当前位置:首页 >> 数学 >>

带答案对数与对数函数经典例题


高一数学函数的单调性、奇偶性

经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将下列指数式与对数式互化:

(1)

;(2)

;(3)

;(4)

;(5)

;(6)

.

思路点拨:运用对数的定义进行互化.

解:(1)

;(2)

;(3)

;(4)

;(5)



(6) . 总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重 要手段. 举一反三: 【变式 1】求下列各式中 x 的值:

(1)

(2)

(3)lg100=x (4)

思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出 x.

解:(1) (2) (3)10x=100=102,于是 x=2; (4)由

; ;

.

类型二、利用对数恒等式化简求值

2.求值: 总结升华:对数恒等式 举一反三: 【变式 1】求

解:

. 中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.

的值(a,b,c∈R+,且不等于 1,N>0)

思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算. 解: .

类型三、积、商、幂的对数
3.已知 lg2=a,lg3=b,用 a、b 表示下列各式.
1

高一数学函数的单调性、奇偶性

(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解:(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三: 【变式 1】求值 (1) 解: (1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式 2】已知 3a=5b=c,

,求 c 的值.

解:由 3a=c 得:

同理可得 .

【变式 3】设 a、b、c 为正数,且满足 a2+b2=c2.求证:

.

证明:

.

【变式 4】已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0. 求证:

.

证明:∵ a2+b2=7ab, ∴ a2+2ab+b2=9ab,即 (a+b)2=9ab, ∴ lg(a+b)2=lg(9ab), ∵ a>0,b>0, ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

2

高一数学函数的单调性、奇偶性



.

类型四、换底公式的运用

4.(1)已知 logxy=a, 用 a 表示



(2)已知 logax=m, logbx=n, logcx=p, 求 logabcx.

解:(1)原式= (2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底. 方法一:am=x, bn=x, cp=x ∴ ,







方法二: 举一反三: 【变式 1】求值:(1) 解: (1) ;(2)

.

;(3)

.

(2)



(3)法一:

法二:

.

总结升华:运用换底公式时,理论上换成以大于 0 不为 1 任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中 某个对数的底为标准,或都换成以 10 为底的常用对数也可.
3

高一数学函数的单调性、奇偶性

类型五、对数运算法则的应用
5.求值 (1) log89·log2732

(2)

(3) (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解:(1)原式= (2)原式=

.

(3)原式= (4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

举一反三:

【变式 1】求值:

解:

另解:设

=m (m>0).∴





,∴



∴ lg2=lgm, ∴ 2=m,即

.

【变式 2】已知:log23=a, log37=b,求:log4256=?

解:∵





4

高一数学函数的单调性、奇偶性

类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数 函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用. 6. 求下列函数的定义域: (1) ; (2) .

思路点拨:由对数函数的定义知:x2>0,4-x>0,解出不等式就可求出定义域. 解:(1)因为 x2>0,即 x≠0,所以函数 (2)因为 4-x>0,即 x<4,所以函数 举一反三: 【变式 1】求下列函数的定义域. ; .

(1) y=

(2) y=ln(ax-k·2x)(a>0 且 a?1,k? R).

解:(1)因为

, 所以



所以函数的定义域为(1,

)

(

,2).

(2)因为 ax-k·2x>0, 所以(

)x>k.

[1]当 k≤0 时,定义域为 R; [2]当 k>0 时, (i)若 a>2,则函数定义域为( k,+∞);

(ii)若 0<a<2,且 a≠1,则函数定义域为(-∞, k); (iii)若 a=2,则当 0<k<1 时,函数定义域为 R;当 k≥1 时,此时不能构成函数,否则定义域 为 .
5

高一数学函数的单调性、奇偶性

【变式 2】函数 y=f(2x)的定义域为[-1,1],求 y=f(log2x)的定义域.

思路点拨:由-1≤x≤1,可得 y=f(x)的定义域为[

,2],再由

≤log2x≤2 得 y=f(log2x)的定义域为[

,4].

类型七、函数图象问题
7.作出下列函数的图象: (1) y=lgx, y=lg(-x), y=-lgx; (2) y=lg|x|; (3) y=-1+lgx. 解:(1)如图(1); (2)如图(2); (3)如图(3).

类型八、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以:①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间;⑤求值域和最值.要求同 学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念. 8. 比较下列各组数中的两个值大小: (1)log23.4,log28.5 (2)log0.31.8,log0.32.7 (3)loga5.1,loga5.9(a>0 且 a≠1) 思路点拨:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法 1:画出对数函数 y=log2x 的图象,横坐标为 3.4 的点在横坐标为 8.5 的点的下方, 所以,log23.4<log28.5; 解法 2:由函数 y=log2x 在 R+上是单调增函数,且 3.4<8.5,所以 log23.4<log28.5; 解法 3:直接用计算器计算得:log23.4≈1.8,log28.5≈3.1,所以 log23.4<log28.5; (2)与第(1)小题类似,log0.3x 在 R+上是单调减函数,且 1.8<2.7,所以 log0.31.8>log0.32.7; (3)注:底数是常数,但要分类讨论 a 的范围,再由函数单调性判断大小. 解法 1:当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9,所以,loga5.1<loga5.9 当 0<a<1 时,y=logax 在(0,+∞)上是减函数,且 5.1<5.9,所以,loga5.1>loga5.9 解法 2:转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小, 令 b1=loga5.1,则 ,令 b2=loga5.9,则

当 a>1 时,y=ax 在 R 上是增函数,且 5.1<5.9 所以,b1<b2,即 当 0<a<1 时,y=ax 在 R 上是减函数,且 5.1<5.9 所以,b1>b2,即 举一反三:
6

.

