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2013版高中数学(人教A版)必修4 课件(课前热身+名师讲解+典例剖析+考题精选):2-2-1


名师一号 · 人教A版 · 数学 · 必修4

第二章

平面向量

§2.2 平面向量的线性运算

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第二章

平面向量

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2.2.1 向量加法运算及其几何意义

课前热身

名师讲解

典例剖析

考题精选

技能提升

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课前热身

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1.向量的加法 → → 已知非零向量a和b,在平面内任取一点A,作 AB =a, BC =b,则向量__________叫做a与b的和,记作__________,特 → → → → 别地,对于任一向量 AB ,都有 AB +0=__________, AB + BA =__________.

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2.向量的加法满足交换律和结合律 (1)加法交换律:__________; (2)加法结合律:__________. 3.向量的加法法则是__________法则和__________法 则.

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名师讲解

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平面向量

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1.向量的加法 定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

→ → → → → 如图所示,记a=AB,b=BC,则a+b=AB+BC=AC, → 则向量AC叫做a与b的向量和(或和向量),记作a+b.
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平面向量

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2.向量加法的三角形法则 (1)根据向量加法的定义求向量和的方法,叫做向量加法 的三角形法则,使用三角形法则特别要注意“首尾相接”, 即第一个向量的终点作为第二个向量的始点,从第一个向量 的始点指向第二个向量的终点的有向线段就表示这两个向量 的和,如上图①.

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(2)向量加法的三角形法则可以推广到n个向量的和,如 图②.

→ → → → A0A1+A1A2+A2A3+?+An-1An=A0An.

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(3)当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且|a+b|=|a| +|b|. 当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b与a同向,且|a+b|=|a| -|b|;若|a|<|b|,则a+b与b同向,且|a+b|=|b|-|a|. 当a与b不共线时,有|a|+|b|>|a+b|. → → (4)应用向量加法可以证明三点共线问题,如| AB |+| BC | → =|AC|.则A,B,C三点共线.

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平面向量

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3.向量加法的平行四边形法则 (1)向量的加法还适用平行四边形法则:先把两个向量a,b 的始点平移到同一点O,再以向量a,b为邻边作平行四边形, 则这两邻边所夹的对角线即为这两个向量的和,如图③.

→ → → → → OC=a+b=OA+OB=OA+AC.

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(2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加 法的几何意义.

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典例剖析

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类型一 例1

向量加法的运算

化简:

→ → (1)BC+AB; → → → (2)DB+CD+BC; → → → → → (3)AB+DF+CD+BC+FA. 分析 根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,然

后利用结合律求和.

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→ → → → → 解析 (1)BC+AB=AB+BC=AC. → → → → → → → → (2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=BD+DB=0. → → → → → (3)AB+DF+CD+BC+FA → → → → → → → =AB+BC+CD+DF+FA=AF+FA=0.

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规律技巧

解决该类题目要灵活应用向量加法运算律,

注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序,特别 注意勿将向量0写成数0.

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变式训练1 如图,在平行四边形ABCD中,

→ → (1)AB+AD=________; → → → (2)AC+CD+DO=________; → → → (3)AB+AD+CD=________.

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答案 → (2)AO → (3)AD

→ (1)AC

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类型二 例2

向量加法的应用

在水流速度为4 3 km/h的河中,要使船以12 km/h

的实际航速与河岸成直角地行驶,求船的航行速度的大小与 方向. 分析 → → → 如下图,用向量 AB , AD , AC 分别表示水流速

度、船的航行速度以及船实际航行的速度,再利用直角三角 形的边角关系解出相应的量.

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→ → 解 如图,设 AB 表示水流速度, AD 表示船的航行速 → 度, AC 表示船实际航行的速度,连接BC,作AD綊BC,则

→ → → → AD为所求的船的航速,且AD+AB=AC.

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4 3 3 → → ∵|AB|=4 3,|AC|=12,tan∠ACB= = , 12 3 → → ∴∠ACB=30° =∠CAD,| AD |=| BC |=8 3 ,∠BAD= 120° . ∴船的航行速度的大小为8 3 km/h,方向与水流的方向 所成角为120° .

