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高三数学第一轮复习单元测试——直线与圆的方程


高三数学第一轮复习单元测试(6)—《直线与圆的方程》
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. (2008 年重庆卷)圆 O 1: x2 ? y 2 ? 2x ? 0 和圆 O 2: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 ( )

A. 相离

B. 相交

C. 外切

D. 内切
( )

2 若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于

2 D. ?2 3 2 2 3.设直线过点 (0, a), 其斜率为 1,且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为
A.1 B. ? C. ? A. ?4 B. ?2 2 C. ?2 D. ? 2

1 3





4.平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于点 C ,则动点 C 的轨迹是 ( A.一条直线 5.参数方程 ? A.圆 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 ) )

?x ? 2 ( ? 为参数)所表示的曲线是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( y ? tan ? ? cot ? ?
B.直线
2

C.两条射线

D.线段 )

6.如果直线 l1 , l2 的斜率分别为二次方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两个根,那么 l1 与 l2 的夹角为( A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6
2 2

D.

? 8

7. (2008 年安徽卷)若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1有公共点,则直线 l 的斜率的取 值范围为 A. [? 3, 3] B. (? 3, 3) C. [? ( )

3 3 , ] 3 3

D. (?
2

3 3 , ) 3 3
2

8.一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的最短路径是 ( A.4 B.5 C. 3 2 ?1
2 2



D. 2 6

9.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 的最小值为 A.1 B.5 C. 4 2 D. 3 ? 2 2 (

1 2 ? a b


10.已知平面区域 D 由以 A?1,3? 、 B?5,2? 、C ?3,1? 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无穷

多个点 ? x, y ? 可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m ? A. ? 2 B. ? 1 C. 1

( D.4



11.设圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 (r ? 0) 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离等于 1,则圆半径 r 的取值范围是 A. 3 ? r ? 5 B. 4 ? r ? 6 C. r ? 4 ( ) D. r ? 5 ,那么 2x ? y 的最大值为 D. ?3

?x ? y ?1 ? 0 ? 12. (2006 年安徽卷)如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. 2 B. 1 C. ?2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.已知直线 l1 : x ? y sin ? ?1 ? 0 , l2 : 2 x sin ? ? y ? 1 ? 0 ,若 l1 // l2 ,则 ? ? .

14.若圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? 4my ? 4m2 ? 8 ? 0 相交,则 m 的取值范 围是 . 15.已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为________. 16.已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1, 直线 l:y=kx,下面四个命题: (A)对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B)对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C)对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切; (D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切. 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.本小题满分 12 分) ( 已知 ?ABC 的顶点 A 为 -1)AB 边上的中线所在直线方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , (3, ,

? B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程.

18. (本小题满分 12 分)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为 3:1; ③圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为

5 ,求该圆的方程. 5

19. (本小题满分 12 分)设 M 是圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 上的动点,O 是原点,N 是射线 OM 上的点,若

| OM | ? | ON |? 150 ,求点 N 的轨迹方程。

20. (本小题满分 12 分)已知过 A(0,1)和 B (4, a ) 且与 x 轴相切的圆只有一个,求 a 的值及圆的方程.

21. (本小题满分 12 分) (2006 年辽宁卷) 已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0)
2

上的两个动点, O 是坐标原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为

2 5 时,求 p 的值。 5

22. (本小题满分 14 分)已知定点 A(0,1) ,B(0,-1) ,C(1,0) .动点 P 满足: AP ? BP ? k | PC |2 . (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型; (2)当 k ? 2 时,求 | 2 AP ? BP | 的最大、最小值.

??? ??? ? ?

参考答案(6)
1 B.化成标准方程: O 1: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1, O 2: x2 ?) y ? 2)2 ? 4 ,则

O1 (1, 0) , O2 (0, 2) , | O1O2 |? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 5 ? R ? r ,两圆相交
2.D.由 A A2 ? B1B2 ? 0 可解得. 1 3.C.直线和圆相切的条件应用, x ? y ? a ? 0,? 2 ?
,? a ? ?2 ,选 C; 2 4.A.过点 A 且垂直于直线 AB 的平面与平面 ? 的交线就是点 C 的轨迹,故是一条直线. a

5.C.原方程 ? ?

