当前位置:首页 >> 数学 >>

12月28日三角函数的图象和性质复习答案


三角函数的图象和性质复习答案 解答题 1.(Ⅰ)

?? ? f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 4? ?
? 2 2 cos ?x(sin ?x ? cos ?x) ? 2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin( 2?x ?
? 2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4 ? ? ?
8 ]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 2

?
4

)? 2

(Ⅱ) y ? f ( x)在[0,

? ?? ? ? 5? ? ? 5? ? y ? f (x) 在 ?0, ? 上单调递增;在 ? , ? 上单调递减;在 ? ,2? 上单调递增. ? 8? ?8 8 ? ?8 ?
2.(Ⅰ) f ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

(Ⅱ) f ? 2? ?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

? ?

?? 7 ? 24 ? 17 ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? . 3? 25 ? 25 ? 25
3 1 1 3 3 3 . sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x ? f (? ) ? 3 sin ? ? 2 2 2 2 5

3.(I) f ( x) ?

3 ? 4 ? 1 ? sin ? ? , ? ? (0, ) ? cos ? ? , 且g (? ) ? 2 sin 2 ? 1 ? cos ? ? 5 2 5 2 5
(II) f ( x) ? g ( x) ? 3 sin x ? 1 ? cos x ?

3 1 ? 1 sin x ? cos x ? sin(x ? ) ? 2 2 6 2

? x?

?
6

? [2k? ?

?
6

,2k? ?

5? 2? ] ? x ? [2k? ,2k? ? ], k ? Z 6 3

4.解: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? (2) ? 当 2x ?

?
6

) ,函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ;

?
?
6

? 2x ? ??

?
6

?

?
6

2? ? ? ? ,当 2 x ? ? 即 x ? 时,函数 f ( x) 取得最大值 2; 6 3 6 2

6

即x ??

?

6

时,函数 f ( x) 取得最小值 ?1 ;

三角函数的图象和性质复习答案 1

5.(Ⅰ)解析: f ( x) ? sin x cos

7? 7? 3? 3? ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4

? 2 sin x ? 2 cos x ? 2sin( x ? ) ,∴ f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ,最小值 f ( x)min ? ?2 . 4

?

4 4 (Ⅱ)证明:由已知得 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 5 5
两式相加得 2cos ? cos ? ? 0 ,∵ 0 ? ? ? ? ? ∴ [ f (? )]2 ? 2 ? 4sin 2

?
2

,∴ cos ? ? 0 ,则 ? ?

?
2



?
4

?2?0.

6.(Ⅰ)由 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1得

?? ? f ? x ? ? 3 ? 2sin x cos x ? ? ? 2cos 2 x ? 1? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ?
所以函数的最小正周期为 T ?

2? ? ? ? 7? ? ? ?? ? ? .因为 x ? ?0, ? ,所以 2 x ? ? ? , ? . 2 6 ?6 6 ? ? 2?

所以 2 x ?

?

?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? , ? ,即 x ? ?0, ? 时,函数 f ? x ? 为增函数,而在 x ? ? , ? 时, 6 ?6 2? ? 6? ?6 2?

函数 f ? x ? 为减函数,所以 f ? 最小值.

? 7? ?? ? ?? ? ?? ?1 为 ? ? 2sin ? 2 为最大值, f ? ? ? 2sin 2 6 ?6? ?2?

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 , f ? x0 ? ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??

6 ? , 又 由 已 知 f ? x0 ? ? 5 , 则 6?

?? 3 ? s i n x0 ? ? ? . ? 2 6? 5 ?
因为 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ?? ? ? ? , ? ,则 2 x0 ? ? ? , ? ,因此 cos ? 2 x0 ? ? ? 0 , 6 ? 3 6 ? 6? ?4 2? ?

所以 cos ? 2 x0 ?

? ?

??

4 ?? ?? ?? ? ? ? ,于是 cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? , 6? 5 6 ? 6? ??

4 3 3 1 3?4 3 ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? . ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? ? ? 5 2 5 2 10 6? 6 6? 6 ? ?
7.(Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? ? ?π ?2 ?? ??

三角函数的图象和性质复习答案 2

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ? π? π π 2π ?π π? ? 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?
∴ f ( x)max ? 3, f ( x)min ? 2 .

?π π? (Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , ?4 2?
∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1, 4) .

8.(1) f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)当 x ? [

?
6

);

, ] 时, 2 x ? ? [ , ] ,函数 f ( x) 递增; 4 3 6 3 2 ? 11? ? ? 3? ] 时, 2 x ? ? [ , ] ,函数 f ( x) 递减; 当 x ?[ , 3 24 6 2 4 ? 11? ? ] 上的最大值为 f ( ) ? 2 所以 f ( x ) 在 x ? [ , 4 24 3 ? 11? 11? ? 11? ] 上的最小值为 f ( )? 2。 ) ? 2 ,所以 f ( x) 在 x ? [ , 又 f ( ) ? 3, f ( 4 24 24 4 24
9.

? ?

?

? ?

10. (1) m=0 时,f ( x) ? (1 ? 当

cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? sin x 2

? 3? 1 ? ? 2 ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ,由已知 x ? [ , ] ,得 2 x ? ? [? ,1] 8 4 2 4 4 2
从而得: f ( x ) 的值域为 [0, (2) f ( x) ? (1 ?

1? 2 ] 2

cos x ? ? ) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) sin x 4 4 1 1 化简得: f ( x) ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 3 2sin a cos a 2 tan a 4 ? ? , cos 2a ? , 当 tan ? ? 2 ,得: sin 2a ? 2 2 2 5 sin a ? cos a 1 ? tan a 5
代入上式,m=-2.
三角函数的图象和性质复习答案 3

11.

12.(I) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4

(II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ? 1
2

= 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 ,x?R 3

因为 cos x ? [?1,1] , 所以, cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6; cs x ? 当 当o 13.(1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? 3 3

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1

? ?? ?? ? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ? 2? ?2?

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

三角函数的图象和性质复习答案 4

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
14.(1) T ?

2? 3

(2) f ( x) ? 4 sin( 3 x ?

?
4

)

(3) sin ? ? ?

5 5

15.(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ?? 4 ? ? ? 2 3 ? ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 3 2 ?
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 7 ? 1 ? g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 12 3 2 3 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 2? ? 43? ? 15 ? ? 故若 y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 14 ? . 3 3 3
16.(Ⅰ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

?

?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )
,所以 f ( x) ? cos 2 x

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图 象,再将 y ? cos x 的图象向右平移

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x

(Ⅱ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0
三角函数的图象和性质复习答案 5

当 sin x ? 0 ,即 x ? k? (k ? Z ) 时, cos 2 x ? 1 ,从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x) ? 0 的解, 所以方程 F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ? 现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况 令 h( x ) ? ?

cos 2 x , x ? k? ( k ? Z ) sin x

cos 2 x , x ? (0, ? ) U (? , 2? ) sin x

则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况 当 x ? 0 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交 点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数 个交点,从而不存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交 点 ; 当 a ? ?1 时 , 直 线 y ? a 与 曲 线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内 有 3 个 交 点 , 由 周 期 性, 2013 ? 3 ? 671 ,所以 n ? 671? 2 ? 1342 综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点

三角函数的图象和性质复习答案 6


相关文章:
更多相关标签: