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南通市2014届高三第二次调研数学测试


南通市 2014 届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 已知集合 A ? ? x x ≥ 3 ? ? ? x x ? ? 1 ? ,则 ?R A ? 【答案】 ? x ? 1≤ x ? 3? . 2. 某学校有 8 个社团,甲、乙两位同学各自参加其中一个社团,且他俩参加各个社团的可 能性相同,则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ . 【答案】 1 . 8 3. 复数 z ? ▲ .

i (其中 i 为虚数单位)的模为 ▲ . 1? i

【答案】 2 . 2 4.从编号为 0,1,2,?,79 的 80 件产品中,采用系统抽样的 方法抽取容量是 5 的样本,若编号为 28 的产品在样本中,则 该样本中产品的最大编号为 【答案】76. 5. 根据如图所示的伪代码,最后输出的 a 的值为 ▲ . 【答案】48. 6. 若 log a 12 ? 1 ,则 a 的取值范围是 ▲ . a ?1
+? ? . 【答案】 ? 4 ,
a ?1 i ?2
While i≤6

▲ .

a ? a ?i
i ?i ?2

End while
Print a
(第 5 题)

7. 若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 为奇函数,其图象的一条切线方程为 y ? 3x ? 4 2 ,则 b 的 值为 ▲ . 【答案】 ?3 . 8. 设 l,m 表示直线,m 是平面 ? 内的任意一条直线.则“ l ? m ”是“ l ? ? ”成立的 ▲ 条件. (在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选填一个) 【答案】充要.
1 / 14

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是半圆 O : x2 ? y 2 ? 2 ( x ≥ 0 )上一点,直线 OA 的 倾斜角为 45°,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 H ,过 H 作 OA 的平行线交半圆于点 B , 则直线 AB 的方程是 ▲ . 【答案】 3x ? y ? 3 ? 1 ? 0 . 10.在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AD=8,BC=20,则 AB ? AC 的值为 ▲ . 【答案】-36. 11.设 x,y,z 是实数,9x,12y,15z 成等比数列,且 1 , 1 , 1 成等差数列,则 x ? z 的 z x z x y 值是 ▲ . 34 【答案】15. 12.设 π 是函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 的一个零点,则函数 f ( x) 在区间 ? 0 , 2π ? 内所有极值点之 6 和为 ▲ . 【答案】 14 π 3 13. 若不等式(mx-1)[3m 2-( x + 1)m-1]≥0 对任意 m ? (0 ,? ?) 恒成立,则实数 x 的值 为 ▲ .
??? ? ????

【答案】1 14.设实数 a,b,c 满足 a2+b2 ≤c≤1,则 a+b+c 的最小值为 ▲ . 【答案】 ? 1 . 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 ,AB ? BC ? ?16 .求:
(1)AB 的值;

sin( A ? B) 的值. sin C ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解】 (1) (方法 1) 因为 AB ? AC ? 9 ,AB ? BC ? ?16 ,
(2)

???????????

2 / 14

4分

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 所以 AB ? AC ? AB ? BC ? 9 ? 16 ? 25 ,即 AB AC ? CB ? 25 ,

?

?


AB ? 5 .



??? ?2 AB ? 25





??????????? 7 分

(方法 2)设 A,B,C 的对边依次为 a,b,c, 则 由 条 件 ??????????? 3 分 ?????? 得

bc cos A ? 9 , ac cos B ? 16 .

两式相加得 c(b cos A ? a cos B) ? 9 ? 16 ? 25 , 即 c 2 ? 25 , 故 AB ? c ? 5 . 7分 (方法 3)设 A,B,C 的对边依次为 a,b,c, 则 由 条 件



bc cos A ? 9 , ac cos B ? 16 .

