ? ? (?
1 9 .∴ ? 14

3n 1 )max ? (? ) 2 n 1 max 3 ? 2n ? 2 3 ? ( ) ? 2 ? ( )n 3 3

∴ (?

1 2 1 3 ? ( ) n ? 2( ) n 3 3

) max ? ?

2 1 3 ? ( ) 2 ? 2( ) 2 3 3

??

??

9 14

????11 分

9

2012 届高三理科数学高考考前复习资料四

当 n 为正奇数时, ?(3 ? 2n?1 ? 4) ? ? ? ?2 ? 3n 恒成立.∴ ? ? (
3 1 1 3 ] ? ? .∴ ? ? . 8 2 n 1 n min 2 1 1 1 8 3( ) ? 2( ) 3( ) ? 2( ) 3 3 3 3

3n 1 )min ? ( ) 2 n 1 min 3 ? 2n ? 2 3 ? ( ) ? 2( )n 3 3

∴[

综上可知,存在实数 ? ? (?

9 3 , ) ,使 n ? N * 时, Cn?1 ? Cn 恒成立. 14 8

????14 分
? 1 ? an 1 . ? 2 1 ? an 1 ? an

题 18. (1)解:∵对任意 n ? N * 都有 an ? bn ? 1 , ∴

an ?1 b ? n 2, an 1 ? an

∴ an ?1 ? bn
an

1? a

2 n

?1? 1 1 1 1 1 ? ? 1 . ?2 分∴数列 ? ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. ? ? 1 ,即 an ?1 an an ?1 an a1 ? an ?

∵ a1 ? b1 , 且 a1 ? b1 ? 1 ,∴ a1 ? b1 ? ∴ an ?

1 . 2



1 ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1 . an

?4 分

1 n , bn ? 1 ? an ? .?6 分 n ?1 n ?1 a 1 1 n (2)证明: ∵ an ? , bn ? , ∴ n ? . bn n n ?1 n ?1
∴所证不等式 a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an ?1 ? ln ?1 ? n ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , b2 b3 b 4 bn ?1 b1 b2 b 3 bn
2 3 n 1 1 1 ① 先证右边不等式: ln ?1 ? n ? ? 1 ? ? ? ? ? .令 2 3 n

即 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 .
2 3 4 n ?1

f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x , 则 f ' ? x ? ?

? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 , 即 ln ?1 ? x ? ? x . ?8 分
当 x ? 0 时, f
'

1 x . ?1 ? ? 1? x 1? x

分别取 x ? 1, , ,?,

1 1 2 3

1 1? 1 1 1 ? 1? ? 1? .得 ln ?1 ? 1? ? ln ? ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ln ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? . n 2 3 n 2 3 n ? ? ? ? ? ?

1 1 1 ? 1? ? 1? ? 1 ?? 即 ln ? ?? ? 1 ? ?? ? 1 ? ?? ?1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? . ??1 ? 1?? 2 3 n ? 2? ? 3? ? n ?? ?

1 1 1 3 4 n ?1? 1 1 1 也即 ln ? ? 2 ? ? ??? ? ? 1 ? ? ? ? ? .即 ln ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n . ?10 分 2 3 n ? 2 3 n ?
② 再证左边不等式: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln ?1 ? n ? .
2 3 4 n ?1 x x 令 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? , 则 f ' ? x? ? 1 ? 1 . ? 1? x 1 ? x ?1 ? x ?2 ?1 ? x ?2

? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 , 即 ln ?1 ? x ? ? x .
当 x ? 0 时, f
'

1? x

?12 分

分别取 x ? 1, , ,?,

1 1 2 3

1 1? 1 . ? 1? ? 1? 1 1 .得 ln ?1 ? 1? ? ln ? 1 ? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? n 1? n ? 2? ? 3? ? n? 2 3

10

2012 届高三理科数学高考考前复习资料四

? 1? ? 1? ? 1 ?? 1 1 1 . 即 ln ? ?? ? 1 ? ?? ? 1 ? ?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ??1 ? 1?? 1? n ? 2? ? 3? ? n ?? 2 3 ? 3 4 n ?1? 1 1 1 . 也即 ln ? 即 ln ?1 ? n ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 . ? 2 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 n 2 3 1 ? n 2 3 1? n ? ?

