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河南省实验中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


河南省实验中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)数列 1,﹣3,5,﹣7,9,…的一个通项公式为() A.an=2n﹣1 B.an=(﹣1) (1﹣2n) C. n D.an=(﹣1) (2n+1) 2. (5 分)不等式 A.{x|x>1} 的解集是() B.{x|x<0} C.{x|x>1 或 x<0} D.{x|0<x<1}
n

an=(﹣1) (2n﹣1)

n

3. (5 分)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于() A.66 B.99 C.144 D.297 4. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=18,b=24,A=45°,则 这样的三角形有() A.0 个 B.两个 C.一个 D.至多一个 5. (5 分)原点 O 和点 P(1,1)在直线 x+y﹣a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.a<0 或 a>2 B.a=0 或 a=2 C.0<a<2 D.0≤a≤2 6. (5 分)如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2 ﹣1,那么这个数列() A.是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列
n

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=4x+3y 的最大值是()

A.7

B. 8

C. 9

D.10

8. (5 分)已知数列{an},满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2014=()

A.

B. 2

C . ﹣1

D.1

9. (5 分)若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是() 2 2 2 2 A.若 a>b,则 ac >bc B. 若 a<b<0,则 a >ab>b

C. 若 a<b,则 >

D.若 a>b>0,则 >

10. (5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和,a1=﹣2014, 值为() A.﹣2013

,则 S2014 的

B.﹣2014

C.2013

D.2014

11. (5 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, sinC+sin (A﹣B) =3sin2B. 若 ,则 =() A. B. 3 C. 或 3 D.3 或

12. (5 分)命题 p:函数 y=lg(x+ ﹣3)在区间 则前 9 项的和 S9=9×19+ ×(﹣2)=99.

故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,是一道中 档题. 4. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=18,b=24,A=45°,则 这样的三角形有() A.0 个 B.两个 C.一个 D.至多一个 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 a,b,sinA 的值,利用正弦定理求出 sinB 的值,利用三角形边角关系及正弦函数 的性质判断即可得到结果. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a=18,b=24,A=45°, ∴由正弦定理 = 得:sinB= = = > ,

∵a<b,∴A<B, ∴B 的度数有两解, 则这样的三角形有两个. 故选:B. 点评: 此题考查了正弦定理,正弦函数的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 5. (5 分)原点 O 和点 P(1,1)在直线 x+y﹣a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.a<0 或 a>2 B.a=0 或 a=2 C.0<a<2 D.0≤a≤2 考点: 二元一次不等式的几何意义;二元一次不等式(组)与平面区域.

专题: 计算题. 分析: 因为原点 O 和点 P(1,1)在直线 x+y﹣a=0 的两侧,所以(﹣a)?(1+1﹣a)<0, 由此能求出 a 的取值范围. 解答: 解:因为原点 O 和点 P(1,1)在直线 x+y﹣a=0 的两侧, 所以(﹣a)?(1+1﹣a)<0, 解得 0<a<2, 故选 C. 点评: 本题考查二元一次不等式的几何意义,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用. 6. (5 分)如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2 ﹣1,那么这个数列() A.是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列 考点: 等比关系的确定;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据条件,利用 an=Sn﹣Sn﹣1,n≥2,求出数列的通项公式,然后根据通项公式进行判 断即可. 解答: 解:当 n≥2 时, 当 n=1 时,a1=S1=2﹣1=1,满足 an, ∴数列{an}的通项公式为 故选:B. 点评: 本题主要考查数列通项公式的计算,利用 an=Sn﹣Sn﹣1,n≥2 是解决本题的关键. 为公比为 2 的等比数列,不是等差数列. ,
n

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=4x+3y 的最大值是()

A.7

B. 8

C. 9

D.10

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分) , 平移直线 z=4x+3y,由图象可知当直线 z=4x+3y 经过点 A 时, 目标函数 z=4x+3y 取得最大值, 由 ,解得 ,

即 A( 即 z=4×

) , ×3=9,

故 z 的最大值为 9. 故选:C.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.要求熟练掌握常 见目标函数的几何意义.

