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黑龙江省双鸭山一中2010届上学期期末考试高三(数学理)


高三数学(理科)期末试题
第Ⅰ卷(选择题:共 60 分)
一、选择题(包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 M= x ?1 ? x ? 2 ,N= x y ? A。R 2.复数 Z ? B。 ?? 1 , ? ?? C。 ?? ?, 2?

?

?

?

>
x ,则 M ? N ?
D。 ?? 1 , 0? ? ?0,???

?



) 。

?1 ? i ?2 ,则复数
1? i

Z 对应的点在



) 。

(C)第三象限 3、 设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 S 4 ? a2 A. 2 B. 4 C. 15
2

(A)第一象限

(B)第二象限

(D)第四象限 ( )

D. 17
2

4、已知 P 是三角形 ABC 所在平面内的一点,若 CB ? ? PA ? PB 其中 ? ? R ,则点 P 一定 在( ) A。AC 边所在的直线上 C。AB 边所在的直线上 B。BC 边所在的直线上 D。三角形 ABC 的内部 ( ) 。

5.已知 ? ? ? ?

4 ? ? ? , 0 ?, cos? ? , 则 tan 2? 的值是 5 ? 2 ?
(D) ? 24
7

A。 7 (B) 24 (C) ? 7 7 24 24

6.若命题 P: ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 ,则该命题的否定是 (A) ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 (C) ?x ? R,2 x2 ? 1 ? 0 (B) ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 (D) ?x ? R,2 x2 ? 1 ? 0



) 。

7、设函数 f ?x ? 的定义域为 R,它的图像关于直线 x=1 对称,且当 x ? 1 时 f ?x ? ? 3 ? 1 则
x

?1? ?3? ?2? A. f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? 3? ?2? ?3?

?2? B. f ? ? ? ?3?

?3? f? ?? ?2?

?1? f? ? ? 3?

?2? ?1? ?3? C. f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ?3? ? 3? ?2?

?3? ?2? ?1?( D. f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ?2? ?3? ? 3?
0

) )

8、 在三角形 ABC 中, a,b,c 是角 A,B,C,的对边, 若 a,b,c 成等比数列 A ? 60 则 (A) 1 (B) 3
4

b sin B ( ? c

(C)

2

2 2

(D) 3
2

9、设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的

( 10、设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ?
? x ? 0, y ? 0 ? ?3 x ? y ? 6 ? 0

)

,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大

值为 12,则

2 3 ? 的最小值为 a b 8 25 A. B. 3 6

( C.

)。

11 3
2 2

D. 4

11.已知抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 与双曲线 x 2 ? y2 ? 1 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线 a b 的交点且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 ( )。 (A) 2 2 ? 1 (B) 5 ? 1 2 2 (C) 3 ? 1 (D) 2 ? 1 ( )

12.若函数 f ?x ? 偶函数, 且满足 f ?x ? ? g ?x ? ? e x , 则 ,g ?x? 分别是 R 上的奇函数, A. g ?0? ? f ?3? ? f ?2? B f ?2? ? f ?3? ? g ?0? C。 g ?0? ? f ?2? ? f ?3?

D. f ?3? ? f ?2? ? g ?0?

第Ⅱ卷(非选择题:共 90 分)
二、填空题(包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 对任意非零实数 a、 b ,若 a ? b 的运算原理如图所 开始 输入 a、b 是 输出 b ? 1
a

?1? 示,则 ? l o g 8? ? ? ? ___ ___. 2 ? ? 2?
14、已知

?2

a≤b

否 输出 a ? 1
b

{an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,
S10 等于

则该数列前 10 项和

结束 15、已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上, 球心 O 在 AB 上,SO 垂直底面 ABC, AC ? 三棱锥体积之比是 16、 给出下列四个命题: (第 13 题图)

2r ,则球的体积与

a?m a ①若 a>b>0,c>d>0, 那么 a ? b ; ②已知 a、 b、 m 都是正数, 并且 a<b, 则 ? ; b?m b d c

③若 a、b∈R,则 a +b +5≥2(2a-b);④函数 f(x)=2-3x⑤原点与点(2,1)在直线 y ? 3 x ? 其中正确 命题的序号是 ..