?x ? 2 ?| y |? 2

6.A.由夹角公式和韦达定理求得. 7.C.解:设直线方程为 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ,直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点, 圆心到直线的距离小于等于半径 d ? 得 4k ? k ? 1, k ?
2 2 2

2k ? 4k k ?1
2

? 1,

1 ,选择 C 3

另外,数形结合画出图形也可以判断 C 正确。 8.A.先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C ' ,问题转化为求点 A 到圆 C ' 上 的点的最短路径,即 | AC ' | ?1 ? 4 . 9.D.已知直线过已知圆的圆心(2,1) ,即 a ? b ? 1 .

1 2 1 2 b 2a ? ? ( ? )(a ? b) ? 3 ? ? ? 3? 2 2 . a b a b a b 10.C.由 A?1,3? 、 B?5,2? 、 C ?3,1? 的坐标位置知, ?ABC 所在的区域在第一象限,故 x ? 0, y ? 0 .由
所以

z ? x ? my 得 y ? ?

1 z 1 x ? ,它表示斜率为 ? . m m m z 1 1? 3 最小,此时需 ? ? k AC ? ,即 m ? 1; m m 3 ?1

(1)若 m ? 0 ,则要使 z ? x ? my 取得最小值,必须使

(2)若 m ? 0 ,则要使 z ? x ? my 取得最小值,必须使 与 m ? 0 矛盾.综上可知, m ? 1. 11.B.注意到圆心 C (3, ?5) 到已知直线的距离为

z 1 1? 2 最小,此时需 ? ? k BC ? ,即 m ? 2, m m 3?5

l

| 4 ? 3 ? 3 ? (?5) ? 21| 4 ? (?3)
2 2

4

? 5,

结合图形可知有两个极端情形: 其一是如图 7-28 所示的小圆,半径为 4; 其二是如图 7-28 所示的大圆,其半径为 6,故 4 ? r ? 6 . 12.B.当直线 2x ? y ? t 过点(0,-1)时, t 最大,故选 B. 13. k? ?

?
4

(k ? Z ) . sin ? ? 0 时不合题意;

sin ? ? 0 时由 ?
这时

1 1 2 ? ? ?2sin ? ? sin 2 ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? k? ? , sin ? 2 2 4

1 ? ?1 . sin ? 12 2 14. (? , ? ) ? (0, 2) .由 R ? r ? d ? R ? r 解之得. 5 5 | 5 ?1 ? 12 ? 0 ? a | 15.8 或-18. ? 1 ,解得 a =8 或-18. 52 ? 122
16. (B) (D).圆心坐标为(-cos?,sin?)d=

|-k cos ?-sin ? | 1+k 2 =|sin ?+?)? 1 ( |
故填(B) (D)



1+k 2 |sin ?+?) ( | 1+k 2

17.设 B(4 y1 ?10, y1 ) ,由 AB 中点在 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 上, 可得: 6 ?

4 y1 ? 7 y ?1 ? 10 ? 1 ? 59 ? 0 ,y1 = 5,所以 B(10,5) . 2 2

设 A 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A '( x ', y ') ,
y? ? 4 ? x? ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 10 ? 0 则有 ? ? A?(1,7) .故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 . ? y? ? 1 1 ? ? ? ?1 ? x? ? 3 4 ?

18.设圆心为 ( a, b) ,半径为 r,由条件①: r ? a ? 1 ,由条件②: r ? 2b ,从而有: 2b ? a ? 1 .由
2 2 2 2 2 2

?2b2 ? a 2 ? 1 ?a ? 1 ?a ? ?1 | a ? 2b | 5 条件③: 可得: ? 或? ,所以 ? ?| a ? 2b |? 1, 解 方 程组 ? 5 5 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?| a ? 2b |? 1

r 2 ? 2b2 ? 2 .故所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 .
19.设 N ( x, y) , M ( x1 , y1 ) .由 OM ? ?ON (? ? 0) 可得: ?

