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2.3.1对数(3)


§2.3.1

对数(3)

教学目标:掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数,并能进行 一些简单的化简证明; 能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 教学重点:换底公式的本质和作用; 换底公式的应用. 教学难点:换底公式的灵活应用. 一、问题情境 我们学习了对数的运算法则, 可以看到对数的运算法则仅仅适用于对数的底数相同是情 形,若遇到在解题过程中对数的底数不相同时怎么办?有换底的方法吗? 二、学生活动 问题 1:通过前面一节课的学习,我们在已知 lg 2, lg 3 时可以求解 lg12, lg 求解 log3 2 的值呢? 合作探究: (1)能否借助于 lg 2, lg 3 来求解呢? (2)能否运用所学知识用另外一种形式从等式 3 ? 2 中表示出 x 的值?
x

27 的值,能不能 16

(3)若对等式两边取以 10 为底的对数,将会得到怎样的结果? log3 2 ?

lg 2 lg 3

(4)交流归纳,引出换底公式 loga N ?

logc N ( N ? 0, a ? 0, c ? 0, 且a ? 1, c ? 1) logc a

以上性质仅仅是我们通过几个具体的数值归纳猜想出来的一个结论,他靠得住吗? 三、建构数学 合作探究:如何证明: loga N ?
x

logc N ( N ? 0, a ? 0, c ? 0, 且a ? 1, c ? 1) ? logc a

证明:设 loga N ? x , 则 a ? N . 两边取以 c 为底的对数: logc a x ? logc N ? x logc a ? logc N 从而得: x ?

logc N logc a

∴ loga N ?

logc N logc a

四、数学理论 一般地,我们有

loga N ?

logc N logc a

其中 N ? 0, a ? 0, c ? 0, 且a ? 1, c ? 1.这个公式称为对数的换底公式.

1.理解反思:换底公式对我们进行对数运算带来哪些方便呢? 利用换底公式, 可以把一个对数的底数改变, 可以将不同底的问题转化为同底的问题, 为使用运算法则创设条件. 2.知识拓展----两个常用的推论: ① loga b ? logb a ? 1 , ② log a m b ?
n

loga b ? logb c ? logc a ? 1 .

n log a b ( a, b ? 0 且均不为 1). m

五、数学运用 1.例题 例 1.求下列各式的值: (1) log8 9 ? log3 32 解: (2)原式 = (2) log 4 3 ? log 9 2 ? log 1
2 4

32

1 1 5 1 5 3 log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 2 ? ? ? 2 2 4 4 4 2
用 a , b 表示 log42 56 . , 又∵ log3 7 ? b ,

例 2.已知 log2 3 ? a , log3 7 ? b , 解:因为 log2 3 ? a ,则 ∴ log 42 56 ?

1 ? log 3 2 a

log3 56 log3 7 ? 3 ? log3 2 ab ? 3 ? ? log3 42 log3 7 ? log3 2 ? 1 ab ? b ? 1
x y z

例 3.设 x, y, z ? (0,??) 且 3 ? 4 ? 6 ,求证: 证明:设 3 ? 4 ? 6 ? k
x y z

1 1 1 ? ? . x 2y z
∴k ?1

∵ x, y, z ? (0,??)

取对数得: x ?

lg k lg k lg k , y? , z? lg 3 lg 4 lg 6



1 1 lg 3 lg 4 2 lg 3 ? lg 4 2 lg 3 ? 2 lg 2 lg 6 1 ? ? ? ? ? ? ? x 2 y lg k 2 lg k 2 lg k 2 lg k lg k z

2.练习 P63 练习第 1、第 2、第 3 题. 六、回顾小结、 换底公式,使用换底公式应注意的地方.


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