2

2

4 的最大值是 2-4 3 . x

1 ? 0 的异侧. 2
. (把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明,证明过程或 演算步骤)
17 .( 10 分 ) 已 知 x ? R , 向 量 OA ? (a cos2 x,1), OB ? (2, 3a sin 2x ? a) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? f ( x) ? OA ? OB , a ? 0 .
(1)求函数 f ( x ) 解析式,并求当 a>0 时, f ( x ) 的单调递增区间; (2)当 x ? [0, 18. (12 分) 某高校在 2009 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组, 得到的频率分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方 图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽 取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试, 求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率? 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?
2

] 时, f ( x) 的最大值为 5,求 a 的值.

?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180?
[180,185]
合计

19、 (12 分) 如下的三个图中,分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左 视图(单位:cm) (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC ? ,证明: BC ? ∥ 面 EFG . G

D?
F

C?

2

6 4

2 2 4

B?
C B

E D A .

20、 (12 分) 已知椭圆 C 中心在原点、焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的最大值为 3 ,最小值 为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆交于不同的两点 M 、N ( M 、N 不是左、右顶 点) ,且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A .求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

21.(12 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ?1 x

(1) 试判断函数 f ( x ) 的单调性; (2) 设 m ? 0 ,求 f ( x ) 在 [ m,2m] 上的最大值; (3)试证明:对 ?n ? N ,不等式 ln(
?

1? n e 1? n ) ? n n

一.

(12 分) (二选一)

(1) 、 (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,从极点 O 作直线与另一直线 l : ? cos ? ? 4 相交于点 M,在 OM 上取一点

P,使 OM ? OP ? 12 .
1)求点 P 的轨迹方程; 2)设 R 为 l 上任意一点,试求 RP 的最小值. (2) 、 选修 4-5:不等式选讲 1)(6 分) 设 a1 , a2 , a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? m ,求证

1 1 1 9 ? ? ? a1 a2 a3 m
2

2 2 2)(6 分) 已知 a 、b 都是正数,x, y ? R 且 a ? b ? 1 , 求证:ax ? by ? ? ax ? by ? .

高三数学(理科)期末试题参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 选项 1 B 2 B 3 C 4 A 5 D 6 C 7 B 8 D 9 C 10 A 11 D 12 C

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13、1 三.解答题 14、100 15、

4?

16、 2)3)5)

17.(满分 10 分) 解:(1) f ( x) ? 2a cos2 x ? 3a sin 2x ? a ????????????2 分

? 3a sin 2 x ? a cos 2 x
? 2a sin(2 x ? ) . 6 p p 当2k p - ? 2 x ? 2k p 2 6

?

?????????????????4 分

p (k ? Z )时,即k p 2

p #x 3

kp +

p (k ? Z )时 . 6

轾 p p f ( x)为增函数,即f ( x)的增区间为 犏 k p - , k p + (k ? Z ) 犏 6 臌 3
(2) f ( x) ? 2a sin(2 x ? 若 a > 0, 当2 x +

???6 分

?
6

) ,当 x ? [0,

?
2

] 时, 2 x ? ? ? [ ? , 7? ] .
6 6 6

5 p p = 时, f ( x) 最大值为 2a ? 5 ,则 a ? .????8 分 2 6 2 ? 7? 时, f ( x) 的最大值为 ? a ? 5 ,则 a ? ?5 . ??10 分 若 a ? 0, 当2 x ? ? 6 6
18、解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人, -----1 分

30 ? 0.300 第 3 组的频率为 100 , -----2 分 频率分布直方图如下: -------4 分
(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每 组分别为:

30 20 ?6 ? 3 ?6 ? 2 第 3 组: 60 人, 第 4 组: 60 人, 10 ?6 ?1 第 5 组: 60 人, ------------7 分
所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。

(3) 设第 3 组的 3 位同学为

A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 ,
15 种 可 能 如 下 :

则 从 六 位 同 学 中 抽 两 位 同 学 有

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), -- 9 分
其 中 第 4 组 的 2 位 同 学 为

B1 , B2 至 少 有 一 位 同 学 入 选 的 有 :

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9 中可
能, ---11 分

9 3 ? B ,B 所以其中第 4 组的 2 位同学为 1 2 至少有一位同学入选的概率为 15 5
19、解: (1)如图 2 6 4 (正视图) 4 (侧视图) 2 2 2 2 (俯视图) 6 4

-------12 分

------------4 分

(2)所求多面体体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 = (3)证明:在长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, 连结 AD ? ,则 AD? ∥ BC ? . 因为 E,G 分别为 AA? , A?D ? 中点,所以 AD? ∥ EG

1 ?1 3 ?2

? ?

284 cm 3 .--8 分 3
G

? ?
F

D?