??????????? 3 分

由余弦定理得 1 ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ? 9 ,1 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? ? 16 , 2 2 两
AB ? c ? 5 .









c 2 ? 25





??????????? 7 分 2 ) ?????????? 10 分 弦 定 理 得



sin( A ? B) sin A cos B ? cos Asin B ? sin C sin C
由 正

s

A? s C

?

i

?B i c

n acos ( B ) b bc A ? 16 ? 9 ? 7 . ???? 14 分 ? ac cos B ? 25 c2 c2 n

c

A o

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥DC,AB⊥平面 PAD, PD=AD,AB=2DC,E 是 PB 的中点. 求证: (1)CE∥平面 PAD; (2)平面 PBC⊥平面 PAB. 【证】 (1) (方法 1)取 PA 的中点 F,连 EF,DF.?? 2 分 因为 E 是 PB 的中点,所以 EF // AB,且 EF ? 1 AB . 2 因为 AB∥CD,AB=2DC,所以 EF∥CD,?????? 4 分 D C
(第 16 题)

P E

A

B

3 / 14

EF ? CD ,于是四边形 DCEF 是平行四边形,

从而 CE∥DF,而 CE ? 平面 PAD, DF ? 平面 PAD, 故 CE∥平面 PAD. ???????? 7 分 P F A M E

(方法 2)取 AB 的中点 M,连 EM,CM. ?????? 2 分 因为 E 是 PB 的中点,所以 EM // PA. 因为 AB∥CD,AB=2DC,所以 CM // AD.?????? 4 分 因为 EM ? 平面 PAD, PA ? 平面 PAD, 所以 EM∥平面 PAD.同理,CM∥平面 PAD. 因为 EM ? CM ? M , EM ,CM ? 平面 CEM, D C

B

(第 16 题)

所以平面 CEM∥平面 PAD.而 CE ? 平面 PAD,故 CE∥平面 PAD.????????? 7分 (2) (接(1)中方法 1)因为 PD=AD,且 F 是 PA 的中点,所以 DF ? PA . 因为 AB⊥平面 PAD, DF ? 平面 PAD,所以 DF ? AB . 10 分 因为 CE∥DF,所以 CE ? PA , CE ? AB . 因为 PA,AB ? 平面 PAB, PA ? AB ? A ,所以 CE ? 平面 PAB. 因为 CE ? 平面 PBC,所以平面 PBC⊥平面 PAB. 14 分 ?????????? ?????????

17. (本小题满分 14 分) 为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒 1 个单位的净化剂, 空气中 释放的浓度 y(单位:毫克/立方米)随着时间 x (单位:天)变化的函数关系式近似为
? 16 ? 1 , 0 ≤ x ≤ 4 , ?8 ? x y?? ?5 ? 1 x , 4 ? x ≤ 10. ? 2

若多次喷洒, 则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的 浓度之 和.由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气 的作用.
4 / 14

(1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a( 1 ≤ a ≤ 4 )个单位的药剂, 要使接下来的 4 天中能够持续有效净化, 试求 a 的最小值 (精确到 0.1, 参考数据: . 2 取 1.4) 【解】 (1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂,
? 64 ? 4 , 0 ≤ x ≤ 4 , ? 所以浓度 f ( x) ? 4 y ? ? 8 ? x ? ?20 ? 2 x , 4 ? x ≤10 .

则当 0 ≤ x ≤ 4 时, 由 3分

64 解得 x ≥ 0 , 所以此时 0 ≤ x ≤ 4 . ???????? ? 4≥ 4 , 8? x

当 4 ? x ≤10 时,由 20 ? 2 x ≥ 4 解得 x ≤ 8 ,所以此时 4 ? x ≤ 8 . 综合得 0 ≤ x ≤ 8 , 若一次投放 4 个单位的制剂, 则有效净化时间可达 8 天. ????? 7分 (2)设从第一次喷洒起,经 x( 6 ≤ x ≤ 10 )天, 浓
g(x ?



?

? ? 1 x ? a? 2 ? ? x?

?

? ? ?? ?

?x?

a ?a? ?x

?x ?

a ? a ? .?? )10 分 ?x

1 8

8] ,而 1 ≤ a ≤ 4 , 因为 14 ? x ? [4,

所以 4 a ?[4 , 8] ,故当且仅当 14 ? x ? 4 a 时,y 有最小值为 8 a ? a ? 4 . 令 8 a ? a ? 4≥ 4 , 解得 24 ? 16 2 ≤ a ≤ 4 , 所以 a 的最小值为 24 ? 16 2 ? 1.6 . ??? 14 分

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设曲线 C1: 面积为
4 2 ,曲线 C1 上的点到原点 O 的最短距离为 2 2 .以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点 3

x y ? a b

? 1(a ? b ? 0) 所围成的封闭图形的

的椭圆记 为 C2. (1)求椭圆 C2 的标准方程;
5 / 14

(2) 设 AB 是过椭圆 C2 中心 O 的任意弦, l 是线段 AB 的垂直平分线. M 是 l 上的点 (与 O不 重合) . ①若 MO=2OA,当点 A 在椭圆 C2 上运动时,求点 M 的轨迹方程; ②若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求△AMB 的面积的最小值.

