当前位置:首页 >> 数学 >>

立足课本,研究命题——谈2014年江苏高考函数解答题


l 2 — 3 o  

I t . 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

立 足课 本 ,研 究命题 


谈2 0 1 4 年 江苏 高考 函数解 答题 

2 1 5 0 0 6 苏州 大学数学科 学学院研 究生  王  凯 

函 数 与 导 数 是 中 学 数 学 中最 重 要 的 主 干 

导得 (   ) =1 ~  

, 即, 当  ∈( 0 , e 一1 ) 时,  

知识, 其观 点与思想贯 穿整 个高 中数学 教学的  全过程 , 是历年全 国各 省市高考考查力度 最大  的模 块 .   2 0 1 4 年 高考 江 苏卷 数学 函数类 试题 中没 
有 涉 及 到任 何 生僻 的 知 识 和冷 门的 方 法 .但 是  在 区 分 度 较 高 的 函数 与 导 数 相 结 合 的解 答 题  中,需 要 学 生 理 解 数 学 问题 的 核 心 , 理 清 知 识  的 内部 联 系 , 才 能 透 过 现 象 看 本 质 .本 文 试 图 

^   (   ) <0 ; 当 ∈( e 一1 , + ∞) 时,   (   ) >0 . 故  (   ) 在( 0 , e —1 ) 上单调递减, 在( e —l , +o 。 ) 上单 

调 递 增 . 又 ^ ( e ) =   ( 1 ) = 0 . 从 而 , 当 号 + 去<  
a<e 时, h ( a ) <h ( e ) =0 , 即0 —1<( e 一1 ) I n   a ,   从而e 。   <a   ; 当a>e 时, h ( a ) >  ( e ) =0 ,  
即0— 1> ( e— 1 ) I n   a , e 。 一  > a e 一   ; 当a= e 时,  
e0 —1 = ne 一1

. 

分析2 0 1 4 年江苏卷 函数解答题的相关背景与相 
关题.  


解 法 二 :要 比较 e a - 1 和0 。 - 1 的 大 小 ,只 需 

比较( 0—1 ) i n e 和( e一1 ) I n 0 的大小.进一步,  


试 题 解 答  由于 0> 1 , e> 1 , 故 只 需 比较 
e — l  

题1  ( 2 0 1 4年 高 考 江 苏卷 第 1 9 题) 已知 函 

和 


a ~ l  

的 

数f ( x ) =e   +e _ 。 , 其中e 是 自然对数的底数 .  
( 1 ) 证 明: . 厂 (   ) 是 R 上偶 函数 ;  

大小. 为此考虑函数9 (   ) :  
, , m、  =

±  其 导 数 

( 2 ) 若关于  的不等式mf ( x ) ≤e - X +m一1   在( 0 , +。 。 ) 上恒成立, 求实数m的取值范围;  



旦± 

( 1 +  )  
<  

( 3 )已知正 数 a 满足 :存在 X O∈ [ 1 , 十 ∞) ,  

可 以证 明在 z> 一1 ,   ≠0 时, 有 — 

使得f ( x o ) <n ( 一   3 +3 x 0 ) 成立. 试比较e a - 1 和  
a   的大 小 , 并证 明你 的结 论 .  
解 :( 1 ) 、( 2 ) 略.  

l n ( 1+  ) , 故g   (   )<0 ,即- 9 (   ) 在( 一 1 , +。 。 ) 上 
单 调 递 减 .因 此 :当n>e 时,   >   ,即 


( 3 ) 解 法一: 容易计算对任意X   E『 1 +c o ) ,  

e a - 1> 。 e 一   ; 当n= e 时, e n 一 1 =。 e 一   ;  

,  ) -e   一e _ z >0 , 即,  ) 在[ 1 , +。 。 ) 上单调递 
增, 且f ( 1 ) =e+   .令g ( x ) =一 X 0 +3 x , 则  9   (   ) =一 3 x   +3 =一 3 ( x +1 ) ( X 一1 ) , 因此g ( x )   在[ 1 , +∞) 上单调递减, J i g ( 1 ) = 2 .若存在X o∈   [ 1 , +∞) , 使得f ( x o )<a g ( x o ) 成立, ̄ J J f ( 1 ) <  

;  
< 0< e 时,   <   , 即e n 一 1< n e _。 .  

