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高一数学函数的单调性1(1)


如图为某地区2008年元旦24小时内的气 温变化图.观察这张气温变化图:

问题1:说出气温在哪些时段内是逐步升高?

问题2:观察上2个图象,说明y随x的增大而产生的 变化情况。

观察图象请说出在哪个区间是增函数,那个区间是 减函数。
y y y

-

x

-

1 ? 2

1 2

3 2

x

---1

1

x

问题3:你能推断出函数y=x3-3x的图象的升降趋势 吗?

1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变 量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间D上是增函数
思考:类比增函数的定义说出减函数的定义 2.函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

y

y ? f (x)
f (x1 )
f (x 2 )
x2
x

在给定区间D上任取x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x1 ) ? f(x2 )

O
用 图 象

x1

函数f (x)在区间D上 为增函数。


y

y ? f (x)
f (x1 )

在给定区间D上任取x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x1 ) ? f(x2 )

定 义 判 断 单 调 性


断 单 调

f (x 2 )

O



x1

x2

x

函数f (x)在区间D上 为减函数。

例1(书本P29例1) 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x) ,根据图象说 出函数y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函 数y=f(x)是增函数还是减函数.

例2:作出函数y=x2-2|x|-3的图像,并写出函数的单 调区间

例3:证明:函数y=x2在(0,+∞)上是增函数。

判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的 单调性的一般步骤: 1. 任取x1,x2∈D,且x1<x2 2 .作差f(x1)-f(x2); 3 .变形(通常是因式分解和配方) 4 .定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5 .下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上 的单调性)

例4:设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的 的两根的平方和为10,图象经过(0,3)。 (1)求f(x)的表达式; (2)求出函数f(x)的单调区间; (3)证明函数f(x)在(2,+∞)是增函数。 练习:BP32 3,4,5

例4:指出函数y=1/x的单调区间;

3x ? 1 变式1:判断函数y= 在(-2,+∞)的单调性。 x?2 3x ? 1 变式2:指出函数y= 的其他单调区间。 x?2

例2:作出函数y=x2-2|x|-3的图像,并写出函数的单 调区间

例3:(书本P29例2)

k 物理学中的玻意耳定律p ? (k为常数)告诉我们, V 对于一定量的气体,当其体积V减少时, 压强p将增大,试用函数的单调性证明之.
练习:书本P32 2,3,4

1.画出下列函数的图像,观察其变化规律 (1)f(x)=x
①从左至右图像上升还是下降? 增大 (_____ ?? , ??上 ) ,随着x的增大,相应的f(X) 值随着____ ②在区间 (2)f(x)=x2 增大 (0, ?? )上, f(x)的值随着x的增大而 ________ ①在区间_____ . 减少 . ( ?? ,0)上, f(x)的值随着x的增大而 ________ 在区间_____

2.思考:如何利用x与f(x)来描述“随着x的增大,相 应的f(x)随着增大”

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