?2ab ? 4 2, ? 【解】 (1)由题意得 ? ab 又 a ? b ? 0 ,解得 a 2 ? 8 , b 2 ? 1 . 2 2 ? . ? 2 2 3 ? a ?b
因 此 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为

x2 ? y2 ? 1 . 8

?????????? 4 分

??? ? ???? ? ???? ? ??? ? (2)①设 M ( x ,y ) , A(m ,n) ,则由题设知: OM ? 2 OA , OA ? OM ? 0 .


?m2 ? 1 y 2 , ? 4 ? 2 1 ?n ? x 2. ? 4

? x 2 ? y 2 ? 4(m2 ? n2 ) , ? ?mx ? ny ? 0 ,





?????????8 分

因为点 A(m ,n) 在椭圆 C2 上,所以
y 2 即 ? x 8 2
2

m2 ? n2 ? 1 , 8

? ? ? ? ? 1 ,亦即 x ? y ? 1 . 4 32
2

2

2







M













x2 y 2 ? ?1. 4 32

?????????10 分

? ? x)(? ? R,? ? 0) , ②(方法 1)设 M ( x,y ) ,则 A(? y,

因为点 A 在椭圆 C2 上,所以 ? 2 ( y 2 ? 8x2 ) ? 8 ,即 y 2 ? 8 x 2 ? 又 x2 ? 8 y2 ? 8 (ii)

8

?2

(i)

(i) + (ii) 得 x2 ? y 2 ? 8 1 ? 12 , 9 ? 13 分 所以 S?AMB ? OM ? OA ?| ? | ( x 2 ? y 2 ) ? 8 | ? | ? 1 ≥ 16 . 9 9 ?

?

?

?????????

?

?

6 / 14

当且仅当 ? ? ?1 (即 k AB ? ?1 ) 时, ? S?AMB ?min ? 16 分

16 . 9

?????????

(方法 2)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y=kx(k≠0).
? x2 2 8k 2 8 ? ? y ? 1, 解方程组 ? 8 得 xA 2 ? , y A2 ? , 2 1 ? 8k 1 ? 8k 2 ? y ? kx , ?

所以 OA2 ? xA2 ? yA2 ?

8 8k 2 8(1 ? k 2 ) 32(1 ? k 2 ) , AB2 ? 4OA2 ? . ? ? 2 2 2 1 ? 8k 1 ? 8k 1 ? 8k 1 ? 8k 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 8k 2 8(1 ? k 2 ) 8 ?8 又? 解得 xM 2 ? 2 ,yM 2 ? 2 , 所以 OM 2 ? 2 . ????? 12 k +8 k +8 k +8 ? y ? ? 1 x, ? k ?

分 (解法 1)由于 S△ AMB 2 ?
64(1 ? k 2 ) 2 1 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 ) 1 ? AB2 ? OM 2 ? ? ? 2 2 (1 ? 8k 2 )(k 2 +8) 4 4 1 ? 8k k +8



?1 ? 8k 2? k +8 ?
2 2

64(1 ? k 2 )2

2

?

64(1 ? k 2 ) 2 256 ? , 81 (1 ? k 2 ) 2 81 4

当且仅当 1 ? 8k 2 ? k 2 ? 8 时等号成立,即 k=±1 时等号成立, 此时△AMB 面积的最小值是 S△AMB= 16 . 9 15 分 当 k=0,S△AMB ? 1 ? 4 2 ? 1 ? 2 2 ? 16 ; 2 9 当 k 不存在时,S△AMB ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 16 . 2 9 综上所述,△AMB 面积的最小值为 16 . 9 16 分 (解法 2)因为
1 ? 8k 2 ? k 2 +8 9 1 1 1 1 ? ? , ? ? ? 8(1 ? k 2 ) 8 OA2 OM 2 8(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 ) 2 2 1 ? 8k k +8

?????

?????



