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2016年春苏教版高中数学选修2-1课件:第3章 空间向量与立体几何 章末复习提升


第3章—— 章末复习提升 1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修 系统盘点,提炼主干 整合要点,诠释疑点 突破重点,提升能力 知识网络 系统盘点,提炼主干 章末复习提升 3 要点归纳 整合要点,诠释疑点 1.空间向量 (1)空间向量的知识脉络: 向量的概念→向量的运算→基本定理→直角坐标系→向量 的坐标运算→应用. (2)空间向量的概念: ①定义:具有大小和方向的量称为向量;②向量相等:长 度相等且方向相同. 章末复习提升 4 (3)空间向量的运算: ①加法法则:平行四边形法则,三角形法则; ②减法法则:三角形法则; ③向量的数量积:a· b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角). (4)空间向量的坐标运算: 若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 ①加减法:a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2); 章末复习提升 5 ②实数与向量积:λa=(λx1,λy1,λz1); ③数量积:a· b=x1· x2+y1· y2+z1· z2; 2 2 ④a 的模:|a|= x2 + y + z 1 1 1. (5)空间向量的夹角及其表示: → → 已知两非零向量 a、b,在空间任取一点 O,作OA=a,OB= b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 ;且规 定 0≤〈a,b〉≤π,显然有〈a,b〉=〈b,a〉 ;若〈a,b〉 章末复习提升 6 π =2,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b.令 a=(a1,a2,a3),b a1b1+a2b2+a3b3 a· b =(b1, b 2, b3), 则 cos 〈a, b〉 = = 2 2 2 . 2 2 2 |a||b| a1+a2+a3· b1+b2+b3 (6)空间向量平行、垂直的条件: ①两向量垂直:a⊥b?a· b=0; ②两向量平行:a∥b?b=λa(a为非零向量). 章末复习提升 7 (7)空间向量基本定理: 如果三个向量a 、b、c不共面,那么对空间任一向量p ,存 在惟一的有序实数组x、y、z,使p=xa+yb+zc. (8)空间共面向量定理: 如果两个向量a、b不共线,则向量c与向量a、b共面的充要 条件是存在惟一的一对实数x、y,使c=xa+yb. 章末复习提升 8 2.平面的法向量 若向量 a所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面 α,记作a⊥α,如果a⊥α,那么向量a叫做平面α的法向量. 3.用空间向量处理立体几何问题的常用方法 (1)证明空间的平行 证明直线与平面平行,可转化为证明直线的方向向量与平 面的法向量垂直;证明平面与平面平行,可转化为证明这 两个平面的法向量平行. 章末复习提升 9 证明直线和平面平行,也可以使用下面的定理: 如图①,已知直线 a?平面 α,A,B∈a,C,D∈α,且 C、 D、 E 三点不共线, 则 a∥α 的充要条件是存在有序实数对 λ, → → → μ 使AB=λCD+μCE. 章末复习提升 10 → → → 使用此定理时,我们常设AB=λCD+μCE,求 λ,μ;若 λ, μ 存在即可证明 a∥α;若 λ,μ 不存在,则直线 a 与平面 α 相交. 图① 图② 图③ 章末复习提升 11 (2)证明空间的垂直 证明直线与平面垂直,可转化为证明直线的方向向量与 平面的法向量共线;证明平面与平面垂直,可转化为证 明这两个平面的法向量互相垂直. (3)求空间的角 立体几何中的角的计算,均可转化为两个向量的夹角

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