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高一数学必修4:模块综合测评


数学必修 4 模块综合测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
1.已知角 α 的终边经过点 P(4,-3),则 2sin α+cos α 的值等于( )

A.-5 2.sin A.0
2

3 π ? 12 π 12

B.5 3cos 的值是( B.- 2 )

4

C.5

2

D.-5

2

C. 2 )

D.2

3.函数 y=cos 2x+sin x,x∈R 的值域是( A.[0,1] B. 2 ,1
1

C.[-1,2]

D.[0,2]
2cos+sin 的值为( cos

4.已知两向量 a=(2,sin θ),b=(1,cos θ),若 a∥b,则 A.2
π 3

)

B.3

C.4 ) C.π )

D.5

5.已知函数 f(x)= 3sin ωx+cosωx(ω>0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的 最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( A.2
π

B. 3



D.2π

6.函数 y=sin x+cosx,x∈[0,π]的单调增区间是( A. 0, 4
π

B. 0, 2 , 2 ,2π C. 0, 2
π π

π



π

D. - 4 , 4
π

π 3π

7.函数 y= cos + 4 + sin + 4
π

cos + 4 )

sin + 4 在一个周期内的图象是(

8.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足=2,则· ( + )等于( A.9
4

)

B.3

4

C.-3
π

4

D.-9 )

4

9.设函数 f(x)= 3cos (2x+φ)+sin (2x+φ) || < 2 ,且其图象关于直线 x=0 对称,则( A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在 0, 2 上为增函数
π

B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在 0, C.y=f(x)的最小正周期为 ,且在 0, D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在 0, 10.
π 2 π 2

π 2

上为减函数 上为增函数 上为减函数

π 4 π 4

函数 f(x)=Asin(ωx+φ) 其中 > 0,|| < 2 的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin 3x 的图象,只需将 f(x)的 图象( )
π 4 π D.向左平移 个单位长度 12 π 4 π C.向右平移 个单位长度 12

π

A.向右平移 个单位长度

B.向左平移 个单位长度

11.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,则 a 与 b 夹角的取值范围是( A. 0, 6
π

)

B. 3 ,π
12

π

C. 3 , 3
3

π 2π

D. 6 ,π )

π

12.若 α,β 为锐角,cos(α+β)=13,cos(2α+β)=5,则 cos α 的值为( A.
56 65

B. C.

16 65

56 16 或 65 65

D.以上都不对

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)
13.已知 sin α= (2π<α<3π),则 sin +cos =
1 3 2 2

.

14.在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若 · =1,则 AB 的长 为 .
π

15.设 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x+a,当 x∈ 0, 2 时,f(x)有最大值 4,则 a= 16.关于函数 f(x)=cos 2- 3 +cos 2 + 6 ,则下列命题:
π π

.

①y=f(x)的最大值为 2; ②y=f(x)最小正周期是 π; ③y=f(x)在区间
π 13π , 24 24

上是减函数;
π

④将函数 y= 2cos 2x 的图象向右平移24个单位后,将与已知函数的图象重合.
其中正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) > 0, > 0,∈ 0,
π π 2

的部分图象如图所示,其中
5

点 P 是图象的一个最高点.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)已知 α∈ 2 ,π ,且 sin α=13,求 f 2 .

18.(本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点 A 为圆心,r=2 为半径作一个圆, 设 PQ 为圆 A 的一条直径. (1)请用, 表示,用, 表示; (2)记∠BAP=θ,求 ·的最大值.

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 3sin (ωx+φ) > 0,- 2 ≤ < 2 的图象关于直线 x=3对称,且 图象上相邻两个最高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值; (2)若 f 2 = 4 6 < < 3 ,求 cos + 2 的值.
3 π 2π 3π

π

π

π

20.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(1,cos 2x),b=(sin 2x,- 3),函数 f(x)=a· b. (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)若 f 2 + 3


= 5,求 f + 12 的值.

6



21.(本小题满分 12 分)在如图所示的直角坐标系 xOy 中,点 A,B 是单位圆上的点,且 A(1,0),∠AOB= . 现有一动点 C 在单位圆的劣弧上运动,设∠AOC=α. (1)求点 B 的坐标;(2)若 tan α= ,求 ·的值; (3)若=x+y,其中 x,y∈R,求 x+y 的最大值.
1 3

π 3

22.(本小题满分 12 分)(2016?广东揭阳惠来一中检测)已知点 A(sin 2x,1),B 1,cos 2 + 6 ,设函数 f(x)= ·(x∈R),其中 O 为坐标原点. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈ 0,
π 2

π

时,求函数 f(x)的最大值与最小值;

(3)求函数 f(x)的单调减区间.