1 1 2 16 ,于是 OA ? OM ≥ , ? ≥ 2 2 OA OM OA ? OM 9

当且仅当 1 ? 8k 2 ? k 2 ? 8 时等号成立,即 k=±1 时等号成立. (后同方法 1)

19.(本小题满分 16 分)

7 / 14

设数列{an}的首项不为零,前 n 项和为 Sn,且对任意的 r,t ? N*,都有 (1)求数列{an}的通项公式(用 a1 表示) ;

Sr ? r St t

? ?.
2

(2)设 a1=1,b1=3, bn ? Sbn?1 n ≥ 2 , n ? N* ,求证:数列 ?log3 bn ? 为等比数列; (3)在(2)的条件下,求 Tn ? ?
k ?2 n

?

?

bk ?1 . bk ? 1

【解】 (1)因为 a1 ? S1 ? 0 ,令 t ? 1 , r ? n ,则 2分

Sr ? r St t

? ? ,得 S S
2

n

? n2 ,即 Sn ? a1n 2 .?

1

当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? a1 (2n ? 1) ,且当 n ? 1 时,此式也成立. 故数列{an}的通项公式为 an ? a1 (2n ? 1) . 5分 (2)当 a1 ? 1 时,由(1)知 an ? a1 (2n ? 1) ? 2n ? 1 ,Sn=n2. 依题意,n ≥ 2 时,bn ? Sbn?1 ? bn?12 , 7分 于是 log3 bn ? log3 bn?12 ? 2log3 bn?1 (n ≥ 2, n ? N) ,且 log3 b1 ? 1 , 故数列 ?log3 bn ? 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列. 10 分 (3)由(2)得 log3 bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 bn ? 32 (n ? N* ) . 12 分
32 ? 1 ? 1 2k ?2 bk ?1 3 于是 ? ? ? 1 ? 1 . bk ? 1 32k ?1 ? 1 32k ?2 +1 32k ?2 ? 1 32k ?2 ? 1 32k ?1 ? 1
n?1

?????

???

?????

???

?

?

k ?2

??

?

?

???

15 分 所以 Tn ? ?
k ?2 n n bk ?1 ? ? 2k ?1 ? 1 ?1? 1 . bk ? 1 k ? 2 3 2 ? 1 32k ?1 ? 1 2 32n?1 ? 1

?

?

???

16 分

20.(本小题满分 16 分)
0) , B( x2 , 设函数 f ( x) ? e x ? ax ? a(a ? R) ,其图象与 x 轴交于 A( x1 , 0) 两点,且 x1<

x2.
8 / 14

(1)求 a 的取值范围; (2)证明: f ?

?

x1 x2 ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ;

?

(3)设点 C 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且△ABC 为等腰直角三角形,记 求 (a ? 1)(t ? 1) 的值. 【解】 (1) f ?( x) ? e x ? a .

x2 ? 1 ?t , x1 ? 1

若a≤0, 则 f ?( x) ? 0 , 则函数 f ( x) 是单调增函数, 这与题设矛盾. ????????? 2分 所以 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a . 当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是单调减函数; x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是单调增 函数; 于 值. 是 当
x ? ln a





f ( x)









????????? 4 分

0) , B( x2 , 因为函数 f ( x) ? e x ? ax ? a(a ? R) 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 , 0) (x1<x2),

所以 f (ln a) ? a(2 ? ln a) ? 0 ,即 a ? e 2 .. 此时,存在 1 ? ln a ,f (1) ? e ? 0 ; 存在 3ln a ? ln a ,f (3ln a) ? a3 ? 3a ln a ? a ? a3 ? 3a 2 ? a ? 0 ,
ln a) 及 (ln a ,? ?) 上的单调性及曲线在 R 上不间断,可知 a ? e 2 为所 又由 f ( x) 在 (??,

求 围. ? 6分





范 ???????????

x x2 x1 ? ?e 1 ? ax1 ? a ? 0 , (2)因为 ? x 两式相减得 a ? e ? e . 2 x2 ? x1 ? ?e ? ax2 ? a ? 0 ,

x1 ? x2 x2 x1 2 x ?x x ?x ?2s ? (es ? e? s )? 记 2 1 ? s(s ? 0) , 则 f ? 1 2 ?e 2 ? e ?e ? e ????? ?, 2 2 x2 ? x1 2s ?

?