解 法 三 :由指 数 函数 与幂 函 数 趋 于 无 穷 的  速 度 比较 可 知 , 当a 充分 大时, e 一 >a e 一 一   .因 

此 只 需 找 到 区 问 ( 号 +  , + ∞) 上 两 者 的 临 界  
点, 即使得e  1 =a e - 1 成立 的 a的取值即可.  
用 解 法 一 的方 法 可 以 证 明 , a =e ¥ H a =1 分 

a g ( 1 ) , 即 e + 言 < 2 a , 解 得 0 > 5   + E   >1 .  
要 比 较e 0 一 -   和a e 一 -   的 大 小, 只 需 比 较 

I n e a - 1 和I n a e - 1 ,即0— 1 /  ̄ N ( e一 1 ) l n a 的 大 小.   为此, 考虑 函数h ( x ) =(  —1 ) 一( e 一1 ) i n X . 求 

别 是( e 一1 , + 。 。 ) 和f 1 , e —1 ) 上唯一使得e 。 _ 。 =  

a e - 1 成立的n 的取值( 如图1 ) . 注意到1<昙+  

2 0 1 4 年第 1 2 期 


数 学敦 学 

1 2 - 3 1  

< e- l , 因此 , 当 n> e 时, e 。 一 1   a e - 1 ; 当 

n = e 时 , e a - 1 = a e - 1 ; 当 三 +   1 < 。 < e 时 ,  
ea 一 1 < ae ~
. 

可 以看 出, 上 述解法 完全套用 题 1 的解法  二 或者 说 题 1 的解 法 二 完全 套 用此 题 解 法.   所 以说 , 高 考 题 确 是 课 本 中 思 想 的延 伸 .当然 ,  
此 题还 可 用数 学 归纳法 和 作商 比较 的方 法证 
明.  

三 、高观 点下的解法分析  仔 细分 析解法 二 发现,比较e   和a   的 

大小, 其本质考虑的是函数夕 (   ) :  
估计, 即:  

±型 的  

单调 性.这 个过 程 中最 重要 的是对l n ( 1 +x ) 的 

在X>- 1 , X≠0 时, 成立不等式÷
图1  

<  

l n ( 1 +  1 <X .  
这 在 高等 数 学 中是一 个非 常重 要 的不等  式. 当然 , 此不等式可 以用初等方法证 明. 但若 

二 、课 本背景  课本 是高考命题 的基本 依据, 很 多高考题  源 自课本, 或是 课本 习题 的改编 , 或 是课 本 中   思想的延伸 . 此题也不例外 .   题2 ( 苏 教版 必修 一第 1 1 0 页 复 习题 1 6 )  

结合高等数学中的 L a g r a n g e 中值 定理  过程将 
非常简 明.  
一  

证 明: 记^ (   ) =l n ( i +  ) ,  ̄ U h ( x ) =h ( x )   ( 0 ) .由L a g r a n g e 中值定理: 存在∈∈( 0 , 1 ) ,   ) =   .  

设a 、b 、c 都 是 不等于 1 的正数 , 且a b ≠1 , 试  比较 a l o g c b 和b l o g c 。 的大 小 .  
解: 令x =a l  ̄ g  , y =b l o g  , 只 需比较 l o g c X   和l o g   Y的 大 小 . 由 于l o g c   =l o g c   b? l o g c   a=  

使得 

l o g   Y ,结合 函 数f ( x ) =l o g   z 的单 调 性 可 得:  
X= a l  ̄ g c 6= Y = b l o g c 一 一
. 