参考答案: 1、解析:根据三角函数的定义可知 sinα=-5,cosα=5,∴2sinα+cosα=-5 + 5=-5.答案:D 2、解析:原式=2 2 sin 12 - 2 cos 12 =2sin 12 - 3 =-2sin4=- 2,故选 B.答案:B 3、解析:因为函数 y=cos2x+sin2x=cos2x+2 ? 2cos2x=2 + 2cos2x,且 x∈R,所以 cos2x∈[-1,1],所以
1 1 + cos2x∈[0,1].故选 A.答案:A 2 2 1 1 1 1 1 π 3 π π π π 3 4 6 4 2

4、解析:∵a∥b,∴2cosθ=sinθ,∴tanθ=2,∴
π

2cos+sin =2+tanθ=4.答案:C cos π 1 π π π 5π

5、解析:∵f(x)=2sin + 6 =1,∴sin + 6 = 2,∴ωx1+6 = 6+2k1π(k1∈Z)或 ωx2+6 = 6 +2k2π(k2 ∈Z),则 ω(x2-x1)= +2(k2-k1)π.又相邻交点距离的最小值为 ,∴ω=2,∴T=π.答案:C 6、解析:y=sinx+cosx= 2sin + 4 .令 2kπ-2≤x+4≤2kπ+2,k∈Z,得 2kπ- 4 ≤x≤2kπ+4,k∈Z.
π π π π 3π π 2π 3 π 3

∵x∈[0,π],∴单调增区间是 0, 4 .答案:A
7、解 析:y=
2 2 2 2 cos- sin + sin + cos 2 2 2 2

π

·

2 2 2 2 cos- sin- sin- cos 2 2 2 2

=

2cosx·- 2sin =-2sinxcosx=-sin2x,故选 B.答案:B 8、解析:由 M 为 BC 的中点,得 + =2 = ,∴· ( + )=2 . 又=2,∴||= ||= .∴2 =||2= .答案:A 9、解析:f(x)= 3cos(2x+φ)+sin(2x+φ) =2
3 1 cos(2 + ) + sin(2 + ) 2 2 2 3 2 3 4 9

=2cos 2 + π

π 6

.∵ω=2,∴T= =π.
π

2π 2

又函数图象关于直线 x=0 对称,∴φ-6=kπ(k∈Z),即 φ=kπ+6(k∈Z). 又|φ|<2,∴φ=6,∴f(x)=2cos2x. 令 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得 kπ≤x≤kπ+ (k∈Z),∴函数的递减区间为 π,π + 又 0, 2 ? π,π + 2 (k∈Z),
π π π 2 π 2 π π

(k∈Z).

∴函数在 0, 2 上为减函数,则 y=f(x)的最小正周期为 π,且在 0, 2 上为减函数.故选 B.答案:B

π

π

10、解析:由题中图象可知,A=1, =
5π 5π 5π

4

5π π ? 12 4

= ,即 T=
5π 3π

π 6

2π 3

=

2π ,∴ω=3,∴f(x)=sin(3x+φ).又 π π π

f 12 =sin 3 × 12 + =sin 4 + =-1,∴ 4 +φ= 2 +2kπ,k∈Z,即 φ=4+2kπ,k∈Z,又|φ|<2,∴φ=4,即 f(x)=sin 3 +
π 4

.∵g(x)=sin3x=sin 3- +

π 4

π 4

=sin 3 -

π 12

+

π 4

,∴只需将 f(x)的图象向右平移 个单

π 12

位长度,即可得到 g(x)=sin3x 的图象,故选 C.答案:C 11、解析:设 a 与 b 的夹角为 θ,∵Δ=|a|2-4a· b≥0,∴a· b≤
||2 · ,∴cosθ= 4 ||||



||2 4||||

= .

1 2

∵θ∈[0,π],∴θ∈ 3 ,π .答案:B
12、解析:∵0<α+β<π,cos(α+β)= >0,∴0<α+β< ,sin(α+β)= .∵0<2α+β<π,cos(2α+β)= >0,
12 13 π 2 5 13 3 5

π

∴0<2α+β<2,sin(2α+β)=5.∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)]=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)
= ×
3 5 12 4 5 + × 13 5 13

π

4

=

56 .答案:A 65 3π 2 1 4

13、解析:∵2π<α<3π,∴π<2 < 2 ,∴sin2<0,cos2<0.由 sin 2 + cos 2 =1+2sin2cos2=1+3 = 3, 知 sin2+cos2=- 3 .答案:- 3
2 3 2 3

14、解析: · =( + )· ( + )=( + )· - = · ? · + · ?
1 · 2

1 2

1 2

= ||· ||· ? ||2+1=1.得||= ||= ,则 AB 的长为 .答案:
π

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

15、解析:f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a=cos2x+ 3sin2x+a+1=2sin 2 + 6 +a+1. 由 x∈ 0,
π 2

? 2 +
π

π 6



π 7π , 6 6

,∴f(x)max=3+a=4,∴a=1.答案:1
π π π π π

16、解析:f(x)=cos 2- 3 +cos 2 + 6 =cos 2- 3 +sin 2 - 2 + 6 =cos 2- 3 -sin 2- 3 = 2
2 cos 2

π

2-

π 3

-

2 sin 2

2-

π 3

= 2cos 2- +

π 3

π 4

= 2cos 2-

π 12

, 时,2x-12∈[0,π],
π π

∴y=f(x)的最大值为 2,最小正周期为 π,故①,②正确.又当 x∈ ∴y=f(x)在
答案:①②③④
π 13π , 24 24

π 13π , 24 24 π

上是减函数,故③正确.由④得 y= 2cos2 - 24 = 2cos 2- 12 ,故④正确.