∴ a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an ?1 ? ln ?1 ? n ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an . ?14 分
b2 b3 b4 bn ?1 b1 b2 b3 bn

数列、函数、不等式。链接:《2012 年广州二模 21 题》 1 1 7 题 1. (本小题满分 14 分)已知数列 {bn } 满足 bn ?1 ? bn ? ,且 b1 ? , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 4 2 (1)求 {bn } 的通项公式; (2)如果对于任意 n ? N * ,不等式 解: (1)对任意 n ? N ,都有 bn ?1 ?
*

12k ? 2n ? 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 ? n ? 2Tn

1 1 1 1 1 bn ? ,所以 bn?1 ? ? (bn ? ) 2 4 2 2 2 1 1 1 则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? ? 3 ,公比为 ????2 分 2 2 2 1 1 n ?1 1 n ?1 1 所以 bn ? ? 3 ? ( ) , bn ? 3 ? ( ) ? ????4 分 2 2 2 2 1 1 n ?1 1 3(1 ? n ) 1 1 1 n n 1 n ??7 分 (2)因为 bn ? 3 ? ( ) ? ,所以 2 Tn ? 3(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? ? ? 6(1 ? n ) ? 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
1?

2n ? 7 * 12k 因为不等式 对任意 n ? N 恒成立 ?????8 分 ? 2n ? 7 ,化简得 k ? n 2 (12 ? n ? 2Tn ) 2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n 设 cn ? ,则 cn ?1 ? cn ? ? ? n?1 n 2 2n?1 2n 2 当 n ? 5 , cn ?1 ? cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ? n ? 5 , cn ?1 ? cn , {cn } 为 单调递增数列 ?11 分 1 3 3 ? c4 ? c5 ? ,所以, n ? 5 时, cn 取得最大值 ????13 分 16 32 32 2n ? 7 3 * 所以, 要使 k ? 对任意 n ? N 恒成立, k ? ????14 分 n 2 32
数列、解几、不等式,链接:(理科)模拟题(一)21 题 题 4.(07 四川)已知函数 f(x)=x2-4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交 点为(xn+1,0) (,N +) ,其中为正实数. (Ⅰ)用 xx 表示 xn+1; (Ⅱ)若 a1=4,记 an=lg
xn ? 2 ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; xn ? 2

2

(Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.
11

2012 届高三理科数学高考考前复习资料四

题 4..(Ⅰ)由题可得 f '( x) ? 2 x . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线方程是: y ? f ( xn ) ? f '( xn )( x ? xn ) . 即 y ? ( xn ? 4) ? 2 xn ( x ? xn ) .令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2 xn ( xn ?1 ? xn ) .
2 2

即 xn ? 4 ? 2 xn xn ?1 .显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ?
2

xn 2 ? . 2 xn

( xn ? 2) 2 xn 2 ( xn ? 2) 2 xn 2 ? ,知 xn ?1 ? 2 ? ? ? 2 ? (Ⅱ)由 xn ?1 ? ,同理 xn ?1 ? 2 ? . 2 xn 2 xn 2 xn 2 xn
故 从而 lg

xn ?1 ? 2 x ?2 2 ?( n ) . xn ?1 ? 2 xn ? 2

xn ?1 ? 2 x ?2 ,即 an ?1 ? 2an .所以,数列 {an } 成等比数列. ? 2 lg n xn ?1 ? 2 xn ? 2
2 xn ? 2 ? 2n ?1 lg 3 .从而 xn ? 2 ? 32 所以 xn ? 2(3 ? 1) xn ? 2 xn ? 2 32 ? 1
n?1

故 an ? 2n ?1 a1 ? 2n ?1 lg x1 ? 2 ? 2n ?1 lg 3 .即 lg
x1 ? 2

n?1

n?1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 xn ?
n?1

2(32 ? 1) 3
2n?1

n?1

?1

,∴ bn ? xn ? 2 ?

4 3
2n?1

?1

?0

2 1 1 1 ∴ bn ?1 ? 3 n ? 1 ? n?1 ? 2n?1 ? 21?1 ? 2 2 1 bn 3 3 ?1 3 ?1 3 3

当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 .