从 而  ) =  ÷  . 对   > 0 和 一 l <  < 0 分 别  
讨论得 
1 <  .  

<r 

<  ? 因此 

<l n(   +  

此课 本 习题 不 仅在 表述 形式 上 与今 年 的 

考题 类 似 , 而 且解 法 的 大致 思 想 也是 相 同 的.  

我们将在 下面的相关题研究 ( 题5 ) 中再 次 
使用 此 不 等 式 .  


在直接 比较两数 大小遇 到 困难时, 都是通过 取  对数 , 结合对数函数的单调性解 决 问题 .   与此 类 似 的 问题 在 苏教 版教 材 中屡 见不 
鲜:  

般 地, 结合g ( x ) 的单 调性 , 我 们 可 以 比 

较a 6 一  和 b 。 一  的 大 小 ( 0> l , b> 1 ) :当 a>b  
时, a 6 一  < b “ _。 .  

题3 ( 苏教版 选修 2 — 2 第1 0 3 页 复 习题 l 4 )  
试 比较 f n+ 1 ) n S N n n +   的大 小 .  

再 看 解 法 三,此 中 的 关 键 在 于 指 数 函 

解: 只需 比较 l n ( n+ 1 )  和 l n n n + 1 , 即n?   l n ( n+1 1 和( n +1 ) l n n的大小. 进一步, 只需比  

数Y=e x 与幂 函数Y=   (  > 0 ) 趋于无 穷的“ 速  度 陕慢 .我们称之 为指数 函数 的数 量级 问题 .  


e-1  

从极 限的角度看: l i m 

=0 , 即当0 充分 

较 
=  

n 十

上  

和  的大小. 为此考虑函数九 (   )  
n 

大 时, 一 定有e 0 一 一 1 >a e 一 1 .因此只要确 定区间 



求导得  , (   ) =  

. 50 <  <e 时,  

( 兰 +  , + ∞ ) 上 唯 一 使 得 e n _ 1   a e - 1 成 立 的  
a 的取值 即可 . 此方法是理解 了问题 的核心, 透  过现象看 到了本质, 将题 目的结果 “ 看” 了出来.   但 这需 要对指 数 函数 的数量 级有 充分 的认识,   对 中学生来说 有一定 的困难 . 不 过这个 问题在  苏教版教材 中是有体现的:  

^   (   ) >0 , 函数^ (   ) 单调增加; 当X >e 时, 九   (   )   <0 , 函数 h ( x ) 单调 减少 .因此, 当n≥ 3 时,  
<  
n + l   n 

, 即( n+ 1 ) 亿 <n 佗 + 1 .当 礼 :1  

或 佗= 2 时, ( 佗+ 1 )  > n 佗 +   .  

1 2 — 3 2  

数 学教 学 


2 0 1 4 年第 1 2 期 

题4  f 苏教版必修 一第三章 复习题s )  ̄ J l 用 
计 算 器 分 别 计 算 当  = 1 , 2 , 3 , … , 1 0时 ,函 数 


l n 8> 0 , 9 ( 3 ) =I n 6 4 一I n 8 1 <0 .故存在 唯 



的  ∈( e —l , 3 ) , 使得l 9 ( t ) :l n ( t +1 )   一 I n  +  
0 . 从而 , 存在 唯一的t ∈f e 一1 , 3 ) , 使得  蚪1  

2   ,   =l o g 2  , 及  =z 。的值 , 并 分 析 判 断 



当  无 限 增 大 时, 这 三 个 函 数 中 哪 个 函 数 增 长 



(   +1 )   . 进一步, 当   ∈( 0 , t ) 时, (  +1 )  >  
十   ; 当  ∈(   , +。 。 ) 时, (  + 1 ) z<   + 1 .  



