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集合间的基本关系


1.理解集合之间的包含与相等的含义.

2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系.
3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.

1.本课重点是对子集、真子集、空集等概念的理解. 2.本课难点是子集有关概念的简单运用.

1.Venn图 封闭 Venn图表示集合的优点在于:形象直观,通常用平面上_____ 内部 代表集合. 的曲线 的_____ _______

2.子集、真子集、集合相等的定义、符号表示及图示
集合A是集合B的子集是 任意一个元素 指集合A中____________ 集合B 中的元素. 都是______
集合A与集合B相等是指: 都是 A中的任何一个元素____ B中的元素,同时B中的 任何一个元素也都是 ____A中 的元素. 图示: B A

A ? B或B ? A 符号:
A是B的真子集指的是:
A?B A ? B并且_______.

图示:

符号:

图示:

符号:

A (B )

A=B ____

B

A

A? ? B或 B? ?A

3.空集 任何 元素的集合. 定义:不含_____ (1)符号表示:___. ? 子集 (2)规定:空集是任何集合的_____.

1.正整数集N*是自然数集N的子集吗? 提示:是.集合N*中的元素都是集合N中的元素,因此N*?N. 2.?和 ? {? ? }有什么区别? 提示:?是空集,不含任何元素; {? ? ? }是集合,且此集合中含 有一个元素? ?.

3.列举集合{1,3}的所有子集_____. 【解析】由集合子集的含义可知,此集合的所有子集是?, ?

{1},{3},{1,3}.
答案:?, {1},{3},{1,3} ?

4.设集合A={三角形},B={等腰三角形},C={等边三角形},则
集合A、B、C之间的真包含关系是______.
? B? ? 【解析】等边三角形一定是等腰三角形,所以 C? ? ? A. ? B? ? 答案:C? ? ?A

1.子集概念解读
若A?B,则A有以下三种情况: ①A是空集; ②A是由B的部分元素构成的集合; ③A是由B的全部元素构成的集合.

2.集合间的关系与实数中的结论对比 实 数
? B. A? ?





a≤b包含两层含义:a=b或

A?B包含两层含义:A=B或

a<b.
若a≥b,且a≤b,则a=b.

若A?B,且B?A,则A=B.

若a≤b,b≤c,则a≤c.

若A?B,B?C,则A?C.

4.关于空集的两点说明
(1)空集首先是集合,只不过空集中不含任何元素. (2)规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.因
?B的问题时,务必优先考虑A=?是否满足 此遇到诸如A?B或A? ? ?

题意.

5.对符号“∈”与“?”的三个提醒 (1)“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如有1∈N,-1? ? N. (2)“?”是表示集合与集合之间的关系,比如有N?R, {1,2,3}?{3,2,1}. (3)“∈”的左边是元素,右边是集合,而“?”的两边均为 集合.

集合间关系的判断 【技法点拨】 判断集合间关系的程序 (1)准备活动:分析、化简每个集合. (2)方法分析:此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法将各 个集合在数轴上表示出来,以形定数. (3)验证端点:验证端点值,一般含“=”用实心点表示,不含

“=”用空心圈表示.

【典例训练】 1.下列关系中正确的个数为( )

①0∈{0};②?? ?? ? {0};③{0,1}?{(0,1)};④{(a,b)}=
{(b,a)}. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2.指出下列集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={x∈Z|x2=1};

(2)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0};
(3)已知集合A={x|x=1+a2,a∈R},B={y|y=a2-4a+5,a∈R}.

【解析】1.选B.对①,集合{0}含有1个元素0,故0∈{0}正 确;对②,由于空集是任何非空集合的真子集,故②正确;对 ③,{0,1}是数集,而{(0,1)}是点集,故③错误;对④, {(a,b)}与{(b,a)}是不同的点集,故④错误. 2.(1)由x2=1,得x=〒1,∴B={-1,1},故A=B; (2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A、B,如图所示,可以发
? B. 现 A? ?

(3)∵x=1+a2≥1,a∈R, ∴A={x|x=1+a2,a∈R}={x|x≥1}, ∵y=a2-4a+5=(a-2)2+1≥1,a∈R,

∴B={y|y=a2-4a+5,a∈R}={y|y≥1}.
∴A=B.

【想一想】(1)解答本题1时易出现什么错误?

(2)当集合中含有无数个元素时,判断集合间关系时常用什么
方法?

