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2006年高一年级第一学期期末考试数学--泰州市


泰州市 2005~2006 学年度第一学期期末联考 高一数学试题
(考试时间:120 分钟 总分 150 分)

注意事项: 1、本试卷共分两部分,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为填空题和解答题。 2、所有试题的答案均填写在答题纸上(选择题部分使用答题卡的学校请将选择题的答 案直接填涂到答题卡上) ,答案写在试卷上的无效。 公式:棱锥的体积 V=


1 sh; 球的表面积 S=4πR2 3

第 I 卷(选择题
有一个选项符合题意要求.)

共 60 分)

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

1.设集合 P={1,2,3,4},Q={x| |x|≤2,x ? R},则 P ? Q 等于 A.{1,2} B.{3,4}
3 0.3

C.{1}

D.{-2,-1,0,1,2}

2.下列三个数: a ? 0.3 , b ? 3 , c ? log3 0.3 的大小顺序是 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. b ? a ? c 3.下图是某物体的直观图,在右边四个图中是其俯视图的是

A.

B.

C.

D.

4.己知函数 y=x 的值域是[1,4] ,则其定义域不可能是 . A.[1,2] C.[-2,-1] 5.下列判断正确的是 A.定义在 R 上的函数 f(x),若 f(-1)=f(1),且 f(-2)=f(2),则 f(x)是偶函数 B.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)>f(1),则 f(x)在 R 上不是减函数 C.定义在 R 上的函数 f(x)在区间 (??, 0] 上是减函数,在区间 (0, ??) 上也是减函数, 则 f(x)在 R 上是减函数 D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个 B.[-

2

3 ,2] 2

D.[-2,-1)∪{1}

6.圆 x +y -2ax+3by=0(a>0,b>0)的圆心位于 A.第一象限
2 2

2

2

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

7.圆 x +y -2x-3=0 与直线 y=ax+1 交点的个数为 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.随 a 值变化而变化

8.一组实验数据如下表 t V 1.02 0.01 1.99 1.50 3.01 4.40 4.00 7.50 5.10 12.09 6.12 18.01 1 2 D. V= (t -1) 2

与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 A.V=log2t B.V=-log2t C. V=2t-2

9.如图正方形 O’A’B’C’的边长为 1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原 图形的周长是
C' y' B'

A.8cm C.2(1+ 3 )cm

B.6 cm D.2(1+ 2 )c m
O' A' x'

10.设 P、A、B、C 是球 O 表面上的四个点,PA、PB、PC 两两 互相垂直,且 PA=3,PB=4,PC=5,则球的表面积为 A.

50 π 3 2 } 3

B.25π

C. 50π

D. 100π

11. 下面三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4 不能构成三角形,则 m 的集合是 A.{-1, B.{4, ?

1 } 6

C.{-1, ?

1 2 , ,4} 6 3

D.{-1, ?

1 2 ,0, ,4} 6 3

12.设α 、β 、γ 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ; ②若 m ? α ,n ? α ,m∥β ,n∥β ,则α ∥β ; ③若α ∥β ,l ? α ,则 l∥β ; ④若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

第 II 卷

(共 90 分)

二、填空题:(本大题共 6 题,每小题 4 分,共 24 分.) 13. 已知三角形的三顶点 A(2,-1,4) ,B(3,2,-6) ,C(-5,0,2) ,则 BC 边上的中 线长为 ▲ .

? 4? 14.计算: ? ? ?9?

?

1 2

? lg 5 ? lg 2 2 ? lg 4 ? 1 ? 31?log3 2 =



.

2 2 15.已知 x+2y-3=0,则 ( x ? 2) ? ( y ? 1) 的最小值是
o



.

16. 正三棱锥 P-ABC 侧棱长为 a,∠APB=30 ,D、E 分别在 PB、PC 上, 则△ADE 的周长的最小值为
x 2



.