的更快些 ?   解:通过 图像观 察 容易 得 到,   无 限增 大  时, 指数 函数 =2   增长 最快, 其 次是幂 函数  2 最 后 是 对 数 函数 =l o g 2  .   四 、相 关 题 研 究  从 题 3的 结 论 出发 , 能 否 作 一 些 联 想 和 推 
 

注:用数 学软件Ma t l a b 可求 出实数 t 的值 

大致为 t= 2 . 2 9 3 2 …; 此题 源 自文[ 1 】 , 但 原书 
中的证 明有误( 其 中的实数  —e ) , 此处 已更正.  
题1 解 法 二 和 题 4的 证 明过 程 中 构 造 了 辅 



广 ?  

助函数9 (   ) :  

± 型 和^ (   ) 一  


利 用 函 

题 5 计算可 以发现:   ( 1 )当 =1 . 1 或2 . 2 时, (  + 1 )  >x x + l ;   ( 2 ) 当 =2 . 9 或3 . 2 时, (  + 1 )  <x z +   ;   问能否找到实数 t , 使得对任 意  ∈( 0 , t ) ,  

数 单 调 性 比较 大 小 .特 别 值 得 一 提 的 是 , 此 类  函 数 的 相 关 性 质 成 为 不 少 高 考 试 题 的 命 题 背 

景. 比如 , 2 0 1 3 年高考江苏卷第 2 0 题:  

(  +1 )  >   +   ; 对任意 ∈( t , +o 。 ) , ( z+1 )  
<x x + l 恒 成 立 ?进 一 步 , 试 比较 0 6 和6 o的 大 

小( 0 >6 >0 ) .   解:类似 于题 3 的解 法, 只 需 比较 l n ( z+   1 )    ̄ D l n z   +   , 即 I n ( z +1 ) 和(  +1 ) i n  的大/ J 、 ,  
进 一 步, 只 需 比 较  和  的 大 小 . 为 

题6 ( 2 0 1 3 年 高考江苏卷第 2 0 题) 设f ( x )   i n  一0   , 9 ( X ) =e   一n   , 0∈R. 若夕 (   ) 在  ( 一1 , + ∞) 上单调递增, 求, (   ) 的零点个数.  


解 :由9 (   ) 的单调性易得0 ≤二 . 函数f ( x )  
e 

1   T 1  

的 零 点 个 数 即 为方 程 0 =  
1 n , n 

的解 的个 数 , 也 即 

y =a 与h ( x ) =  


的图像 的交 点个 数.   (   ) =  

此考虑 函数h ( x ) =  

.当0 <  <e 时,  (   ) >  

当 ∈ ( 0 , e ) 时, h p (   ) >0 ,  (   ) 在( 0 , e )  

0 , 函数 ^ (   ) 单调递增 ; 当  > e 时, 九   ( z ) <0 ,   函数 h ( x ) 单调递减.  
因此 , 当0 <  , 且 +l < e , 即0<  <e 一1 时,  

是增 函数; 当   ∈( e , + o 。 ) 时,  (   ) <0 ,  (   ) 在  ( e , + 。 。 ) 是减函数.因此 当  =e 时, 函数^ (   ) 有 

(  +1 ) x >x z +   ; 当 >e 时, (   +1 )   <  + 1 .  

最大值二 ,  (   ) 的 值域为( 一 。 。 ,  ) ; 当   + o O  
时, h ( x ) 一0 ;当  一 0 时,  (   )   一 。 。 .函数  h ( X ) 的图像 分别 以   轴,  轴 为渐 近 线. 画 出示 

结合 函数h ( X ) =  
>6 >e 时,  
e 时,   >  

的单调 性可 得:当 n  

<  

, 即0 b <b n ; 当0 <6<n<  

意图( 见图 2 ) 即得:当  ∈( 一 o o , 0 】 U{ 妄 } 时,  
,   1 、  

, 即0 6> b n .  

. 厂 (   ) 有一个零点; 当 0 ∈( 0 ,  ) 时 , . 厂 (   ) 有两个  
零 点.  