?

x1 ? x2

8分

9 / 14

设 g (s) ? 2s ? (es ? e? s ) ,则 g ?(s) ? 2 ? (es ? e? s ) ? 0 ,所以 g (s) 是单调减函数, 则有 g (s) ? g (0) ? 0 ,而 e
x1 ? x2 2

2s

? 0 ,所以 f ?

x ?0. ?x ? 2 ?
1 2

又 f ?( x) ? e x ? a 是单调增函数,且 所
f?

x1 ? x2 ? x1 x2 2


?

x1 x2 ? 0 .

?

???????????????? 11 分

1 i ? 1, 2) (3)依题意有 e xi ? axi ? a ? 0 ,则 a( xi ? 1) ? e xi ? 0 ? xi ?( .

于是 e 13 分

x1 ? x2 2

? a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) , 在等腰三角形 ABC 中, 显然 C = 90°, ????????

所以 x0 ?

x1 ? x2 ? ( x1 ,x2 ) ,即 y0 ? f ( x0 ) ? 0 , 2

由直角三角形斜边的中线性质,可知 所以 y0 ?

x2 ? x1 ? ? y0 , 2

x1 ? x2 x2 ? x1 x ?x ? 0 ,即 e 2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2 1 ? 0 , 2 2 2

所以 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2

x2 ? x1 ? 0, 2 ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1) ? 0. 2

即 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a [( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)] ? 2

x2 ? 1 ?1 x2 ? 1 a x2 ? 1 x ?1 因为 x1 ? 1 ? 0 ,则 a ? 1? ? 1 ?0, x1 ? 1 2 x1 ? 1 2

?

?

又 15 分 即

x2 ? 1 ?t , 所以 at ? a (1 ? t 2 ) ? 1 (t 2 ? 1) ? 0 , 2 2 x1 ? 1

??????????????

a ?1? 2 t ?1







(a ? 1)(t ? 1) ? 2.

?????????????? 16 分

南通市 2014 届高三第二次调研测试 数学Ⅱ(附加题)
21A.选修 4—1:几何证明选讲
10 / 14

如图,△ABC 内接于圆 O,D 为弦 BC 上一点,过 D 作直线 DP // AC,交 AB 于点 E,交 圆O 在 A 点处的切线于点 P.求证:△PAE∽△BDE. 【证明】因为 PA 是圆 O 在点 A 处的切线,所以∠PAB=∠ACB. 因为 PD∥AC,所以∠EDB=∠ACB, 所以∠PAE=∠PAB=∠ACB=∠BDE. 又∠PEA=∠BED,故△PAE∽△BDE.???????? 10 分 B D
(第 21—A 题)

P A E C

21B.选修 4—2:矩阵与变换
?1? ?1? ? 3? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,且 M ? ? = ? ? .求矩 ? ?1? ?1? ?1 ?

阵 M.
?a b ? ?a 【解】设 M ? ? ,则由 ? ? ?c d ? ?c b? ? 1? ? 1 ? ?a ? b ? 1 , ? ? ? ,得 ? ? ? ? d ? ? ?1? ? ?1? ?c ? d ? ?1.

再由 ?

? a b ? ?1? ?3? ?a ? b ? 3 , ? ? ? ,得 ? ? ? ? ? c d ? ?1? ?1 ? ?c ? d ? 1.

? 2 1? 联立以上方程组解得 a=2,b=1,c=0,d=1,故 M ? ? ? .????????? ? 0 1?

10 分 21C.选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 1 ? 2 cos ? , 在平面直角坐标系 xOy 中,设动点 P,Q 都在曲线 C: ? (θ 为参数)上, ? y ? 2sin ?

且这两 点对应的参数分别为 θ=α 与 θ=2α(0<α<2π),设 PQ 的中点 M 与定点 A(1,0)间的距 离为 d, 求 d 的取值范围. 【解】 由题设可知 P ( 1 + 2cosα, 2sinα ), Q ( 1 + 2cos2α, sin2α ), ?????????? 2分 于 是 PQ 的 中 点
sin ? ? sin 2? ? . M ?1 ? cos ? ? cos 2? ,

?????????? 4 分 而



d 2 ? MA2 ? ? cos? ? cos2? ? ? ?sin ? ? sin 2? ? ? 2 ? 2cos?
2 2

?????????? 6 分

11 / 14

因 1,



0



α













1≤cosα



?????????? 8 分 于是 0≤d 2<4, 故 d 的取值范围是 ?0 , 2? . ??????????