???? ?

????

? x1 ? ? x , ? y1 ? ? y

150 x ? ? x1 ? x 2 ? y 2 ? 150 由 | OM | ? | ON |? 150 ? ? ? 2 .故 ? ,因为点 M 在已知圆上. 2 x ?y ? y ? 150 y ? 1 x2 ? y 2 ?
所以有 (

150x 2 150y 2 150x 150y ) ?( 2 ) ? 6? 2 ?8? 2 ? 0, 2 2 2 2 x ?y x ?y x ?y x ? y2

化简可得: 3x ? 4 y ? 75 ? 0 为所求. 20.设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .因为点 A、B 在此圆上,所以 E ? F ? 1 ? 0 ,① ,

4D ? aE ? F ? a2 ? 16 ? 0 ② ? ? 0 ? D2 ? 4F ? 0 ,③

③④又知该圆与 x 轴(直线 y?0 )相切,所以由 由①、②、③消去 E、F 可得: (1 ? a ) D ? 4 D ? a ? a ? 16 ? 0 ,
2 2

1 4

④ 由题意方程④有唯一解,当 a ? 1 时, D ? ?4, E ? ?5, F ? 4 ;当 a ? 1 时由 ? ? 0 可解得 a ? 0 , 这时 D ? ?8, E ? ?17, F ? 16 . 综上可知,所求 a 的值为 0 或 1,当 a ? 0 时圆的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ?17 y ? 16 ? 0 ;当 a ? 1 时,圆 的方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 4 ? 0 . 21.(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 整理得: x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
2 2

???? ????

故线段 AB 是圆 C 的直径

证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ),( x1 , y2 ),( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为

(x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

当 y=p 时,d 有最小值

?p ? 2.
解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

2 5 ,则 5

m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y ? px ? 2 p 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 2

2 5 5

? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)
将(2)代入(3)得 y 2 ? 2 py ? 2 p2 ? 2 p ? 0

?? ? 4 p2 ? 4(2 p2 ? 2 p) ? 0
?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p |

?

( y1 ? y2 ? 2 p)2 ? 4 p 2 4 5p
p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

?p ? 2.
22 . 1 ) 设 动 点 坐 标 为 P( x, y) , 则 A P? ( x y 1) BP ? ( x, y ? 1) , PC ? (1 ? x, y) . 因 为 ( , ? ,

??? ?

??? ?

??? ?

AP ? BP ? k | PC |2 ,所以
x2 ? y 2 ?1 ? k[( x ?1)2 ? y 2 ] . (1 ? k ) x2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 .
若 k ? 1 ,则方程为 x ? 1 ,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线. 若 k ? 1 ,则方程化为 ( x ?

k 2 1 2 k 1 ) ? y2 ? ( ) .表示以 ( , 0) 为圆心,以 为半径的圆. 1? k 1? k k ?1 |1 ? k |

2 2 (2)当 k ? 2 时,方程化为 ( x ? 2) ? y ? 1,
2 2 因为 2 AP ? BP ? (3x,3 y ?1) ,所以 | 2 AP ? BP |? 9 x ? 9 y ? 6 y ? 1 .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

又 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ,所以 | 2 AP ? BP |? 36x ? 6 y ? 26 . 因为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,所以令 x ? 2 ? cos ? , y ? sin ? , 则 36x ? 6 y ? 26 ? 6 37 cos(? ? ?) ? 46 ?[46 ? 6 37, 46 ? 6 37] . 所以 | 2 AP ? BP | 的最大值为 46 ? 6 37 ? 3 ? 37 , 最小值为 46 ? 6 37 ? 37 ? 3 .
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?


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