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4-平面图形的几何性质


学习情境4

平面图形的几何性质
在建筑力学和建筑结构的计算中,经常要用到与截

面有关的一些几何量。例如轴向拉压杆的横截面面积A,
圆轴扭转时的抗扭截面系数Ip等都与构件的强度和刚度 有关。在杆件弯曲等其他问题的计算中,还将遇到平面

图形的另外一些几何量,如形心、静矩、惯性矩和抗弯
截面系数等。

子情境4.1 形心坐标和静矩的计算

4.1.1 平面图形的形心
⒈ 形心的概念 工程中杆件的截面是平面图形,平面图形的几何中 心,称为形心。 ⒉ 杆件横截面的类型及形心的位置 ⑴具有两个以上对称轴的平面图形
对称中心 对称中心 对称中心

⑵具有两个对称轴的平面图形
轴的交点, 形心 轴的交点, 形心 轴的交点, 形心

⑴具有两个以上对称轴的平面图形
对称中心 对称中心 对称中心

⑵具有两个对称轴的平面图形
轴的交点, 形心 轴的交点, 形心 轴的交点, 形心

⑶只有一个对称轴的平面图形

形心在对称轴上

形心在对称轴上

4.1.2 平面图形形心坐标和静矩的计算
⒈ 静矩的概念 任意平面图形上所有微 面积dA, 与其坐标y(或z)乘 积的总和, 称为该平面图形 对z轴(或y轴)的静矩(又称为 面积矩)。
S z ? ? ydA
A

S y ? ? zdA
A

静矩的几何意义:衡量图形的形心相对于指定坐标 轴之间距离的远近程度。

⒉ 简单图形静矩的计算 ⑴圆形

dA ? rd? ? dr
y ? R ? r ? sin ? z ? R ? r ? cos ?
r

z
d?

?

r +dr

? 0 ≤ r ≤ R,

0 ≤? ≤ 2? ?

y

根据静矩的定义, 通过积 分计算可求得: S z ? A ? yC S y ? A ? zC 上式表明, 圆形的面积A与其形心坐标yC(或zC)的乘积, 即是圆形对z轴(或y轴)的静矩。

⒉ 简单图形静矩的计算 ⑵矩形 dA ? b ? dy ? 0 ≤ y ≤ h?
根据静矩的定义, 通过积 分计算可求得: S z ? A ? yC
A ? bh, yC ? h 2
C

同理: S y ? A ? zC

? ? b A ? bh , z ? ? 2?

即矩形的面积A与其形心 坐标yC(或zC)的乘积, 就是矩形 对z轴(或y轴)的静矩。

⒉ 简单图形静矩的计算
综上所述,简单图形的面积A与其形心坐标yC(或zC) 的乘积, 称为简单图形对z轴(或y轴)的静矩, 即

S z ? A ? yC S y ? A ? zC
当坐标轴通过截面图形的形心时,其静矩为零;反 之,若截面图形对某轴的静矩为零,则说明该轴一定通 过截面图形的形心。

⒊ 组合图形形心坐标和静矩的计算
组合图形是由若干个简单图形组合而成的图形,根 据静矩的定义可知,组合图形对某坐标轴的静矩等于组 成组合图形的各简单图形对同一坐标轴静矩的代数和。 Sz ? A1 ? yC1 ? A2 ? yC 2 ? ? ? An ? yCn ? ?Ai yCi S y ? A1 ? zC1 ? A2 ? zC 2 ? ?? An ? zCn ? ?Ai zCi 假设组合图形的面积为A, 形心坐标为yC、zC, 则根 据简单图形静矩的结论, 可得: S z ? A ? yC S z ? A ? yC ? ?Ai yCi S y ? A ? zC S y ? A ? zC ? ?Ai zCi ?Ai yCi 组合图形的形心坐标:yC ? A ?Ai yCi ?Ai zCi zC ? ?Ai zCi yC ? , zC ? A A A

【例4-1】求图示T形截面的形心坐标以及截面对z轴和y 轴的静矩(图中尺寸单位为mm)。 解:将截面分为两个矩形。

A1 ? 50 ? 200 ? 1?104 mm2
yC1 ? 150mm, zC1 ? 0 yC 2 ? 25mm, zC 2 ? 0

A2 ? 50 ? 200 ? 1?104 mm2
计算组合图形形心坐标:

