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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第4节 函数的奇偶性及周期性


第二章 函数、导数及其应用

第四节

函数的奇偶性及周期性

第二章 函数、导数及其应用

[主干知识梳理]

一、函数的奇偶性
奇偶性 定 义 图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 关于 f(-x)=f( x) 偶函数 都有 ,那么函数 f(x)是偶 y轴 对称 函数

第二章 函数、导数及其应用

如果对于函数f(x)的定义域内任意一 奇函数 个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函

关于 原点 对称

数f(x)是奇函数

第二章 函数、导数及其应用

二、周期性
1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,

那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ,那

么这个 最小正数

就叫做f(x)的最小正周期.

第二章 函数、导数及其应用

[基础自测自评] 1.(2013· 山东高考)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, 1 f(x)=x +x ,则 f(-1)=
2

( B.1 D.-2

)

A.2 C.0 D [∵f(x)为奇函数,

? 1? ∴f(-1)=-f(1)=-?1+1?=-2.] ? ?

第二章 函数、导数及其应用

2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 1 A.-3 1 C.2 1 B.3 1 D.-2 ( )

B [∵f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 1 ∴a-1+2a=0,∴a=3.又 f(-x)=f(x), 1 ∴b=0,∴a+b= .] 3

第二章 函数、导数及其应用

3.(教材习题改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+4)= f(x),则 f(8)的值为 A.-1 C.1 B.0 D.2 ( )

B [∵f(x)为奇函数且 f(x+4)=f(x), ∴f(0)=0,T=4. ∴f(8)=f(0)=0.]

第二章 函数、导数及其应用

4.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.

解析 解法一:∵f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,
∴|-x+a|=|x+a|对于x∈R恒成立, 两边平方整理得ax=0,对于x∈R恒成立,故a=0. 解法二:由f(-1)=f(1), 得|a-1|=|a+1|,故a=0.

答案 0

第二章 函数、导数及其应用

5.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1] 时,f(x)=x+1,则 解析
?3? f?2?=__________. ? ? ?3? f?2?转化到 ? ?

用转化与化归思想将

x∈[0,1]上.

?3? ?3 ? ? 1? ?1? ∴f?2?=f?2-2?=f?-2?=f?2? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 3 =2+1=2. 答案 3 2

第二章 函数、导数及其应用

[关键要点点拨]

1.奇、偶函数的有关性质:
(1) 定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不 充分条件; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对 称;反之亦然; (3)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0;

第二章 函数、导数及其应用

(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点
两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关 于y轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调 性相反. 2.若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函

数的一个周期;应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期.

第二章 函数、导数及其应用

函数奇偶性的判断

[典题导入]
? ?1,x∈Q, ex-1 设 Q 为有理数集, 函数 f(x)=? g ( x) = x , ? e +1 - 1 , x ∈ ? Q , ? R

则函数 h(x)=f(x)· g(x)

(

)

第二章 函数、导数及其应用

A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

∵当 x∈Q 时,-x∈Q,

∴f(-x)=f(x)=1;当 x∈?RQ 时,-x∈?RQ, ∴f(-x)=f(x)=-1. 综上,对任意 x∈R,都有 f(-x)=f(x), 故函数 f(x)为偶函数. e-x-1 1-ex ex-1 ∵g(-x)= -x = =- =-g(x), e +1 1+ex 1+ex ∴函数 g(x)为奇函数.

第二章 函数、导数及其应用

∴h(-x)=f(-x)· g(-x)=f(x)· [-g(x)] =-f(x)g(x)=-h(x), ∴函数 h(x)=f(x)· g(x)是奇函数. e-1 e 1-1 1-e ∴h(1)=f(1)· g(1)= ,h(-1)=f(-1)· g(-1)=1× -1 = , e+1 e +1 1+e


h(-1)≠h(1), ∴函数 h(x)不是偶函数. 答案 A

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 利用定义判断函数奇偶性的方法

(1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函
数或偶函数的必要条件; (2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断 f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立 要给予证明,否则要举出反例).