1 1 1 bn?1 ? ( )2 bn ?2 ? ? ? ( ) n?1 b1 3 3 3 1 n 1 n 1 1 n ?1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? b1 ? b1 ? ? ? ( ) b1 b1[1 ? ( 3 ) ] ? 3 ? 3 ? ( ) ? 3 . ? 3 3 3 1
当 n ? 1 时, bn ?
1? 3

综上, Tn ? 3 (n ? N *) . 问题 4、数列与不等式、二项式综合 数列与不等式相联系的综合题也是常考题型,要注意把数列的逆推性与不等式问题的思考 方法结合起来,联系分析,寻求解题思路. 例 4.在数列 {an } 中, a1 ? 1,
2

an ?1 n ? n ? 1(n ? N *) an 2

(Ⅰ)试比较 an an ? 2 与 an ?1 的大小; (Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, an

? 3?

n ?1 . 2n?1

12

2012 届高三理科数学高考考前复习资料四

解: (Ⅰ)由题设知,对任意 n ? N * ,都有 an

?0


?

an ?1 n an ? 2 n ? 1 ? 2n ?1 n ? 2n ? n ?1 ? , ? ? an 2 2n an 2n ?1

2 ? an an ? 2 ? an ? 1? (

an an ? 2 2 2n n ? 1 ? 2n ?1 2 ? )an ? 1? ( ? ? 1)an ? n n ?1 an ?1 an ?1 n?2 2

1

n ? 1 ? 2n ?1 1? n 2 2 2 ? 1)an an ? an an ? 2 ? an ?1 ? ?1 ? 0 , ?1 n n 2(n ? 2 ) 2(n ? 2 ) 3 9 (Ⅱ)证法 1:由已知得, a1 ? 1, a2 ? , a3 ? . 2 4 a n ? n ?1 ? n ? 1 ? 1,? an ?1 ? an , 又 a1 ? 1,? an ? 1(n ? 2) . an 2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 当 n ? 3 时, an ? ( n ?1 ? 1)an ?1 ? n ?1 an ?1 ? an ?1 ? n ?1 ? an ?1 ? an ? an ?1 ? n ?1 2 2 2 2 9 3 4 n ?1 ? an ? a3 ? (a4 ? a3 ) ? (a5 ? a4 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 4 2 2 2 3 4 n ?1 1 3 4 n ?1 设 S ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ① 则 S ? 4 ? 5 ??? ② 2 2 2 2 2 2 2n ?(
①-②,得

1 1 ? 1 3 1 1 1 n ? 1 3 16 2n n ? 1 S ? 4 ? ( 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ) ? n ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 8 1? 1 2 2 3 1 1 n ?1 n ?1 9 n ?1 n ?1 n ?1 ? S ? ? ? n?2 ? n?1 ? 1 ? n?1 . ? an ? ? 1 ? n?1 ? 2 ? 1 ? n?1 ? 3 ? n?1 4 4 2 2 2 4 2 2 2 3 9 证法 2:由已知得, a1 ? 1, a2 ? , a3 ? . 2 4 n ?1 9 (1) 当 n ? 3 时,由 3 ? n ?1 ? 2 ? ,知不等式成立。 2 4 k ?1 (2) 假设当 n ? k (k ? 3) 不等式成立,即 ak ? 3 ? k ?1 ,那么 2
ak ?1 ? (
要证 即证

ak ?1

k k (k ? 1) ? 2 k ?1 ,则只需证 2k ? k ? 1 k ?1 2 2
k

k ?1 k (k ? 1) k ? 2 ) ? 3 ? 2 k ?1 ? k ?1 k ?1 2 2 2 2 2 (k ? 1) ? 1 k (k ? 1) k ? 2 k ?2 ? 3 ? ( k ?1) ?1 ,只需证 ? 2 k ?1 ? k ?1 ? ? k 2 2 2 2 k
k

? 1)ak ? (

k

k

? 1)(3 ?

因为 2

1 1 ? Ck0 ? Ck ? Ckk ? Ck0 ? Ck ? k ? 1 成立,所以 ak ?1 ? 3 ?

(k ? 1) ? 1 2( k ?1) ?1

成立.

这就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式仍然成立. 根据(1)和(2) ,对任意 n ? N * ,且 n ? 3 ,都有 an

? 3?

n ?1 2n ?1

13


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