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石家庄市2015届高三毕业班教学质量检测一理科数学试题与答案


石家庄市 2015 届高三复习教学质量检测(一) 高三数学(理科)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.复数 A. 1 ? i

2i ? i ?1
B. i ? 1 C. 1 ? i D. 1 ? 2i

2.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0}

, B ? {0,1, 2,3, 4} ,则 A A. {1, 2,3} B. {0,1, 2,3} C. {?1, 0,1, 2,3}

B?

D. {0,1, 2}

3.已知向量 a ? (?2, ?6) , | b |? 10 , a ? b ? ?10 ,则向量 a 与 b 的夹角为 A. 150? B. ?30? C. 120? D. ?60?

4.已知双曲线 的离心率为 A.

x2 y 2 ? ? 1(a ? R) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该双曲线 2 a 4

3 5

B.

5 3 3

C.

5 3

D.

3 5 5

5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的函数,当 x ?[?2,1) 时,

?4 x 2 ? 2, ? 2 ? x ? 0 5 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? 2 ,0 ? x ?1 ? x,
A. ? 1 B. 1 C.

1 2

D. 0

6.设 a 、 b 表示不同的直线, ? 、 ? 、 ? 表示不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b //? C.若 a //? 且 a // ? ,则 ? // ? B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? // ? D.若 ? //? 且 ? // ? ,则 ? // ?

7.已知函数 f ( x) ? a sin 3x ? bx3 ? 4 (a ? R, b ? R) , f '( x) 为 f ( x ) 的导函数,则

f (2014) ? f (?2014) ? f '(2015) ? f '(?2015) ?
A. 8 B. 2014 C. 2015 D. 0

8.为了得到函数 y ? 3cos 2 x 的图象,只需把函数 y ? 3sin(2 x ?

?
6

) 的图象上所有的点

A.向右平行移动

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 3

B.向右平行移动

? 个单位长度 6 ? 个单位长度 6

C.向左平行移动

D.向左平行移动

9.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为

开始 i = 1, S = 0 S = S+lg i i+2 S < 1? 是 输出 i 结束
A.7 B.9 C.10 D.11

i =i +2 否

10.二项式 (2 x ? ) 的展开式中
7

1 x

1 的系数是 x3
D.21

A.42

B.168

C.84

11.某几何体的三视图如右图,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球面的表 面积为 A. 4? B.

28 ? 3

C.

44 ? 3

D. 20?

2 3 正视图 1 1 俯视图

2

侧视图

12.设函数 f ( x) ? ex ? 2x ? a (a ? R, e 为自然对数的底数 ) ,若曲线 y ? sin x 上存在点

( x0 , y0 ) ,使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是
A. [?1 ? e?1 ,1 ? e] B. [1,1 ? e] C. [e,1 ? e] D. [1, e]

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.曲线 y ? e

? 3 (e 为自然对数的底数 ) 在 x ? 0 处的切线方程为 _____. ?x ? y ? 4 ? 0 ? 14.实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为 _____. ? x ? 0, y ? 0 ?
2x

15.已知圆 C : x ? y ? 1 ,过第一象限内一点 P (a, b) 作圆 C 的两条切线,切点分别为 A、B ,若 ?APB ? 60? ,则 a ? b 的最大值为 _____. 16.观察右图的三角形数阵,依此规律,则第 61 行的第 2 个数是 _____.
2 2

1 3  3 5  6  5 7  11  11  7 9  18  22  18  9 11  27  40  40  27  11 ...  ...  ...  ...
三、解答题(本大题共 6 个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) .

17.(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? 3 , b ? 2 , A ? 2 B , 求 cos B 和 c 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知 { an } 为公差不为 0 的等差数列, a1 ? 3 ,且 a1 、 a4 、 a13 成等比数列. (I)求数列 { an } 的通项公式; (II)若 bn ? 2n an ,求数列 { bn } 的前 n 项和.

19.(本小题满分 12 分) 某学校为了解学生身体发育情况,随机从高一年级中抽取 40 人作样本,测量出他们的身 高(单位: cm ) ,身高分组区间及人数见下表:
分组 [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180] 人数 a 8 14 b 2

(I)求 a 、 b 的值并根据题目补全频率分布直方图;
频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

155 160 165 170 175 180 身高 /厘米

(II)在所抽取的 40 人中任意选取两人,设 Y 为身高不低于 170 cm 的人数,求 Y 的分布

列及期望.