A1 yC1 ? A2 yC 2 ? 87.5mm yC ? A 4 4 1 ? 10 ? 150 ? 1 ? 10 ? 25 ? 1?104 ? 1?104

?Ai yCi ?Ai zCi yC ? , zC ? A A

A1 zC1 ? A2 zC 2 zC ? ?0 A

【例4-1】求图示T形截面的形心坐标以及截面对z轴和y 轴的静矩(图中尺寸单位为mm)。 解:将截面分为两个矩形。 求T形截面对z轴和y轴的静矩: S z ? A ? yC ? 2 ? 104 ? 87.5 ? 1.75 ? 106 mm3

S y ? A ? zC ? 2 ?104 ? 87.5 ? 0 ? 0
计算组合图形形心坐标:

A1 yC1 ? A2 yC 2 ? 87.5mm yC ? A 4 4 1 ? 10 ? 150 ? 1 ? 10 ? 25 ? 1?104 ? 1?104

?Ai yCi ?Ai zCi yC ? , zC ? A A

A1 zC1 ? A2 zC 2 zC ? ?0 A

子情境4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算

4.2.1 惯性矩、极惯性矩、惯性积的定义
⒈ 惯性矩的定义 任意平面图形上所有微面积dA 与其坐标z(或y)平方乘积的总和, 称 为该平面图形对z轴(或y轴)的惯性 矩: I z ? ? y 2 dA
I y ? ? z 2 dA
A A

惯性矩恒为正值, 常用单位为m4或mm4。

惯性矩的几何意义:衡量图形面积相对于指定坐标 轴间分布的集中或分散程度。

子情境4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算

4.2.1 惯性矩、极惯性矩、惯性积的定义
⒉ 极惯性矩的定义 任意平面图形上所有微面积dA 与其到坐标原点的距离ρ 平方乘积 的总和, 称为该平面图形对坐标原点 的极惯性矩:

I p ? ? ? 2 dA
A

极惯性矩恒为正值, 常用单位为m4或mm4。

极惯性矩的几何意义:衡量图形面积相对于指定坐 标原点之间分布的集中或分散程度。

子情境4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算

4.2.1 惯性矩、极惯性矩、惯性积的定义
⒊ 惯性积的定义 任意平面图形上所有微面积dA 与其坐标z、y乘积的总和, 称为该平 面图形对z、y两轴的惯性积:

I zy ? ? zydA
A

惯性积为代数值, 可为正、可为 负、也可为零。在两坐标轴中,只 要其中一个是平面图形的对称轴, 惯性积的几何意义: 则该平面图形对该两轴的惯性积一 衡量图形面积相对于 定等于零。 常用单位为m4或mm4。

指定的一对正交坐标 轴之间分布的集中或 分散程度。

子情境4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算

4.2.1 惯性矩、极惯性矩、惯性积的定义
⒋ 惯性半径的定义 在工程中为了计算方便,将平 面图形的惯性矩表示为图形面积与 某一长度平方的乘积,即

I z ? iz2 ? A I y ? iy2 ? A
式中, iz、iy分别称为平面图形对z、y轴的惯性半径。

子情境4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算
4.2.2 简单图形对形心轴的惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算

64 4 ? D 极惯性矩:I p ? 32
惯性积:I zy ? 0
圆形

4 ? D 惯性矩:I z ? I y ?

惯性半径:iz ? iy ? D 4

子情境4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算
4.2.2 简单图形对形心轴的惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算
惯性矩:I z ? I y ?

? ? D4 ? d 4 ?

64 ? ? D4 ? d 4 ? 极惯性矩:I p ? 32

惯性积:I zy ? 0
惯性半径:iz ? i y ? D2 ? d 2 4

子情境4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算
4.2.2 简单图形对形心轴的惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算
3 bh 惯性矩:I z ? , 12 3 hb Iy ? 12

3 3 bh ? hb 极惯性矩:I p ? 12

惯性积:I zy ? 0
惯性半径:iz ? h , 12 iy ? b 12

矩形


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