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第二节 离散型随机变量及其分布律


概率与统计

课程教案

授课题目(教学章、节或主题) :第二章 第二节离散型随机变量及其分布律 教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次) : 要求学生理解随机变量的概念,理解随机变量分布函数的概念 要求学生理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握 0-1 分布、二项分布、泊松分布及其应用 教学重点及难点: 随机变量分布函数的概念及性质, 计算与离散随机变量有关的事件的概 率。 课时安排:3 课时 授课方式:理论课 教学基本内容:

2.2

离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量及其分布律

若随机变量 X 只可能取有限个或可列个值,称这种随机变量为离散型随机变量(discrete random variable). 定义 2.3 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,…,xn,且 X 取这些值的概率为: P(Xk = xk) = pk (k = 1,2,…,n,…),则称上述一系列等式为随机变量 X 的概率分布(或分 布律 为了直观起见,有时将 X 的分布律用如下表格表示: X p x1 p1 x2 p2
… …

xk pk

… …

由概率的定义知,离散型随机变量 X 的概率分布具有以下两个性质: (1) pk ≥ 0,(k = 1,2,…) (非负性) (2)

∑p
k

k

=1

(归一性)
n ∞

这里当 X 取有限个值 n 时,记号为 Σ ,当 X 取无限可列个值时,记号为 Σ .
k =1 k =1

例 1 中 X 的分布率为 X P 0 1 2 3

1

8

3

8

3

8

1

8

例 2 P27 例 1 简介离散型随机变量的线条图和概率直方图.(P28)

下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布(简称分布) 。

1.n 重伯努利实验、二项分布
设实验 E 只有两个可能的结果: 成功和失败, 或记为 A 和 A , 则称 E 为伯努利 (Bernoulli) 实验。将伯努利实验独立重复地进行 n 次,称为 n 重伯努利实验。 设一次伯努利实验中,A 发生的概率为 p(0<p<1) ,又设 X 表示 n 重伯努利实验中 A 发生的次数,那么,X 所有可能取的值为 0,1,2,…,n,且
k P{ X = k} = Cn p k q n k ,(k = 0,1,2,…,n)。

易知: (1) P{ X = k } ≥ 0

(2)

∑ P{ X = k} = ∑ C
k =0 k =0 k

n

n

k n

p k (1 p ) n k = ( p + 1 p ) n = 1
n k

所以, P{ X = k} = Cn p q
k

,(k = 0,1,2,…,n)是 X 的分布律。

定义 2.4

如果随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,…,n,它的分布律为

k P( X = k ) = C n p k (1 p ) n k ,(k = 0,1,2,…,n),其中 0 < p < 1 为常数,则称 X 服从

参数为 n,p 的二项分布(the Binomial Distribution),记为 X~B(n,p)。 二项分布是一种常用的离散型分布,例如, 检查 10 个产品,不合格产品的个数 X ~ B (10, p ) ,其中 p 为不合格率; 调查 50 个人,患色盲的人数 Y ~ B (50, p ) ,其中 p 为色盲率; 射击 4 次,射中的次数 Z ~ B ( 4, p ) ,其中 p 射中率;等等。

当 n = 1 时, P ( X = k ) = p (1 p )
k

n k

,k=0,1。

或写成 X pk 0 1-p 1 p

此时称,X 服从参数为 p 的 0-1 分布 分布(伯努利分布) 。 例 3 P30 例 2

2 泊松分布(Poisson distribution)
如果随机变量 X 的分布律为

P( X = k ) =

λk
k!

e λ , (k = 0,1,2,...) ,

其中 λ > 0 是常数,则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布,记为 X ~ ∏(λ ) . 泊松分布在各领域中有着广泛的应用, 它常与单位时间(单位面积\单位产品等)上的计 数过程相联系,例如, 某单位时间内电话机接到的呼唤次数; 某单位时间内候车的乘客数; 放射性物质在某单位时间内放射的粒子数; 某页书上的印刷错误的个数; 1 平方米内,玻璃上的气泡数等等都可以用泊松分布来描述。 例 5 某商店出售某种商品。根据经验,此商品的月销售量 X 服从 λ = 3 的泊松分布。 问在月初进货时要库存多少件此种商品,才能以 99%的概率满足顾客要求? Solution 设月初库存 M 件,依题意

3 k 3 P( X = k ) = e , (k = 0,1,2,...) k!
那么

P( X ≤ M ) = ∑

3 k 3 e ≥ 0.99 k = 0 k!
M

查附表 3,可知 M 最小应是 8,即月初进货时要库存 8 件此种商品,才能以 99%的概 率满足顾客要求。

3 几何分布(Geometry distribution)(机动)
从一批次品率为 p ( 0 < p < 1 )的产品中逐个地随机抽取产品进行检验,验后放回再 抽取下一件,直到抽到次品为止。设检验的次数为 X ,则 X 可能取的值为 1,2,3,…, 其 概率分布为:

P( X = k ) = (1 p) n1 p, (k = 1,2,....) ,
称这种概率分布为几何分布。

4 超几何分布(Super geometry distribution)(机动)
设一批产品共有 N 个,其中有 M 个次品,现从中任取 n 个( n ≤ N M ),则这 n 个 1, …, j , ( 其 产品中所含的次品数 X 是一个离散型随机变量,X 所有可能的取值为 0, 2, 中 j = min {M , n} ),其概率分布为:
k n n P ( X = k ) = C M C N kM / C N ( k =0,1,2,…, j ) ,

称之为超几何分布。 参考书目: 1.吴赣昌,大学数学立体化教材:概率论与数理统计(经济类) ,中国人民 大学出版社,2006 年 3 月。 2.盛 骤,谢式千等,概率论与数理统计(第三版) ,高等教育出版社,2003 年 2 月。 作业和思考题: 作业:P22 2-5 思考题: 课后小结:


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