C?

A?
E A

B?
C B

D

从而 EG ∥ BC ? .又 BC ? ? 平面 EFG ,所以 BC ? ∥面 EFG . --------------12 分 20、解: (1)设椭圆的长半轴为 a ,半焦距为 c ,则

?a ? c ? 3 ? ?a ? c ? 1

解得

?a ? 2 ? ?c ? 1

∴ 椭圆 C 的标准方程为
2 2 ? ?x ? y ?1 (2)由方程组 ? 4 3 ? ? y ? kx ? m
2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
k2 消去 y ,得 3 ? 4

??????? 4 分

?

?x

2

2 ? 8k m x ? 4 m ? 1 2? 0

由题意:△ ? ? 8km ? ? 4 3 ? 4k 整理得: 3 ? 4k ? m ? 0
2 2

?

2

?? 4m

2

? 12 ? ? 0

① ??6 分

设 M ? x1 , y1 ?、N ? x2 , y2 ? ,则

x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

由已知, AM ? AN , 且椭圆的右顶点为 A (2, 0) ∴ 即

? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 ? 0
2 1 2 1 2

??????? 8 分
2

?1 ? k ? x x ? ? km ? 2 ?? x ? x ? ? m

?4?0

也即

?1 ? k 2 ? ?
2

4m2 ? 12 ?8km ? ? km ? 2 ? ? ? m2 ? 4 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2

整理得: 7m ? 16mk ? 4k ? 0 解得: m ? ?2k 或 m??

2k ,均满足① 7

????????? 10 分

当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2k ,过定点 (2, 0) ,舍去 当m ? ?

2 2k 2? ? 时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,过定点 ( , 0) , 7 7 7? ? 2 7

故,直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( , 0) .????????? 12 分

21. (12 分) 解: (1)函数 f ( x ) 的定义域是: (0,??) 由已知 f ( x ) ?
'

1 ? ln x x2

??????????????????????1 分

' 令 f ( x) ? 0 得, 1 ? ln x ? 0 ,? x ? e

? 当 0 ? x ? e 时, f ' ( x) ?

1 ? ln x 1 ? ln x ? 0 ,当 x ? e 时,? f ' ( x) ? ?0 2 x x2

? 函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减 ? 当 x ? e 时,函数有最大值 f ( x) m a x? f (e) ?
1 ? 1 ???????4 分 e

(2)由(1)知函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减 故①当 0 ? 2m ? e 即 0 ? m ?

e 时, f ( x ) 在 [ m,2m] 上单调递增 2

? f ( x) max ? ? f ( x) max ?

f ( 2 m) ?

ln 2m ?1 2m

②当 m ? e 时, f ( x ) 在 [ m,2m] 上单调递减

ln m ?1 m e ③当 m ? e ? 2m ,即 ? m ? e 时 2 ? f ( x) max ? f (e) ? 1 ? 1 ???????????????????8 分 e 1 (3)由(1)知,当 x ? (0,??) 时, f ( x) max ? f (e) ? ? 1 e ln x 1 ln x 1 ? 在 (0,??) 上恒有 f ( x) ? ? 1 ? ? 1 ,即 ? 且当 x ? e 时“=”成 x e x e f ( m) ?


?
?

对 ?x ? (0,??) 恒有 ln x ?

1 x ????????????????10 分 e

1? n 1? n ? 0, ?e n n
?

? ln

1? n 1 1? n 1? n 1? n ? ? ? l n ( )e ? n e n n n

即对 ?n ? N ,不等式 l n (

1? n e 1? n ) ? 恒成立。?????????12 分 n n
4 , ? ? 3cos ? ---------------------6 分 cos ?

22.(1) .解:1)设 P ? ? ,? ? , OM ? 2)RP min ? 1 (2) .证明:

------------------------------------------------12 分

1) 1 ? 1 ? 1 ? 1 (a1 ? a2 ? a3 )( 1 ? 1 ? 1 ) ????????2 分
a1 a2 a3 m a1 a2 a3
? a a a ? 1 a a a 1? 9 ?3 ? ( 1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 1 ? 3 )? ? (3 ? 2 ? 2 ? 2) ? m? a a a a a a m m ? 2 1 3 2 3 1 ? ?

??5 分

当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ?

m 时,等号成立 3

????????6 分

2)ax2+by2=(ax2+by2)(a+b)=a2x2+b2y2+ab(x2+y2)≥a2x2+b2y2+2abxy=(ax+by)2。??12 分


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