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高一数学函数全章知识点整理


函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射 (1)映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个元素,在集合 B 中都 有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映 射,记作 f:A→B。 注意点: (1)对映射定义的理解。 (2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同 1、下列各对函数中,相同的是





2、 M ? { x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有 ( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)指数函数的底数必须大于零且不等于 1;

1.函数 y ?

x ? 3 x ? 4 的定义域为
2

2 求函数定义域的两个难点问题 (1) 已 知 f ( x )的 定 义 域 是 [-2,5],求 f(2x+3)的 定 义 域 。

的 x (2) 已 知 f ( 2x- 1 ) 定 义 域 是 [-1,3],求 f( )的 定 义 域

三、函数的值域
1

1 求函数值域的方法 ①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数; ②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式; ③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出 y 的取值范围;适合分母为二次且 x ∈R 的分式; ④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图) ; ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥图象法:二次函数必画草图求其值域; ⑦利用对勾函数 ⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1. (直接法) y ?
1 x ? 2x ? 3
2

2. f ( x ) ? 2 ?

24 ? 2 x ? x

2

3. (换元法) y ? ? x ?

2x ? 1

5. y ?

x ?1
2

x ?1
2

6. (分离常数法) y ?

x x ?1

7. y ?

1 x ?1 ? x ?1

(结合分子/分母有理化的数学方法)

8.(图象法) y ? 3 ? 2 x ? x ( ? 1 ? x ? 2)
2

四.函数的奇偶性
1.定义: 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意 x ∈A,都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ,则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意 x ∈A,都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,则称 y=f(x)为奇函数。 2.性质: ①y=f(x)是偶函数 ? y=f(x)的图象关于 y 轴对称, y=f(x)是奇函数 ? y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则 f(0)=0 ③奇± 奇=奇 偶± 偶=偶 奇× 奇=偶 偶× 偶=偶 奇× 偶=奇[两函数的定义域 D1 ,D2,D1∩D2 要关于原点对称]
2

五、函数的单调性 1、函数单调性的定义: 2 设 y ? f ? g ? x ?? 是定义在 M 上的函数,若 f(x)与 g(x)的单调性相反,则 y ? f ? g ? x ?? 在 M 上是减函数;若 f(x) 与 g(x)的单调性相同,则 y ? f ? g ? x ?? 在 M 上是增函数。 1 判断函数 f ( x ) ? ? x ( x ? R ) 的单调性。
3

?1? 2 函数 y ? ? ? ?2?

(6? x?2 x )

2

的单调增区间是________

? (3 a ? 1) x ? 4 a , x ? 1 3( 高 考 真 题 ) 已 知 f ( x ) ? ? 是 ( ?? , ?? ) 上 的 减 函 数 , 那 么 a 的 取 值 范 围 是 x a ,x ?1 ?




1 (B) (0, ) 3

(A) (0,1)

1 1 (C) [ , ) 6 3

1 (D) [ ,1) 6

六.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x 2.二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) y ? 0 的 x 的取值。
2

?

?b 2a

,顶点坐标 ( ?

b 2a

,

4 ac ? b 4a

2

)

一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 ( ? 0 ) 的解集(a>0)
2

二次函数 Y=ax2+bx+c (a>0) 图 象 与 解

△情况
2

一元二次不等式解集 ax +bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)

△=b2-4ac

△>0

?x x ? x 或 x ? x ?
1 2

?x x

1

? x ? x2 ?

3

△=0

?x x ? x ?
0

?

△<0

R

?

1、已知函数 f ( x ) ? 4 x ? mx ? 5 在区间 [ ? 2 , ?? ) 上是增函数,则 f (1) 的范围是(
2



(A) f (1) ? 25

(B) f (1) ? 25

(C) f (1) ? 25

(D) f (1) ? 25

2、方程 mx ? 2 mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,则实根 m 的取值范围是_______
2

九.指数式
1.幂的有关概念 (1)零指数幂 a ? 1 ( a ? 0 )
0

(2)负整数指数幂 a

?n

?

1 a
n

n

? a ? 0, n ? N ?
?
m

m

(3)正分数指数幂 a n ? (5)负分数指数幂 a
? m n

a
1

? a ? 0, m , n ? N
? 1
n

?

, n ? 1? ;
?

?

m

a

n

a

m

? a ? 0, m , n ? N

, n ? 1?

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质

?1 ? a r a s
3.根式

?a

r?s

? a ? 0, r , s ? Q ? ? 2 ? ? a r ?
n n

s

?a

rs

? a ? 0, r , s ? Q ?
n n

? 3 ? ? ab ?

r

?a b
r

r

?a ?

0b ? ,

0 ,? Q ? r

根式的性质:当 n 是奇数,则 a
1
? 1 2

? a ;当 n 是偶数,则 a
3 1

? a ? a ?? ?? a

a?0 a?0

(1)

( ) 4

?

( 4 ab ( 0 . 1)
?2

?1

)

(a b

3

?3

)2

4

十.指数函数
名称 一般形式 定义域 值域 过定点 y=a (a>1) (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) (0,1)
x

指数函数 y=ax(0<a<1)

图象

单调性 值分布

在(-∞,+ ∞)上为增函数 X<0 时 0<y<1,x>0 时,y>1,x=0,y=1

在(-∞,+ ∞)上为减函数 X<0 时 y>1,x>0 时,0<y<1,x=0,y=1

2. 比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相 同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象:

2、 研究指数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 3、 指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题 的重要途径。 1 1、 (1) y ? 2 x ? 2 ? 的定义域为_______; 5 ? 3x
1

(2) y ? 2 (3) y ? 2
x

x?3
2

的值域为_________; 的递增区间为 __________ _ ,值域为 __________ _
x

(? x ? x)

?1? ?1? 2、 (1) ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ,则 x ? ________ ?4? ?2?

3、要使函数 y ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 x ? ?? ? ,1? 上 y ? 0 恒成立。求 a 的取值范围。

十.函数的图象变换 (1) 1、平移变换: (左+ 右- ,上+ 下- )即
h ? 0 , 右移 ; h ? 0 , 左移

y ? f ( x) ? ? ? ? ? ? y ? f ( x ? h) ? y ? f ( x) ? ? ? ? ? ? y ? f ( x) ? k ?
① 对称变换: (对称谁,谁不变,对称原点都要变)
5
k ? 0 , 下移 ; k ? 0 , 上移

y ? f ( x ) ? ?? y ? ? f ( x ) y ? f ( x ) ? ?? y ? f ( ? x ) y ? f ( x) ? ? ? y ? ? f (? x) ? y ? f ( x) ? ? ? y ? f ?
y?x ?1 原点 y轴

x轴

( x)
边部分的对称图

y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? y ? f ( x ) y ? f ( x) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ?
保留 x 轴上方图,将 x 轴下方图上翻

y 轴右边不变,左边为右

f ( x)

1.f(x)的图象过点(0,1),则 f(4-x)的图象过点( A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1)



D.(1,4)

2.作出下列函数的简图: (1)y= x ? 3 x ? 4 ;
2

(2)y=|2x-1|;

(3)y=2|x|;

十.函数的其他性质

1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达:
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

?0

单调递增

?0

单调递减

2.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明:
f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 奇函数 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 偶函数

3.抽象函数的模型: (1) f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? y ? kx (2) f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) ? y ? a x

6

7


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