10 分

21D.选修 4—5:不等式选讲 已知: a≥2 ,x ? R. 求证: | x ? 1 ? a | ? | x ? a | ≥3 . 证明:因为|m|+|n|≥|m-n|, 所
|x? ≥|

以 .???????????????? 8 分 1? a

又 a ≥2,故|2a ? 1| ≥3. 所
|x?

以 ≥ .?????????????????????????? 10 1 ?分 a

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 题卡指定区域 内作答,解答 . ...... 时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1 AB ,点 E 是棱 AB 上一点.且 AE ? ? . 2 EB (1)证明: D1 E ? A1 D ; (2)若二面角 D1—EC—D 的大小为 π ,求 ? 的值. 4 【证】 (1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系. 不妨设 AD =AA1=1,AB=2, 则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0), A E
(第 22 题)

D1 A1 B1 D B

C1

C

C(0,2,0),A1(1,0,1),B1(1,2,1),C1(0,2,1),D1(0,0,1).

???? ? ???? ? AE 因为EB=λ,所以 E 1, 2? , 0 ,于是 D1 E ? 1, 2? , ? 1 ,A1 D ? (-1,0,-1). 1? ? 1? ? ???? ? ???? ? 所以 D1 E ? A1 D ? 1, 2? , ? 1 ? (?1, 0, ? 1) ? 0 . 1? ?

?

?

?

?

?

?

故 D1E ? A1D.
12 / 14

??? 5

分 (2)因为 D1D⊥平面 ABCD,所以平面 DEC 的法向量为 n1=(0,0,1).

???? ? ??? ? 又 CE ? 1, 2? - 2 , 0 , CD1 ? (0,-2,1). 1? ?
设平面 D1CE 的法向量为 n2=(x,y,z),

?

?

???? ? ??? ? 则 n2? CE ? x ? y 2? ? 2 ? 0 ,n2? CD1 ? ?2 y ? z ? 0 , 1? ?
所以向量 n2 的一个解为 2 ? 2? , 1, 2 . 1? ? π n ?n 因为二面角 D1—EC—D 的大小为4,则 1 2 ? 2 . | n1 | | n2 | 2 2 3 解得 ? ? ± 3 -1. 2 3 又因 E 是棱 AB 上的一点, 所以 λ>0, 故所求的 λ 值为 3 -1. 分 ??? 10

?

?

?

?

23.(本小题满分 10 分) 设数列{an}共有 n( n ≥ 3 ,n ? N )项,且 a1 ? an ? 1,对每个 i (1≤i≤ n ? 1 ,i ? N),均 有

ai ?1 ? 1, 1, 2 . ai 2
(1)当 n ? 3 时,写出满足条件的所有数列{an}(不必写出过程) ; (2)当 n ? 8 时,求满足条件的数列{an}的个数. 【解】 (1)当 n ? 3 时, a1 ? a3 ? 1 . 因为

?

?

a a2 1, 2 , 1 ? 1, 1, 2 , ? 1, 1, 2 , 3 ? 1, 1, 2 ,即 a2 ? 1 , 2 a2 2 a1 2 a2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

所以 a2 ? 1 或 a2 ? 1 或 a2 ? 2 . 2
1 ; 1,1,1; 1,2,1. 故此时满足条件的数列{an}共有 3 个:1 ,1 , 2

??? 3

分 ai+1 (2)令 bi= a (1≤i≤7),则对每个符合条件的数列{an},满足条件: i

?b ? ?
i ?1 i i ?1

7

7

ai ?1 a8 ? ? 1 ,且 bi∈ 1 , 1,2 ai a1 2

?

? (1≤i≤7).

反之, 由符合上述条件的 7 项数列{bn}可唯一确定一个符合条件的 8 项数列{an}. ???
13 / 14

7分 记符合条件的数列{bn}的个数为 N. 显然,bi (1≤i≤7)中有 k 个 2;从而有 k 个 1 ,7-2k 个 1. 2
k k 当 k 给定时,{bn}的取法有 C7 C7 ?k 种,易得 k 的可能值只有 0,1,2,3,

1 2 2 3 3 故 N ? 1 ? C1 7 C6 ? C7 C5 ? C7 C4 ? 393 .

因此,符合条件的数列{an}的个数为 393.

??? 10 分

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