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思睿班高一数学测试卷


我们的努力引领成绩的飞跃

我们的努力引领成绩的飞跃
(A) a ? 0, a ? 1 (B) a ? 1 (C)

思睿班高一数学测试卷
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

a?1 2

( D) )

a ? 1或a ? 1 2

/>8.若 ? 是第一象限角,则 sin ? ? cos ? 的值与 1 的大小关系是( A. sin ? ? cos ? ? 1 C. sin ? ? cos ? ? 1 B. sin ? ? cos ? ? 1 D.不能确定 )

思睿班寄语:亲爱的同学们,当你选择了思睿班,你就选择了走向优秀,走向了求知 者的乐园。在这里你将学会专注的表情、体验“学不可以矣”的心情,我们将倾心尽 力狠抓重点在这 20 天的学习生活中我们将夯实普通学生的基础知识,我们将拔高优 等学生的解题能力。希望我们共同进步,让你养成一种方法,一种态度,一种习惯, 为你美好的将来灌入钢筋混凝土。
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 函数 y ? 2x ?1 ? 3 ? 4x 的定义域为( A.
1 3 (? , ) 2 4

9.在△ ABC 中,若 sin C ? 2cos A sin B ,则此三角形必是(

) D.
1 (? ,0) ? (0,??) 2

B.

1 ? 2.函数 y ? ?2sin( x ? ) 的周期,振幅,初相分别是( ) 2 4 ? ? ? ? A. , 2 , B. 4? , ?2 , ? C. 4? , 2 , 4 4 4 4
x x

1 3 [? , ] 2 4

C.

1 3 (??, ] ? [ ,??) 2 4

A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 10.如图,在△ ABC 中, AD 、 BE 、 CF 分别是 BC 、 CA 、 AB 上的中线,它们交于 点 G ,则下列各等式中不正确的是( ) A 2 A. BG ? BE B. CG ? 2GF F E 3 G 1 1 2 1 C. DG ? AG D. DA ? FC ? BC B C D 2 3 3 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 4 sin ? ? 2 cos ? 11.已知 a ? (3 , 1) , b ? (sin ? , cos ? ) ,且 a ∥ b ,则 = . 5 cos ? ? 3sin ? 12 . 函 数 y ? l o 1g 3x 2 ? ax ? 5 在 ?? 1,??? 上 是 减 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ___

D. 2? , 2 ,

? 4

3. 设 f ?x? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过中 得 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) 4. 函数 f(x)=sinx·cosx 是 ( ) A.周期为π 的偶函数 C.(1.5,2)
? 的偶函数 2

?

?

2

_________________. 13. 已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0} .若 A 中至多有一个元素,则 a 的取值范围是

) D.不能确定 D.周期为 )
? 的奇函数. 2

14.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm 2 ,则扇形的圆心角的弧度数是 三、解答题(共 5 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知 A= {x | a ? x ? a ? 3} ,B= {x | x ? 1, 或x ? ?6} . (Ⅰ)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围.

.

B.周期为π 的奇函数 C.周期为

5.已知函数 f(x) ? 4 ? a x?1 的图象恒过定点 p,则点 p 的坐标是 ( A.( 1,5 ) B.( 1, 4) C.( 0,4) 6.给出命题( ) (1)零向量的长度为零,方向是任意的. (2)若 a , b 都是单位向量,则 a = b . (3)向量 AB 与向量 BA 相等. (4)若非零向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A , B , C , D 四点共线. 以上命题中,正确命题序号是 A.(1) B.(2) C.(1)和(3) D.( 4,0)

D.(1)和(4) )

7.函数 y ? (2a2 ? 3a ? 2)a x 是指数函数,则 a 的取值范围是 (

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16.
x x 已知函数 f ( x) ? sin ? 3 cos , x ? R . 2 2

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18.已知 f ?x ? ? log a
1? x ?a ? 0, 且a ? 1? (1)求 f ?x ? 的定义域; (2)证明 f ?x ? 为奇 1? x

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期,并求函数 f ( x) 在 x ?[?2? , 2? ] 上的单调递增区间; (2)函数 f ( x) ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数 f ( x) 的图象.

函数; (3)求使 f ?x ? >0 成立的 x 的取值范围

.

19. 17. 设平面内的向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OM ? (2,1) ,点 P 是直线 OM 上的一个 动点,且 PA PB ? ?8 ,求 OP 的坐标及 ?APB 的余弦值.

已知向量 a ? (cos

3x 3x x x ? ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [ , ? ] . 2 2 2 2 2

(1)求 a b 及 a ? b ; (2)求函数 f ( x) ? a b ? a ? b 的最大值,并求使函数取得最大值时 x 的值.