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变式训练2 一艘船以3

km/h的速度向垂直于对岸方向

行驶,同时河水的流速为3 km/h,求船实际航行速度的大小 和方向.
解 → → 设 AD 表示船向垂直于对岸方向行驶的速度, AB 表

→ 示水流速度,以AD,AB为邻边作?ABCD,则 AC 就是船的实 际航行速度.

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平面向量

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→ → 在Rt△ABC中,|AB|=3 ,|BC|=3 , → ∴|AC|=
→ →

|AB|2+|BC|2= 32+32=3 2.

3 tan∠CAB=3=1, ∴∠CAB=45° . ∴船实际航行速度的大小为3 2 km/h,方向与流水方向 间的夹角为45° .

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类型三 例3

利用向量加法证明几何问题

试用向量方法证明: 对角线互相平分的四边形是平

行四边形. 分析 本题主要考查向量加法法则以及平行四边形的概

念,要设法证明四边形有一组对边平行且相等. 已知: 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 且 AO=OC,DO=OB.

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求证:四边形ABCD是平行四边形

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证明:∵AO=OC, DO=OB, → → → → ∴AO=OC,DO=OB. → → → → → → 又AB=AO+OB,DC=DO+OC, → → ∴AB=DC,又A,B,C,D四点不共线. → → ∴|AB|=|DC|,且AB∥DC. ∴四边形ABCD为平行四边形.

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规律技巧

用向量方法证明几何问题,首先要把几何问

题中的边转化成相应的向量,通过向量的运算及其几何意义 得到向量间的关系,然后再还原成几何问题.

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平面向量

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变式训练3 如图,已知点E,F是?ABCD的边DC,AB 的中点, 求证:四边形AECF是平行四边形.

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平面向量

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→ → 证明 在?ABCD中, AD = BC ,又E,F分别是DC,AB → → 的中点,∴DE=FB. → → → → → → ∴AE=AD+DE=FB+BC=FC. 又A,E,F,C四点不共线, → → ∴|AE|=|FC|,且AE∥FC. ∴四边形AECF是平行四边形.

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易错探究

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例4

(1)若向量a,b满足|a|=3,|b|=4,则|a-b|的最大

值为________. (2)当非共线向量a,b满足________时,能使a+b平分 a,b的夹角. 错解 (1)5

(2)a=b 错因分析 成错解. 对向量加法的几何意义和法则理解不透,造

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正解 (1)当向量a与b共线,且方向相反时,|a-b|=|a+ (-b)|=|a|+|-b|=|a|+|b|=3+4=7,即|a-b|的最大值为7. (2)当|a|=|b|时,以a,b为邻边的平行四边形为菱形,对 角线平分一组对角. 答案 (1)7 (2)|a|=|b|

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考题精选

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平面向量

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→ → 1.(2009· 山东)设P是△ABC所在平面内一点, BC + BA = → 2BP,则( ) → → B.PB+PC=0 → → → D.PA+PB+PC=0

→ → A.PA+PB=0 → → C.PC+PA=0

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解析

→ → 由向量加法的平行四边形法则易知, BA 与 BC 的

和向量过AC边的中点,且长度是AC边中线长的2倍,结合已 → → 知条件知,P为AC的中点,故PA+PC=0.

答案 C

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2.(2011· 广州高一检测)下列等式不成立的是( A.a+0=a → → C.AB+BA=0
答案 C

)

B.a+b=b+a → → → D.AB+BC=AC

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3.(2010· 辽宁抚顺模拟)如图所示,在?ABCD中,下列 结论错误的是( )

→ → A.AB=DC → → → C.AD+BD=AB
答案 C
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→ → → B.BC+DC=AC → → D.AD+CB=0

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→ → 4.(2011· 青岛高一检测)在?ABCD中,若| BC +B A |=

→ → |B C +AB|,则四边形ABCD是(
A.菱形
解析

) C.正方形 D.不确定

B.矩形

→ → → → → |BC+AB|=|AB+BC|=|AC|,

→ → → |BC+BA|=|BD|, → → 由|BD|=|AC|知四边形ABCD为矩形.

答案 B

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技能提升作业(十四)

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