8. (5 分)已知数列{an},满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2014=()

A.

B. 2

C . ﹣1

D.1

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件,分别令 n=1,2,3,4,利用递推思想依次求出数列的前 5 项,由此得 到数列{an}是周期为 3 的周期数列,由此能求出 a2014. 解答: 解:∵数列{an},满足 an+1= ,a1= ,

∴a2=

=2,

a3= a4=

=﹣1, = , ,

∴数列{an}是周期为 3 的周期数列, ∵2014÷3=671…1,

∴a2014=a1= . 故选:A. 点评: 本题考查数列的第 2014 项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推思想的 合理运用. 9. (5 分)若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是() A.若 a>b,则 ac >bc C. 若 a<b,则 >
2 2

B. 若 a<b<0,则 a >ab>b D.若 a>b>0,则 >

2

2

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: A.c=0 时不成立; 2 2 B.利用不等式的基本性质由 a<b<0,可得 a >ab>b ; C.取 a=﹣1,b=﹣2 时,即可判断出; D.由 a>b>0,可得 < . 解答: 解:A.c=0 时不成立; 2 2 B.∵a<b<0,∴a >ab>b ,正确; C.取 a=﹣1,b=﹣2 时, =﹣1, =﹣ ,则 > 不成立; D.若 a>b>0,则 < ,因此不正确. 故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.

10. (5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和,a1=﹣2014, 值为() A.﹣2013

,则 S2014 的

B.﹣2014

C.2013

D.2014

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 写出等差数列的前 n 项和,代入 的前 n 项和得答案. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列,且 a1=﹣2014,则 ∴ ∴ 故选:B. =﹣2014+1003d+2014﹣1002d=2,即 d=2. =﹣2014. , 求得公差,然后再代入等差数列

点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题. 11. (5 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, sinC+sin (A﹣B) =3sin2B. 若 ,则 =() A. B. 3 C. 或 3 D.3 或

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据三角形内角和定理与诱导公式,可得 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代 入题中等式并利用三角恒等变换化简,整理得 cosB(sinA﹣3sinB)=0,可得 cosB=0 或 sinA=3sinB.再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算,可得 的值. 解答: 解:∵A+B=π﹣C, ∴sinC=sin(π﹣C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 又∵sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB, ∴sinC+sin(A﹣B)=3sin2B,即(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB﹣cosAsinB)=6sinBcosB, 化简得 2sinAcosB=6sinBcosB,即 cosB(sinA﹣3sinB)=0 解之得 cosB=0 或 sinA=3sinB. ①若 cosB=0,结合 B 为三角形的内角,可得 B= ∵ ,∴A= = , ,

因此 sinA=sin

= ,由三角函数的定义得 sinA= = ;

②若 sinA=3sinB,由正弦定理得 a=3b,所以 =3. 综上所述, 的值为 或 3. 故选:C 点评: 本题给出三角形角的三角函数关系式,求边之间的比值.着重考查了三角形内角和 定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和 正余弦定理等知识,属于中档题.

12. (5 分)命题 p:函数 y=lg(x+ ﹣3)在区间 即 8=ab+4,∴ab= 4, ∴a+b≥2 =4,在 a=b=2 时是等号成立, ∴a+b 的最小值为 4. 故答案为:4

点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束 条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到 目标函数的最优解. 16. (5 分)下列 4 个命题: ①“如果 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题 ②“如果 x +x﹣6≥0,则 x>2”的否命题 ③在 △ ABC 中,“A>30°”是“sinA> ”的充分不必要条件 ④“函数 f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)” 其中真命题的序号是①②. 考点: 命题的 真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 对于①:先 求得逆命题,再判断真假,由相反数的定义易知①正确; 对于②:先求得否命题,再判断真假,结合二次不等式的解法易知其否命题为真; 对于③:A>30°,可以举一个反例否定即可; 对于④:若为奇函数,则应有 f(0)=0,能否得到 φ=kπ;反之当 φ=kπ 时,判断是否有 f(﹣ x)=f(x)即可. 解答: 解:对于①:其逆命题是:如果 x、y 互为相反数,则 x+y=0,显然正确; 2 2 对于②:否命题是“如果 x +x﹣6<0,则 x≤2”,由 x +x﹣6<0 得﹣3<x<2,此时 x≤2 显然 成立,故②为真; 对于③:当 A=150°时,sinA= ,不满足结论,故③为假; 对于④:当函数 f(x)=tan(x+φ)为奇函数时,结合图象可知,当 x=0 时,f(0)=0 或不 存在,则应有 φ=kπ 或 kπ+ ,k∈Z,故不满足充分性,故④错误.
2