17、解:(1)由函数最大值为 2,得 A=2. 由题图可得周期 T=4 12 - - 6 =π,由 =π,得 ω=2.又 ω· +φ=2kπ+2,k∈Z,及 φ∈ 0, 2 , 12 得 φ=3.∴f(x)=2sin 2 + 3 .(2)由 α∈ 2 ,π ,且 sinα=13,得 cosα=- 1-sin2 =-13,
π π π 5 12 π π 2π π π π

∴f

2

=2sin 2· + 3 =2 sincos 3 + cossin 3 = 2



π

π

π

5-12 3 . 13

18、解:(1) = ? , =- ? . (2)∵∠BAC=60°,∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,

∴ ·=( ? )· (- ? )=8-6cos(θ+60°)+16cosθ
=3 3sinθ+13cosθ+8=14sin(θ+φ)+8, 其中 sin =

13 3 ,cos = 3 14 14

∴当 sin(θ+φ)=1 时, ·的最大值为 22.
19、解:(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π,所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ω= =2. 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称,所以 2·+φ=kπ+ ,k=0,±1,±2,…. 由-2≤φ<2,得 k=0,所以 φ=2 ? 3 =-6. (2)由(1)得 f
2 π π π π 2π π π 3 π 3 π 2 2π

= 3sin 2· -

π 2 6 π

=

3 ,所以 4 1 2

sin 15

π 6

= .由 <α< ,得 0<α- < ,
3π π π

1 4

π 6

2π 3

π 6

π 2

所以 cos - 6 =
π π

1-sin2 - 6 = 1- 4
π π 1 3

= 4 .因此 cos + 2 =sinα=sin - 6 + 6
1 3+ 15 . 8 π

=sin - 6 cos6+cos - 6 sin6=4 × 2 + 4 × 2 =

15

20、解:(1)由题意得 f(x)=a· b=sin2x- 3cos2x=2sin 2- 3 . 因为函数 y=sinx 的单调递减区间为 2 + 2π, 2 + 2π ,k∈Z,
π 3π

∴由2+2kπ≤2x-3 ≤

π

π

3π 5π 11π +2kπ,k∈Z 得12+kπ≤x≤ 12 +kπ,k∈Z, 2 5π 11π + π, 12 + π 12

∴函数 f(x)的单调递减区间为
(2)∵f(x)=2sin 25π π 3

,k∈Z. π 3

,∴f

2π + 2 3 5π π

=2sin 2

2π + 2 3 π

=2sin(α+π)=-2sinα= ,∴sinα=- ,
3 2

6 5

3 5

∴f + 12 =2sin 2 + 12 - 3 =2sin 2 + 2 =2cos2α=2(1-2sin2α)=2 1-2 × - 5
21、解:(1)由任意角的三角函数定义,可得点 B 的坐标为 2 , 2 .
1 3

= 25.

14

(2)∵=(1,0),=(cosα,sinα),∴ ·=cosα.又 tanα=3,且 0≤α≤3,∴cosα= 10 , 即 · = 10 . (3)方法一:由=x+y,得(cosα,sinα)=x(1,0)+y 2 , 2 , cos = + 2 , sin =
π 3 , 2 π 1 1 3 3 10

1

π

3 10





= cos =

3 sin, 3

2 3 sin, 3 2 3

∴x+y=cosα+ 3 sinα= 3 ( 3cosα+sinα)=

3

3

2 3 sin 3

+ 3 ,

π

又 0≤α≤3,∴当 α=6时,x+y 有最大值 3 . · = · + · , cos = + ,
1 2

方法二:

即 1 · = · + · , cos(60°-) = + .
2 2 3 sin 2

∴x+y=3[cosα+cos(60°-α)]=3
π π

2

+ 2 cos =cosα+ 3 sinα= 3 sin + 3 .

3

3

2 3

π

又 0≤α≤3,∴当 α=6时,x+y 有最大值 3 . 22、解:(1)∵A(sin2x,1),B 1,cos 2 +
π 6 π

2 3

,∴=(sin2x,1), = 1,cos 2 +
π π

π 6

,

∴f(x)= ·=sin2x+cos 2 + 6 =sin2x+cos2xcos6-sin2xcos6
= sin2x+ cos2x=sin2xcos +cos2xsin =sin 2 + 故 f(x)的最小正周期 T= =π. (2)∵0≤x≤2,∴3≤2x+3 ≤ 3 ,∴- 2 ≤sin 2 + 3 ≤1,
π π π 4π 3 π 2π 2 1 2 3 2 π 3 π 3 π 3

.

∴f(x)的最大值和最小值分别为 1 和- 2 .
(3)由2+2kπ≤2x+3 ≤ 2 +2kπ,k∈Z 得12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z,
π π 3π π 7π

3

∴f(x)的单调减区间是

π 7π + π, + π 12 12

,k∈Z.


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