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我们的努力引领成绩的飞跃 试卷参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 B 5 A 6 A 7 C 8 A 9 A 10 C

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∴ x ? 2 y ? 0 ,即 x ? 2 y ,有 OP ? (2 y, y) . ∵ PA ? OA ? OP ? (1 ? 2 y,7 ? y) , PB ? OB ? OP ? (5 ? 2 y,1 ? y) , ∴ PA PB ? (1 ? 2 y)(5 ? 2 y) ? (7 ? y)(1 ? y) , 即 PA PB ? 5 y 2 ? 20 y ? 12 .

二、填空题 11.

5 7

12. ?? 8,6?

13. ?a | a ?

? ?

9 ? , 或a ? 0 ? 8 ?

14. 2 又 PA PB ? ?8 , ∴ 5 y 2 ? 20 y ? 12 ? ?8 ,

三、解答题 15. 20.Ⅰ、 a ? 6 ? a ? ?2

?

?

Ⅱ、 a a ? 1 ? a a ? ?9

?

? ?

?

所以 y ? 2 , x ? 4 ,此时 OP ? (4, 2) .

PA ? (?3,5), PB ? (1, ?1) .
16.解: y ? sin

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) . 2 2 2 3 2? (1)最小正周期 T ? ? 4? . 1 2 1 ? ? ? 令 z ? x ? ,函数 y ? sin z 单调递增区间是 [ ? ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ) . 2 3 2 2 ? 1 ? ? 由 ? ? 2 k? ? x ? ? ? 2 k ? , 2 2 3 2 5? ? ? 4 k? ? x ? ? 4 k ? , k ? Z . 得 ? 3 3 5? ? 5? ? ? x ? ,而 [? , ] ? [?2? , 2? ] , 取 k ? 0 ,得 ? 3 3 3 3 x x 5? ? , ]. 所以,函数 y ? sin ? 3 cos , x ?[?2? , 2? ] 得单调递增区间是 [? 2 2 3 3

于是 PA ? 34, PB ? ∴ cos ?APB ?

2, PA PB ? ?8 .

PA PB PA ? PB

?

?8 4 17 . ?? 17 34 ? 2

18.解: (1)?

1? x x ?1 ? 0,? ? 0, 即?x ? 1??x ? 1? ? 0. 1? x x ?1

?? 1, ? ?1 ? x ? 1,? f ?x?的定义域为 1?
(2)证明:? f ?x?的 定 义 域 为 ?? 1, 1?关 于 原 点 对 称

1? x 1? x ?1? x ? ? f ?x ? ? loga ,? f ?? x ? ? loga ? loga ? ? 1? x 1? x ?1? x ?
(3)解:当 a>1 时, f ?x ? >0,则

?1

? ? loga

1? x ? ? f ?x ? ? f ?x ? 中为奇函数. 1? x

? ? (2)把函数 y ? sin x 图象向左平移 ,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象, 3 3 ? 再 把 函 数 y ? sin( x ? ) 的 图 象 上 每 个 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 2 倍 , 纵 坐 标 不 变 , 得 到 函 数 3 x ? y ? sin( ? ) 的图象, 2 3
然后再把每个点的纵坐标变为原来的 2 倍,横坐标不变,即可得到函数

1? x 1? x 2x ? 1 ,则 ? 1 ? 0, ?0 1? x x ?1 x ?1

? 2 x?x ? 1? ? 0,? 0 ? x ? 1
因此当 a>1 时,使 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围为(0,1).

当0 ? a ? 1 时, f ? x ? ? 0, 则0 ?

x ? y ? 2sin( ? ) 的图象. 2 3
17.解:设 OP ? ( x, y) . ∵点 P 在直线 OM 上, ∴ OP 与 OM 共线,而 OM ? (2,1) ,

1? x ?1 1? x

1? x ? 1 ? 0, 1? x 则 1? x ? 0, 1? x

解得 ? 1 ? x ? 0

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因此 当0 ? a ? 1 时, 使 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围为(-1,0).

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19.解: (1) a b ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x , 2 2 2 2

a ? b ? (cos

3x x 3x x ? cos )2 ? (sin ? sin )2 2 2 2 2

? 2 ? 2(cos

3x x 3x x cos ? sin sin ) 2 2 2 2

? 2 ? 2cos 2 x ? 2 cos x
∵ x ?[

?
2

,? ] ,

∴ cos x ? 0 .

∴ a ? b ? ?2 cos x . (2) f ( x) ? a b ? a ? b ? cos 2 x ? 2cos x ? 2cos x ? 2cos x ? 1
2

1 3 ? 2(cos x ? ) 2 ? 2 2
∵ x ?[

?

2

,? ] ,

∴ ?1 ? cos x ? 0 ,

∴当 cos x ? ?1 ,即 x ? ? 时 f max ( x) ? 3 .

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