第二章 函数、导数及其应用

[注意]

判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)

的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断

其奇偶性.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 1 . (1)(2014· 佛 山 一 模 ) 定 义 运 算 a ⊕ b = a2-b2 , a ? b = 2⊕x (a-b) ,则 f(x)= 为 (x?2)-2
2

(

)

A.奇函数 C.常函数

B.偶函数 D.非奇非偶函数

第二章 函数、导数及其应用

4-x2 A [由定义得 f(x)= . 2 (x-2) -2 ∵4-x2≥0 且 (x-2)2-2≠0, 即 x∈[-2,0)∪(0,2], 4-x2 4-x2 ∴f(x)= =- x (x∈[-2,0)∪(0,2]), 2-x-2 4-x2 ∴f(-x)= x ,∴f(x)=-f(-x), ∴f(x)为奇函数.故选 A.]

第二章 函数、导数及其应用

(2)(2014· 六盘水一模)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则 ( )

A.f(x)是偶函数
C.f(x)=f(x+2)

B.f(x)是奇函数
D.f(x+3)是奇函数

第二章 函数、导数及其应用

D

[由已知条件知,对x∈R都有f(-x+1)=-f(x+1),f(-x

-1)=-f(x-1).

因此f(-x+3)=f[-(x-2)+1]=-f[(x-2)+1]
=-f(x-1)=f(-x-1)=f(-x-2+1) =f[-(x+2)+1]=-f(x+3), 故函数f(x+3)是奇函数.故选D.]

第二章 函数、导数及其应用

函数奇偶性的应用 [典题导入] (1) 已知y = f(x) +x2 是奇函数,且 f(1) = 1. 若 g(x) = f(x) +2,则g(-1)=________.

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录 ]

(1)∵y = f(x) +x2 是奇函数,且 x =1 时, y =2 ,

∴当x=-1时,y=-2,

即f(-1)+(-1)2=-2,
得f(-1)=-3, 所以g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案 -1

第二章 函数、导数及其应用

(2)设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 f(x)+f(-x) >0 的解集为 x A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) ( )

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

∵f(x)为偶函数,

f(x)+f(-x) 2f(x) ∴ = x >0. x ∴xf(x)>0.
? ? ?x>0, ?x<0, ∴? 或? ? ?f(x)>0 ? ?f(x)<0.

又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数, 故 x∈(0,2)或 x∈(-∞,-2). 答案 B

第二章 函数、导数及其应用

[互动探究]
本例(2)的条件不变,若n≥2且n∈N*,试比较f(-n), f(1-n),f(n-1),f(n+1)的大小. 解析 ∵f(x)为偶函数,所以f(-n)=f(n), f(1-n)=f(n-1). 又∵函数y=f(x)在(0,+∞)为减函数, 且0<n-1<n<n+1,

∴f(n+1)<f(n)<f(n-1).
∴f(n+1)<f(-n)<f(n-1)=f(1-n).

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法]
函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 利用奇偶性构造关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.

常常采用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒
等式,由系数的对等性可得知字母的值. (3) 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区 间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 2 . (1) 已 知 函 数 ________. 解析 (1)当 x<0 时,则-x>0,
2 ? ?x +x,x≤0, f(x) = ? 2 为奇函数,则 ? ?ax +bx,x>0

a+b=

所以 f(x)=x2+x,f(-x)=ax2-bx, 而 f(-x)=-f(x),即-x2-x=ax2-bx, 所以 a=-1,b=1,故 a+b=0. 答案 0

第二章 函数、导数及其应用

(2)(2014· 晥南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足f(x)=x2 + 2x(x≥0) , 若 f(3 - a2)>f(2a) , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________. 解析 因为f(x)=x2+2x在[0,+∞)上是增函数,

又因为f(x)是R上的奇函数,
所以函数f(x)是R上的增函数, 要使f(3-a2)>f(2a),只需3-a2>2a,解得-3<a<1. 答案 (-3,1)

第二章 函数、导数及其应用

函数的周期性及其应用 [典题导入] (2012·山东高考 ) 定义在 R上的函数 f(x) 满足 f(x+ 6) = f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)= x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)= ( )