但当e 一1< z< e 时, 还 未 曾 比较 (  +1 )   和  +   的大 小, 即: 未找到 题述 中的实数 t .下  面证 明题 中实数 的存在性.  

令y ( x ) =  +   一(  +1 )   , 贝 0 . 厂 ( 2 ) <0 , f ( 3 )   >0 . 故. 厂 (   ) 在( 2 , 3 ) 上存在零点. 进一步, 在区  间( e ~1 , 3 ) 上考虑 函数夕 (   ) =  l n ( z +1 ) 一(  +  

1  
e  … 。  

h  )  
、 一  



:  

一  

0  / 1   e  

x 一  

1 ) I n z . 由 于 当   ∈ ( e 一 1 , 3 ) 时 , i n ( 1 +   ) < 素 .   于 是 : 9 / (   ) = i n (   + 1 ) +   {   — l n x m 一 山  =  

图2  

I n (   +   ) 一   一  < 一   < 0 .  
即9 ( z ) 在区间( e 一1 , 3 ) 上单调. 又9 ( 2 ) : l n   9  

参 考 文 献 

[ 1 ] 虞涛.从课本到高考——数学研究性  学习 [ M] . 上海: 华东师 范大学 出版社 , 2 0 0 9 .  


赞助商链接
相关文章:
2007年湖南高考函数复习方向研究 湘钢一中 谷清华
年是湖南省自主命题的第四年,前三年湖南高考数学...2005 年高考函数部分解答题(含导数) 卷别 全国Ⅰ ...命题虽然立足课本,但对课本的知识点进行了深入拓展...
立足课本答好文言题
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 立足课本答好文言题 作者:张娟 来源:《高中生· 高考指导》2014 年第 07 期 很多考生备考时存在一个误区——复习教材...
2007年湖南高考函数复习方向研究湘钢一中谷
年是湖南省自主命题的第四年, 前三年湖南高考数学...2005 年高考函数部分解答题(含导数) 卷别 全国Ⅰ ...命题虽然立足课本,但对课本的知识点进行了深 入...
立足课本 抓住基础 提高能1(0)
立足课本 抓住基础 提高能力邹平县黄山中学高三数学组 贾新 三角函数是中学学习...多为特殊角) 从近几年的全国高考题和各省市自主命题来看主要有以下考查内容: ...
2014年高考数学试题分析
立足学科基础,强调能力立意 命题以中学数学基础知识为...文科的压轴第 21 题,函数表达式简约,三问的设计...2014 年陕西高考数学试 题进一步体现了课本高考...
2007年湖南高考函数复习方向研究 湘钢一中 谷清华
当今高考更是注重在知识交汇点命题,与函数有关的...江苏 山东 江西 题次 第六题 第一题 第六题 第...命题虽然立足课本,但对课本的知识点进行 了深入...
2007年湖南高考函数复习方向研究 湘钢一中 谷清华
年是湖南省自主命题的第四年, 前三年湖南高考数学...2005 年高考函数部分解答题(含导数) 卷别 全国Ⅰ ...命题虽然立足课本,但对课本的知 识点进行了深入...
2007年湖南高考函数复习方向研究 湘钢一中
年是湖南省自主命题的第四年, 前三年湖南高考数学...2005 年高考函数部分解答题(含导数) 卷别 全国Ⅰ ...总的来说:三角函数的考查会立足课本,落实基础,重视...
2007年湖南高考函数复习方向研究 湘钢一中 谷清华
年是湖南省自主命题的第四年, 前三年湖南高考数学...2005 年高考函数部分解答题(含导数) 卷别 全国Ⅰ ...命题虽然立足课本,但对课本的知识点进行了深入拓展...
2007年湖南高考函数复习方向研究 湘钢一中 谷清华
年是湖南省自主命题的第四年,前三年湖南高考数学...2005 年高考函数部分解答题(含导数) 卷别 全国Ⅰ ...命题虽然立足课本,但对课本的知 识点进行了深入...
更多相关文章: