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数列求和的基本方法归纳


数列求和的基本方法归纳
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、等差数列求和公式: S n ? 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
n 1 3、 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1 n 1 4、 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

二、 错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

1.求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………①

2.求数列 ,

2 4 6 2n , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2

1

三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .

3.求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 1 1 1 4.求数列的前 n 项和: 1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
1 1? 2 1 2? 3 1 n ? n ?1

5.求数列

,

,? ? ?,

,? ? ? 的前 n 项和.

2


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