20.(本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AD ? 1 , E 、 F 分别为 PD 、 AC 的中点.
(I)求证: EF // 平面 PAB ; (II)求直线 EF 与平面 ABE 所成角的大小.
P E A F B C

D

21. (本小题满分 12 分)

B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动, 定长为 3 的线段 AB 的两个端点 A 、 动点 P 满足 BP ? 2 PA .
(I)求点 P 的的轨迹曲线 C 的的方程;

(II)若过点 (1, 0) 的直线与曲线 C 交于 M 、 N 两点,求 OM ? ON 的最大值.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? ax , a ? R . (I)若 a ? 3 ,求 f ( x ) 的单调区间; (II)若 f ( x ) 有两个极值点 x1 、 x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率 为 k ,问是否存在 a ,使 k ?

2 a ? ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. a 2

石家庄市 2015 届高三第一次质量检测 数学理科答案
一、选择题: 1-5CBCDA 二、填空题: 13. y ? 2 x ? 4 三、解答题 17. 14. ?1 15. 2 2 16. 3602 6-10DADBC 11-12BA

a b ? ............2分 sin A sin B sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分 sin A a 3 ? cos B ? ? ? .............6分 2sin B 2b 4 a2 ? c2 ? b 2 9 ? c2 ? 4 cos B ? ? 2ac 6c 2 2c ? 9c ? 10 ? 0.................8分 5 解得c ? 2或c= ............9分 2 解: A ? 2B,
因为 c=2,不合题意舍去,所以 c ?

5 .....................................10 分 2

18 . 解 (1) 设 {an } 的 公 差 为 d , 由 题 意 得 ( 3? 3 d 2)?

,得 3? ( 3 d1 2 ) d ?2 或

d ? 0 (舍),……………………2 分 所以 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? (n ?1) 2 ? 2n ? 1 ……………………4 分
(2) bn ? 2n an ? (2n ? 1)2n

Sn ? 3 21 ? 5 22 ? 7 23 ?
2Sn ? 3 22 ? 5 23 ? 7 24 ?

? (2n ?1) 2n ………………①
? (2n ?1) 2n?1 …………②……………………6 分

①-②得 ?Sn ? 3 21 ? 2 22 ? 2 23 ?

? 2 2n ? (2n ?1) 2n?1 …………………8 分

2(1 ? 2n ) ? 2?2 ? (2n ? 1) 2n ?1 ……………………10 分 1? 2 n +1 ? ?2 ? (2n ? 1) 2
∴ Sn ? (2n ? 1) 2n?1 ? 2 ……………………12 分 19. 解: (1) 解:a=6 b=10……………………………2 分

……….5 分 (2)P(Y=0)= P(Y=1)= P(Y=2)=
2 C 28 63 ? 2 C 40 130

1 1 C 28 C12 28 ? 2 65 C 40 2 C12 11 ? 2 C 40 130

Y P …………………11 分

0

1

2

63 130

28 65

11 130

3 E (P)= .…………………………12 分 5
20

(1) 分别取 PA 和 AB 中点 M 、 N ,连接 , 则 MN 、 ME 、 NF

z P

1 1 NF ∥ = 2 AD , ME∥ = 2 AD , 所 以 NF ∥ = ME , 为 平 行 四 边 形 . ? 四 边 形 M E F N
-------------2

M

E

A

H D F y

EF∥MN , 又 ? EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF 平面PAB .

N B x C



- ------------4 (2) 由已知得,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PA ⊥底面 ABCD ,所以 AP,AB,AD 两 两垂直. 如图所示, 以 A 为坐标原点,分别以 AB, AD, AP 为 x轴,y轴,z轴 的正方向, 建立空间 直 角 坐 标 系 A ? xyz , 所 以 P(0, 0, 1), A(0, 0, 0, ), B(1,0,0), C(11 , , 0), D(0, 1, 0) ,

1 1 1 1 E(0,, ), F ( ,, 0) , 2 2 2 2 1 1 1 1 0, 0) ,- ------------6 所以, EF ? ( , 0, ? ) , AE ? (0, , ), AB ? (1, 2 2 2 2
设平面 ABE 法向量 n ? (a, b, c) , n AE ? 0, n AB ? 0,

1 ?1 ? b? c ?0 所以 ? 2 令 b ? 1, 则a ? 0, c ? ?1 2 ? ?a ? 0
所以 n ? (0,1, ?1) 为平面 ABE 的一个法向量 设直线 EF 与平面 ABE 所成角为 ? , 于是 sin ? ? cos ? EF , n ? ? -------------8

EF n EF n

?

1 .-------------10 2

所以直线 EF 与平面 ABE 所成角为

? . -------------12 6

解法 2: 在平面 PAD 内作 EH ∥ PA于H , 因为侧棱 PA ⊥底面 ABCD , 所以 EH ⊥底面 ABCD . -------------6

E 为 PD 的中点, EH ?

1 ,S 2

ABF

?