17.若方程 3 ? x ? 2 的实根在区间 ?m, n? 内,且 m, n ? Z , n ? m ? 1 , 则 m? n ? ▲ . 18.若函数 f(x)=2+log2x 的图像与 g(x)的图像关于 ▲ 对称,则函数 g(x)= ▲ .(填上正确的命题的一种情形即可,不必考虑所有可能情形) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 66 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 19.(10 分)一个三棱柱木块如图所示,要经过侧面 A A1B1B 内一点 M 和直线 EF (E、F 分别为 BC、B1C1 的中点)将木块锯开,应怎样画线?并说明理由.
A E B M C

20. (10 分)已知 f(x)=loga (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性;

1? x (a>0,a≠1), 1? x

A 1 F B1

C 1

(3)判断 f(x)单调性并用定义证明.

21. (本小题满分 10 分) 己知圆 C:(x-xo) +(y-y0) =R (R>0)与 y 轴相切 (1) 求 xo 与 R 的关系式 (2) 圆心 C 在直线 l:x-3y=0 上, 且圆 C 截直线 m:x-y=0 所得的弦长为 2 7 ,求圆 C 方程.
2 2 2

22.(10 分)电信局为了满足客户不同需要,设有 A、B 两种优惠方案,这两种方案应付 话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图所示(其中 MN∥CD). (1)分别求出方案 A、B 应付话费(元)与通话时间 x(分钟)的函数表达式 f(x)和 g(x); (2)假如你是一位电信局推销人员,你是如何帮助客户选择 A、B 两种优惠方案? 并说明理由.
电 话 (元 话 费 ) 方 A 案 140

N 方 B 案 D

50 20 O M 100

C

500

通 时 (分 ) 话 间 钟

23.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形, AB∥CD,BA⊥AD,且 CD=2AB. (1)若 AB=AD=a,直线 PB 与 CD 所成角为 45 , ①求四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD; ②求二面角 P-CD-B 的大小.
A D C P

0

E

B

(2)若 E 为 PC 中点,问平面 EBD 能否垂直于平面 ABCD,并说明理由.

24.(本小题 14 分) 定义:若函数 f(x)对于其定义域内的某一数 x0,有 f(x0)= x0, 则称 x0 是 f(x)的一个不动点.已知函数 f(x)=ax +(b+1)x+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f(x)恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y=f(x)图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f(x)的不动点, 且 A、B 两点关于直线 y=kx+
2

a 对称,求 b 的最小值. 5a ? 4 a ? 1
2

泰州市 2005-2006 学年度第一学期期末联考 高一数学参考答案
一、选择题: 题号 1 2 答案 A C 二、填空题: 13. 7 14. 0 3 C 4 B
3 5 5

5 B

6 D

7 C

8 D

9 A

10 C

11 C

12 B

15.

16.

2a

17.

-3

18. 原点,g(x)=-2-log2(-x) 或 x 轴,g(x)=-(2+log2x) 或 y 轴,g(x)=2+log2(-x) 或 y=x 轴,g(x)=2x-2.(答对相应的 给分) 三.解答题: 19. 作法:过点 M 在平面 AB1 内作 PQ∥BB1, A 分别交 AB,A1B1 于 P、Q.连结 EP、FQ, P E 则 EP、FQ、PQ 就是所要画的线.…………5 分
B

g(x)才

C

证明:∵点 M 与 EF 确定平面α ,设α ? 平面 又∵E、F 分别为 BC、B1C1 的中点 ∴EF∥BB1 ∵BB1 ? 平面 AB1 ∴EF∥平面 AB1 ……………………………7 分 又∵α ? 平面 AB1=PQ
A1

M

AB1=PQ
C1

Q F B1

∴EF∥PQ ∴PQ∥BB1.…………………………………10 分 1? x 20. 解:(1)∵ >0 1? x ∴-1<x<1 故定义域为(-1,1).…………………………3 分 1? x 1 ? x -1 1? x (2)∵f(-x)=loga =loga( =-f(x) ) =-loga 1? x 1? x 1? x ∴f(x)为奇函数.……………………………………6 分 1? x (3)设 g(x)= , 1? x

取-1<x1<x2<1,则 g(x1)-g(x2)=

1 ? x1 1 ? x2 2?x1 ? x2 ? - = <0 1 ? x1 1 ? x2 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ?