故答案为:①②. 点评: 本题综合考查了命题真假的判断方法,主要侧重于基础知识考查,难度并不大. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 acosC+ c=b.

(1)求角 A 的大小; (2)若 bc=2,求边长 a 的最小值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)根据正弦定理与三角恒等变换公式化简题中的等式,可得 sinC=cosAsinC,结 合△ ABC 中 sinC>0 算出 cosA= ,从而可得角 A 的大小; (2)根据基本不等式可得 b +c ≥2bc=4,由余弦定理算出 a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣2,从而 2 得出 a ≥2,由此可得当且仅当 b=c 时,边 a 的最小值为 . 解答: 解: (1)∵acosC+ c=b,∴由正弦定理,得 sinAcosC+ sinC=sinB. ∵在△ ABC 中,A+C=π﹣B,∴sinB=sin(π﹣B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC+ sinC=sinAcosC+cosAsinC,可得 sinC=cosAsinC, 又∵在△ ABC 中,sinC>0, ∴等式两边约去 sinC,可得 cosA= ,结合 A∈(0,π)可得 A= (2)∵在△ ABC 中,A=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



,bc=2,
2 2

∴由余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣2×2×cos
2 2 2 2

=b +c ﹣2,

2

2

又∵b +c ≥2bc,即 b +c ≥4, 2 2 2 ∴a =b +c ﹣2≥4﹣2=2,当且仅当 b=c 时等号成立. 2 因此,当 b=c= 时,a 的最小值为 2,可得边 a 的最小值为 . 点评: 本题已知△ ABC 的边角关系, 求角 A 的大小并在 bc=2 的情况下求边 a 的最小值. 着 重考查了三角恒等变换、正余弦定理和基本不等式等知识,属于中档题. 18. (12 分)已知关于 x 的不等式 ax ﹣3x+2≤0 的解集为{x|1≤x≤b}. (1)求实数 a,b 的值; (2)解关于 x 的不等式: >0(c 为常数) .
2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 分析: (1)由题意知 1,b 为关于 x 的方程 ax ﹣3x+2=0 的两根,由韦达定理可得方程组, 解出即可; (2)不等式等价于(x﹣c) (x﹣2)>0,按照对应方程的根 2、c 的大小关系分三种情况讨论 可得; 2 解答: 解: (1)由题意知 1,b 为关于 x 的方程 ax ﹣3x+2=0 的两根,



,∴a=1,b=2.

(2)不等式等价于(x﹣c) (x﹣2)>0, 所以:当 c>2 时解集为{x|x>c 或 x<2}; 当 c=2 时解集为{x|x≠2,x∈R}; 当 c<2 时解集为{x|x>2 或 x<c}. 点评: 该题考查一元二次不等式的解法,属基础题,深刻理解“三个二次”间的关系是解题关 键.
2 2

19. (12 分)已知命题 p:实数 x 满足﹣2≤1﹣

≤2,命题 q:实数 x 满足 x ﹣2x+(1﹣m )

≤0(m>0) ,若?q 是?p 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 先化简命题 P,Q,再利用充分必要条件即可得出. 解答: 解:由 ,得﹣2≤x≤10,

∴记 A={x|p}={x|﹣2≤x≤10}. 2 2 由 x ﹣2x+1﹣m ≤0(m>0)得 1﹣m≤x≤1+m, 记 B={x|q}={x|1﹣m≤x≤1+m(m>0)}. ∵?q 是?p 的充分不必要条件, ∴P 是 q 的充分不必要条件,即 P?q 且 q 推不出 P,∴A?B,

要使 A?B,又 m>0,则只需



∴m≥9. 故所求实数 m 的取值范围是 m≥9. 点评: 本题考查了命题之间的关系、充分必要条件,考查了推理能力,属于基础题. 20. (12 分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列 的前 n 项和,求 Tn.