1 1 1 ? 1? ? 2 2 4

1 1 1 1 1 VE ? ABF ? S ABF EH ? ? ? ? -------------8 3 3 4 2 24 设点 F 到平面 ABE 的距离为 h 1 1 2 2 ? VE ? ABF ? VF ? ABE , S ABE ? ? AB ? AE ? ?1? 2 2 2 4 1 1 S ABF EH ? S ABE h , 3 3 2 . -------------10 h? 4
设直线 EF 与平面 ABE 所成角为 ? ,

? h 1 -------------12 ? ,所以直线 EF 与平面 ABE 所成角为 . 6 EF 2 21. 解 : ( 1 ) 设 A ( x0 , 0 ) , B ( 0 , y0 ) , P ( x, y ) , 由 BP ? 2 PA 得 ,
sin ? ?
3 ? ? x ? 2( x0 ? x) ? x0 ? x ( x, y ? y0 ) ? 2( x0 ? x, ? y) ,即 ? ?? 2 ,——————————— ? y ? y0 ? ?2 y ? y ? 3 y ? 0
—————————2 分

3 2 x2 2 ? y 2 ? 1 ,这就是点 P 的轨 又因为 x0 ? y0 ? 9 ,所以 ( x ) ? (3 y ) ? 9 ,化简得: 2 4
2 2

迹方程。

————————————————————4 分

(2)当过点(1,0)的直线为 y ? 0 时, OM ON ? (2,0) (-2,0) ? ?4 当过点(1,0)的直线不为 y ? 0 时可设为 x ? ty ? 1 ,A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y2 )

? x2 2 2t ? ? y ?1 联立 ? 4 并化简得: 由韦达定理得:y1 ? y2 ? ? 2 , (t 2 ? 4) y 2 ? 2ty ? 3 ? 0 , t ?4 ? x ? ty ? 1 ? 3 y1 y2 ? ? 2 , t ?4
————————————————————6 分 所以

OM ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1 ?3 ?2t ?4t 2 ? 1 ?4(t 2 ? 4) ? 17 17 ? (t ? 1) 2 ?t 2 ?1 ? 2 ? ? ?4 ? 2 2 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4
2

————————————————————10 分 又由 ? ? 4t ?12(t ? 4) ? 16t ? 48 ? 0恒成立,所以 t ? R ,对于上式,当 t ? 0 时,
2 2 2

? OM ON ?

max

?

1 4
1 ………………………………12 分 4

综上所述 OM ON 的最大值为

22. 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 3 时, f ?( x) ? 当0 ? x ? 当

1 1 ? 2 x 2 ? 3x ? 2x ? 3 ? x x

1 或 x ? 1 ,时, f ?( x) ? 0 ,........................2 分 2

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .......... 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ..........4 分 2 2 1 1 ? 2 x 2 ? ax (Ⅱ) f ?( x) ? ? 2 x ? a ? x x 2 2 令 u( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,则 ? ? a ? 8 ,
1 当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值; ..............5 分

2 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.............6 分

3 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 4 4 若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 ,此时, 则当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.................7 分
方程 u ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? 若 a ? 2 2 , u ( x) ? 0 的两个根 x1 ? 0, x2 ? 0 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 当 x ? (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 单调递增, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减, 则 f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值, 且 x1 ? x2 ?

a 1 , x1 x2 ? 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? x12 ? ax1 ? ln x2 ? x2 2 ? ax2 k? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 a ? ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 2

ln x1 ? ln x2 a 2 a ? ? ? x1 ? x2 2 a 2 ln x1 ? ln x2 2 1 即 ……………………(*)............9 分 ? ? x1 ? x2 a x1 ? x2 x1 ?1 x1 x1 ? x2 x2 即 ln ? ? x2 x1 ? x2 x1 ? 1 x2 x t ?1 令 1 ? t ? (0,1) ,则上式等价于: ln t ? x2 t ?1 令 g (t ) ? (t ? 1) ln t ? t ? 1 t ?1 1 ? 1 ? ln t ? 则 g ?(t ) ? ln t ? t t 1 令 m(t ) ? ln t ? t 1 1 t ?1 m?(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t ? m(t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,且 m(t ) ? m(1) ? 1 ? 0 , 即 g ?(t ) ? 0 在区间 (0,1) 恒成立 ? g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递增,且 g (t ) ? g (1) ? 0 ? 对 ?t ? (0,1) ,函数 g (t ) 没有零点, t ?1 即方程 ln t ? 在 t ? (0,1) 上没有实根,.....................11 分 t ?1 2 a 即(*)式无解,? 不存在实数 a ,使得 k ? ? . ..............12 分 a 2 ?


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