∴g(x)在 x ? (-1,1)为递增函数……………………………8 分

∴a>1 时,f(x)为递增函数 0<a<1 时,f(x)为递减函数……………………………………10 分 21. 解:(1)|x0|=R………………………………………………3 分 (2)由圆心 C 在 l:x-3y=0 上 可设圆心 C(3yo,yo) ∵圆 C 与 y 轴相切 ∴R=3|yo| ∵d=

3 yo ? yo 2

= 2 |yo| ………………………5 分
9 yo ? 2 yo
2 2

∴弦长=2 R 2 ? d 2 =2 7 ∴2

=2 7 ………………………7

分 ∴yo= ? 1. ∴R=3. ∴圆 C 方程: (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9…………………10 分 22.
电 话 (元 话 费 ) 方 A 案 140

N 方 B 案 D

解 : ⑴

50 20 O M 100

C

500

通 时 (分 ) 话 间 钟

f(x)=

?20,0 ? x ? 100 ? ?3 ?10 x ? 10, x ? 100 ?

















3



?50,0 ? x ? 500 ? g(x)= ? 3 ?10 x ? 100, x ? 500 ?
(1) 当 f(x)=g(x)时

……………………5 分

3 x-10=50 10 ∴x=200.………………………………………………………7 分 ∴当客户通话时间为 200 分钟时,两种方案均可………8 分 当客户通话时间为 0≤x<200 分钟,g(x)>f(x),故选择方案 A;………9 分 当客户通话时间为 x>200 分钟时,g(x)<f(x),故选方案 B.……10 分 23. 解:(Ⅰ)∵AB∥CD ∴∠PBA 是 PB 与 CD 所成角

即∠PBA=450 P ∴在直角△PAB 中,PA=AB=a 1 1 (1)VP-ABCD= · PA·SABCD= a3. ……3 E 3 2 (2)∵AB⊥AD,CD∥AB D ∴CD⊥AD O 又 PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥CD A B ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PD ∴∠PDA 是二面角 P-CD-B 的平面角……………5 分 在直角△PDA 中,∵PA=AD=a ∴∠PDA=450 即二面角 P-CD-B 为 450.…………………………7 分 (Ⅱ) 平面 EBD 不可能垂直于平面 ABCD.…………8 分 假设平面 EBD⊥平面 ABCD, ∵PA⊥底面 ABCD,且 PA ? 平面 EBD ∴PA∥平面 EBD 连 AC、BD 交于 O 点,连 EO 又∵平面 EBD ? 平面 PAC=EO



C

∴PA∥EO 由△AOB∽△COD,且 CD=2AB ∴CO=2AO ∴PE:EC=AO:CO =1:2 ∴E 是 PC 的三等分点与 E 为 PC 中点矛盾 ∴平面 EBD 不可能垂直于平面 ABCD.…………………12 分 24. 解:(1)f(x)=x2-x-3,由 x2-x-3=x,解得 x=3 或-1, 所以所求的不动点为-1 或 3.………………………4 分 (2)令 ax2+(b+1)x+b-1=x,则 ax2+bx+b-1=0 ① 由题意,方程①恒有两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0, 即 b2-4ab+4a>0 恒成立,………………………………6 分 则△?=16a2-16a<0,故 0<a<1 …………………………8 分 (3)设 A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),则 kAB=1,∴k=﹣1, a 所以 y=-x+ 2 ,……………………………………9 分 5a ? 4 a ? 1 又 AB 的中点在该直线上,所以 ∴x1+x2=
a , 5a ? 4 a ? 1
2

x1+x2 x1+x2 a =﹣ + 2 , 2 2 5a ? 4 a ? 1

b b a 而 x1、x2 应是方程①的两个根,所以 x1+x2=﹣ ,即﹣ = 2 , a a 5a ? 4 a ? 1

∴b=﹣

a2 …………………………………………12 分 5a 2 ? 4 a ? 1

=-

1 ?1? ?1? ? ? ? 4? ? ? 5 ?a? ?a?
2

=-

1 1 ( ? 2) 2 ? 1 a

∴当 a=

1 ∈(0,1)时,bmin=-1.………………………………14 分 2


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