考点: 等比数列的性质;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)设公差为 d,利用 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列,建立方程,即可求得首项 与公差,从而可得数列{an}的通项公式; (2)利用裂项法,可求数列 的前 n 项和.

解答: 解: (1)设公差为 d,则 ∵S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列 2 ∴4a1+6d=14, (a1+2d) =a1(a1+6d) ∵d≠0,∴d=1,a1=2, ∴an=n+1 (2) ∴Tn= ﹣ + ﹣ +…+ = = = .

点评: 本题考查等差数列的通项与求和,考查裂项法的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题. 21. (12 分)在锐角△ ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,且 (1)确定∠C 的大小; (2)若 c= ,求△ ABC 周长的取值范围. 考点: 正弦定理;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)把已知的等式变形为: = ,并利用正弦定理化简,根据 sinA 不为 0,可 a=2csinA.

得出 sinC 的值,由三角形为锐角三角形 ,得出 C 为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数; (2)由 c 及 sinC 的值,利用正弦定理列出关系式,得到 a=2sinA,b=2sinB,表示出三角形的 周长,将表示出 a,b 及 c 的值代入,由 C 的度数,求出 A+B 的度数,用 A 表示出 B,把 B 也代入表示出的周长,利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值整理后,提取 2 再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数, 根据 A 为锐角,得到 A 的范围,进而确定出这个角的范围,根据正弦函数的图象与性质求出此时正 弦函数的值域,即可确定出周长的范围. 解答: 解: (1)由 又正弦定理得: = ∴ = , , a=2csinA 变形得: = , ,

∵sinA≠0,∴sinC=

∵△ABC 是锐角三角形, ∴∠C= (2)∵c= ; ,sinC= , = = = =2,

∴由正弦定理得:

即 a=2sinA,b=2sinB,又 A+B=π﹣C= ∴a+b+c=2(sinA+sinB)+ =2+ =2(sinA+sin =3sinA+ =2 =2 cosA﹣cos sinA)+

,即 B=

﹣A ,

cosA+ +cosAsin )+ , )+

(sinAcos sin(A+

∵△ABC 是锐角三角形, ∴ ∴ <∠A< <sin(A+ , )≤1,

则△ ABC 周长的取值范围是(3+ ,3 ]. 点评: 此题考查了正弦定理,正弦函数的定义域与值域,两角和与差的正弦函数公式,以 及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

22. (12 分)已知数列{an}中,a1=1,an+1= (1)求证:{

(n∈N )

*

}是等比数列,并求{an}的通项公式 an;
n

(2)数列{bn}满足 bn=(3 ﹣1)?
*

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(﹣1)

对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围.

考点: 数列与不等式的综合;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N ) ,可得
*

=1+

.变形为

,利用等比数列的通项公式即可得出. (2) 由 (1) 可知: bn, 利用“错位相减法”即可得出 Tn, 利用不等式 (﹣1) 通过对 n 分为偶数与奇数讨论即可. 解答: 解: (1)由数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N ) ,可得
*



=1+



∴ ∴{ }是首项为

, ,公比为 3 的等比数列,



,化为



(2)由(1)可知:

=



Tn=

+…+



…+

+



两式相减得



=

=



∴ ∴(﹣1) ?λ< 若 n 为偶数,则 若 n 为奇数,则
n

. + =4﹣ ,∴λ<3. ,∴﹣λ<2,解得 λ>﹣2. .

综上可得﹣2<λ<3. 点评: 熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式、“错位相减法”、分类讨论的思想方法 等是解题的关键.


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