提示:(1)解答本题1时易出现认为③④也正确的错误.
(2)当集合中含有无数个元素时,常用数轴分析法,借助数形 结合求解.

确定集合的子集、真子集 【技法点拨】

子集、真子集的结论及求法
(1)与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素,则有: ①A的子集的个数为2n个; ②A的真子集的个数为2n-1个;

③A的非空子集的个数为2n-1个;
④A的非空真子集的个数为2n-2个. 以上结论在求解时可以直接应用.

(2)求给定集合的子集的一般方法 求给定集合的子集(真子集)时,一般按照子集所含的元素个数 分类,再依次写出符合要求的子集 ( 真子集 ). 在写子集时注意 不要忘记空集和集合本身.

【典例训练】
? A,则集合B=______. 1.已知集合A={0,1,2},且B? ? ? 2.已知集合A?{x∈N| -1<x<3},且A中至少有一个元素为奇数, ?

则这样的集合A共有多少个?并用恰当的方法表示这些集合.
? A,∴B是A的真子集,又A={0,1,2},∴集 【解析】1.∵B? ?

合B=?或 ? {0}或{1}或{2}或{0,1}或{0,2}或{1,2}.
答案:?或 ? {0}或{1}或{2}或{0,1}或{0,2}或{1,2}

2.这样的集合共有3个.
? {0,1,2}且A中至少有一个 ∵{x∈N|-1<x<3}={0,1,2},又A? ?

元素为奇数,
∴当A中含有1个元素时,A可以为{1}; 当A中含有2个元素时,A可以为{0,1},{1,2}.

【思考】对于集合的子集,能否将B的子集A理解为是由B的

“部分元素”组成的?
提示:不能这样理解,如?是任何集合的子集,但不含任何元 ?

素.

由集合间关系求参数问题

【技法点拨】
由集合间关系求参数的方法及关注点 (1)方法 ①若集合中的元素是一一列举的,依据集合之间的关系,转化 为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集,常借助于数轴转化为不等式 (组)求解,此时需注意端点值能否取到. (2)关注点:对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.

【典例训练】

1.(2012·郑州高一检测)已知集合A={-1,3,m2},且B={3,
4},B?A,则m=______.
? B,求a的取值范围. 2.已知集合A={x|0≤x<4},B={x|x<a},若A? ?

【解析】1.由于B?A,则有m2=4,解得m=〒2. 答案:〒2

2.解题流程
转化
将集合A在数轴上表示出来,再将集合B也在数轴上 表示出来.

作图

比较

要使A ? ? B,则表示数a的点必须在表示数4的点处或 在表示数4的点的右边.

结论

故a的取值范围是{a|a≥4}.

【规范解答】集合包含关系中的空集问题 【典例】(12分)(2012·济南高一检测)已知集合A={x|x24x+3=0},B={x|mx-3=0},且B?A,求实数m的集合.

【解题指导】

【规范解答】据题意知集合A={1,3},??????2分 当B=? ? ①,即m=0时,满足B?A.?????????4分 当B≠? ? ①,即m≠0时,B={x|mx-3=0}={
m m

3 ∵B?A,∴ 3 =1或 =3, ????????????8分

3 ② } .???6分 m

即m=3或m=1. ?????????????????10分

综上所述,所求m的集合为{0,1,3}. ??????12分

【规范训练】(12分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<2a}, 若B?A,求实数a的取值范围. 需要 . 【解题设问】(1)本题需要讨论吗?_____ (2)若需要,应该以什么为讨论对象?怎样讨论? 集合B是否为空集 进行讨论. 由于B?A,集合B含参数,故需对_________________

【规范答题】若B=?,则a≥2a,即a≤0时,满足 B?A.?4分 ? 若B≠?,则 a<2a,即a>0,?????????????6分 ?
2a ? 4 要使B?A,需满足 ? 解得a=2.?????????9分 , ? ?a ? 2

∴a=2.?????????????????????10分 综上所述,a=2或a≤0.??????????????12分

4.已知集合A={x|x<3},B={x|x<a},若A=B,则a=______.
【解析】由于A=B,结合两集合可知a=3. 答案:3 5.已知集合A={x|x-7≥2},B={x|x≥5},化简集合A,并表示集 合A,B的关系.
?B. 【解析】 A={x|x-7≥2}={x|x≥9},A?B或A? ?


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