A.335
C.1 678

B.338
D.2 012

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录] 由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6, 所以f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1, f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2, 所以在一个周期内有f(1)+f(2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0

=1,
所以f(1)+f(2)+…+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1 =1+2+335=338. 答案 B

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 1.周期性常用的结论: 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a; f (x) 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a. f(x) 2.周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量 值的作用,奇偶性起到调节符号作用.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练]
3.(2014·济南模拟)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数, 如图表示该函数在区间 ( - 2 , 1] 上的图象,则 f(2 011) + f(2 012)=__________.

第二章 函数、导数及其应用

解析 由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数, 所以f(2 011)+f(2 012)=f(670×3+1)+f(671×3-1)

=f(1)+f(-1),
而由图象可知f(1)=1,f(-1)=2, 所以f(2 011)+f(2 012)=1+2=3. 答案 3

第二章 函数、导数及其应用

【创新探究】 方程思想在函数性质中的应用

(2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, ?ax+1,-1≤x<0, ? ?1? 在区间[-1, 1]上, f(x)=?bx+2 其中 a, b∈R.若 f?2? ? ? ,0≤x≤1, ? ? x+1
?3? =f?2?,则 ? ?

a+3b 的值为__________.

第二章 函数、导数及其应用

【思路导析】 利用周期性 f(x+2)=f(x)转化 义区间内取一组值代入方程组可求解. 【解析】 因为 f(x)的周期为 2, 所以 即
?3? ?3 ? ? 1? f?2?=f?2-2?=f?-2?, ? ? ? ? ? ?

?3? ? 1? f?2?=f?-2?,再在定 ? ? ? ?

?1? ? 1? f?2?=f?-2?. ? ? ? ?

第二章 函数、导数及其应用

b ? 1? ?1? 2+2 b+4 1 又因为 f?-2?=- a+1,f?2?= = , 2 1 3 ? ? ? ? 2+1 b+4 1 所以-2a+1= 3 . 2 整理,得 a=- (b+1). 3 ①

第二章 函数、导数及其应用

b+2 又因为 f(-1)=f(1),所以-a+1= , 2 即 b=-2a. 将②代入①,得 a=2,b=-4. 所以 a+3b=2+3×(-4)=-10. 【答案】 -10 ②

第二章 函数、导数及其应用

【高手支招】 本题求解利用了方程思想.方程思想就是未 知和已知的思想,通过分析问题中的各个量及其关系,列出

方程(组),或者构造方程(组),通过求解使问题得以解决.凡
是求未知数问题,常用方程思想来解决.

第二章 函数、导数及其应用

[体验高考]

1.(2013·湖北高考)x 为实数,[x]表示不超过x的最大整数,
则函数f(x)=x-[x]在R上为 A.奇函数 C.增函数 D B.偶函数 D.周期函数 ( )

[当x∈[0,1)时,画出函数图象(图略),再左右扩展知

f(x)为周期函数.故选D.]

第二章 函数、导数及其应用

2.(2013·湖南卷)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1) +g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于 A.4 B.3 ( )

C.2

D.1

B [∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴f(-1)+g(1)=2,即-f(1)+g(1)=2. f(1)+g(-1)=4,即f(1)+g(1)=4. 由①+②得g(1)=3,故选B.] ① ②

第二章 函数、导数及其应用

3.(2013·重庆卷)已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R), f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))= A.-5 C.3 B.-1 D.4 ( )

第二章 函数、导数及其应用

C

1 - [∵log210=lg 2,∴lg(log210)=lg(lg 2) 1=-lg(lg 2).

令 g(x)=ax3+bsin x,易知 g(x)为奇函数. ∵f(lg(log210))=f(-lg(lg 2))=g(-lg(lg 2))+4=5, ∴g(-lg(lg 2))=1.∴g(lg(lg 2))=-1. ∴f(lg(lg 2))=g(lg(lg 2))+4=-1+4=3.故选 C.]

第二章 函数、导数及其应用

课时作业


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