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高中必修1-5错误解题分析系列-《4.1等差数列的通项与求和》


§4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首 项),第 2 项,?,第 n 项,?. 3.通项公式:一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系 可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一 种重要方法,其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d表示. 8.等差中项:如果a, b这三个数成等差数列, A, 那么A=

a?b a?b . 我们把A= 2 2

叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相 同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数 列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,?,n})的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{an}的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系: a n ? ?

? S1 ?S n ? S n ?1

(n ? 1), (n ? 2).

若 a1 适合

an(n>2),则 an 不用分段形式表示,切不可不求 a1 而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的 一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n, an )均匀排列在一条直线上,由两点确定 一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解:等差数列的前 n 项之和公式可变形为

Sn ?

d 2 d d d n ? (a1 ? )n ,若令 A= ,B=a1- ,则 S n =An2+Bn. 2 2 2 2

6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例 1]已知数列 1,4,7,10,?,3n+7,其中后一项比前一项大 3.(1)指出这个数列的通 项公式; (2)指出 1+4+?+(3n-5)是该数列的前几项之和. 错解: (1)an=3n+7; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n 项之和.

错因: 误把最后一项 (含 n 的代数式) 看成了数列的通项. (1) 若令 n=1,a1=10 ? 1,显然 3n+7 不是它的通项. 正解: (1)an=3n-2; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n-1 项的和. [例 2] 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和为① S n ? 2n 2 ? n 求数列 ?an ? 的通项公式。 错解: ① an ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 ② an ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2n 错因:在对数列概念的理解上,仅注意了 an=Sn-Sn-1 与的关系,没注意 a1=S1. 正解: ①当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 经检验 n ? 1 时 a1 ? 1 也适合,? an ? 4n ? 3 ②当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 当 n ? 2 时, an ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2n ∴ an ? ? ② Sn ? n2 ? n ? 1

?3 ?2n

( n ? 1) ( n ? 2)


[例 3] 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于 错解:S30= S10·2d. ? d=30, ? S40= S30+d =100. 错因:将等差数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列.

10 ? 9 ? ?10a1 ? 2 d ? 10 2 2 ? 正解:由题意: ? 得 a1 ? , d ? 5 15 ?30a ? 30 ? 29 d ? 70 ? 1 2 ?
代入得 S40 = 40 a1 ?

40 ? 39 ? 40 d ? 120 。 2

[例 4]等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn、Tn.若

Sn a 7n ? 1 ? (n ? N ? ), 求 7 ; Tn 4n ? 27 b7

错解:因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.

?

a7 7 ? 7 ? 1 10 ? ? b7 4 ? 7 ? 27 11

错因:误认为

Sn a n ? bn Tn

正解:?

a7 a7 ? a7 S13 7 ? 13 ? 1 92 ? ? ? ? b7 b7 ? b7 T13 4 ? 13 ? 27 79

[例 5]已知一个等差数列 ?an ? 的通项公式 an=25-5n,求数列 ? an |? 的前 n 项和; | 错解:由 an ? 0 得 n ? 5

? ?an ? 前 5 项为非负,从第 6 项起为负,
? Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n ? 5)
当 n ? 6 时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+?+|an|=

( 20 ? 5n)( n ? 5) 2

, n?5 ?50 ? ? Sn= ? (20 ? 5n)(n ? 5) , n?6 ? 2 ?
错因:一、把 n ? 5 理解为 n=5,二、把“前 n 项和”误认为“从 n ? 6 起”的和.

? n(45 ? 5n) , n?5 ? ? 2 正解: ? ? (20 ? 5n)(n ? 5) ? 50, n ? 6 ? 2 ?
[例 6]已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220, 由此可以确定求其前 n 项和的公式吗? 解:理由如下:由题设: S10 ? 310 得: ?

S 20 ? 1220

? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?a ? 4 ?? 1 ?20 a1 ? 190 d ? 1220 ?d ? 6
n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2
1?n

∴ S n ? 4n ?

[例 7]已知: an ? 1024? lg 2

( lg 2 ? 0.3010) n ? N ?

(1) 问前多少项之和为最

大?(2)前多少项之和的绝对值最小? 解: 1) (

?a n ? 1024? (1 ? n) lg 2 ? 0 1024 1024 ? ?n? ? 1 ? 3401? n ? 3403 ? lg 2 lg 2 ?a n ?1 ? 1024? n lg 2 ? 0

∴ n ? 3402

(2) S n ? 1024 n ?

n(n ? 1) (? lg 2) ? 0 2

当 S n ? 0或S n 近于 0 时其和绝对值最小 令: S n ? 0 得: n ? 即 1024+

n(n ? 1) ( ? lg 2) ? 0 2

2048 ? 1 ? 6804 99 . lg 2
∴ n ? 6805

∵ n ? N?

[例 8]项数是 2 n 的等差数列,中间两项为 an 和an?1 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,求证此 数列的和 S 2 n 是方程 lg x ? (lg n ? lg p ) lg x ? (lg n ? lg p) ? 0 的根。 ( S 2n ? 0 )
2 2 2 2

证明:依题意 an ? an?1 ? p ∵ a1 ? a2n ? an ? an?1 ? p ∴ S 2n ?

2n(a1 ? a 2 n ) ? np 2

∵ lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 ∴ (lg x ? lg np) ? 0
2

∴ x ? np ? S 2 n

(获证) 。

四、典型习题导练 1.已知 a1 ? 3且an ? S n?1 ? 2 n ,求 an 及 S n 。

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2.设 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) ,求证: 。 2 2
3.求和: 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

4.求和: (1002 ? 992 ) ? (982 ? 972 ) ? ? ? (4 2 ? 32 ) ? (2 2 ? 12 ) 5.已知 a, b, c 依次成等差数列,求证: a ? bc, b ? ac, c ? ab 依次成等差数列.
2 2 2

6.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? a13 ? 40 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? ( A.72 B.60 C.48 D.36

) 。

7. 已知 ?an ? 是等差数列,且满足 am ? n, an ? m(m ? n) ,则 am? n 等于________。 8.已知数列 ?

?

11 13 1 ? ? 成等差数列,且 a3 ? ? , a5 ? ? ,求 a8 的值。 6 7 ? an ? 2 ?


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