高一数学函数的单调性、奇偶性

【变式 1】 (2011 天津理 7)已知 A. B. C. D.

则( )

解析:另 由图像可得





,在同一坐标系下作出三个函数图像,

又∵

为单调递增函数, ∴

故选 C.

9. 证明函数 上是增函数. 思路点拨:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小 的方法. 证明:设 ,且 x1<x2 则 又∵y=log2x 在 即 f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)=log2(x2+1)在 举一反三: 上是增函数. 上是增函数

【变式 1】已知 f(logax)=
+

(a>0 且 a≠1),试判断函数 f(x)的单调性.

解:设 t=logax(x∈R , t∈R).当 a>1 时,t=logax 为增函数,若 t1<t2,则 0<x1<x2,

∴ f(t1)-f(t2)=



∵ 0<x1<x2, a>1, ∴ f(t1)<f(t2),∴ f(t)在 R 上为增函数, 当 0<a<1 时,同理可得 f(t)在 R 上为增函数.∴ 不论 a>1 或 0<a<1, f(x)在 R 上总是增函数.

7

高一数学函数的单调性、奇偶性

10.求函数 y=

(-x2+2x+3)的值域和单调区间.

解:设 t=-x2+2x+3,则 t=-(x-1)2+4.∵ y=

t 为减函数,且 0<t≤4,

∴ y≥

=-2,即函数的值域为[-2,+∞ .

再由:函数 y=

(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1<x<3.

∴ t=-x2+2x+3 在 -1,1)上递增而在[1,3)上递减,而 y=

t 为减函数.

∴ 函数 y=

(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3 .

类型九、函数的奇偶性

11. 判断下列函数的奇偶性. (1)

(2)

.

(1)思路点拨:首先要注意定义域的考查,然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.

解:由 所以函数的定义域为:(-1,1)关于原点对称



所以函数

是奇函数;

总结升华:此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数 形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的 恒等变形. (2) 解 : 由 数的定义域为 R 关于原点对称 所以函 又

8

高一数学函数的单调性、奇偶性

即 f(-x)=-f(x);所以函数

.

总结升华:此题定义域的确定可能稍有困难,函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,要求掌握.

类型十、对数函数性质的综合应用
12.已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若函数 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;(2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 思路点拨:与求函数定义域、值域的常规问题相比,本题属非常规问题,关键在于转化成常规问题.f(x)的定 义域为 R,即关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集为 R,这是不等式中的常规问题. f(x)的值域为 R 与 ax2+2x+1 恒为正值是不等价的,因为这里要求 f(x)取遍一切实数, 即要求 u=ax2+2x+1 取遍一切正数,考察此函数的图象的各种情况,如图,我们会发现,

使 u 能取遍一切正数的条件是

.

解:(1)f(x)的定义域为 R,即:关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集为 R, 当 a=0 时,此不等式变为 2x+1>0,其解集不是 R;

当 a≠0 时,有

a>1.∴ a 的取值范围为 a>1.

(2)f(x)的值域为 R,即 u=ax2+2x+1 能取遍一切正数 ∴ a 的取值范围为 0≤a≤1.

a=0 或

0≤a≤1,

13.已知函数 h(x)=2x(x∈R),它的反函数记作 g(x),A、B、C 三点在函数 g(x)的图象上,它们的横坐 标分别为 a,a+4,a+8(a>1),记Δ ABC 的面积为 S. (1)求 S=f(a)的表达式; (2)求函数 f(a)的值域; (3) 判断函数 S=f(a)的单调性,并予以证明;(4)若 S>2,求 a 的取值范围. 解:(1)依题意有 g(x)=log2x(x>0). 并且 A、B、C 三点的坐标分别为 A(a, log2a), B(a+4, log2(a+4)), C(a+8, log2(a+8)) (a>1),如图.

∴A,C 中点 D 的纵坐标为

〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=

|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).

9

高一数学函数的单调性、奇偶性

(2)把 S=f(a)变形得:S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2

=2log2(1+

).

由于 a>1 时,a2+8a>9, ∴1<1+

<

,又函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,

∴ 0<2log2(1+

)<2log2

,即 0<S<2log2

.

(3)S=f(a)在定义域(1,+∞)上是减函数,证明如下:任取 a1,a2,使 1<a1<a2<+∞,则:

(1+

)-(1+

)=16( +8a2>0,

)=16· +8a1>0, a1-a2<0,



由 a1>1,a2>1,且 a2>a1,∴ a1+a2+8>0,

∴ 1<1+

<1+

,再由函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,

于是可得 f(a1)>f(a2) ∴ S=f(a)在(1,+∞)上是减函数.

(4)由 S>2,即得

,解之可得:1<a<4

-4.

10


赞助商链接
相关文章:
高一数学对数函数经典题及详细答案
高一数学对数函数经典题及详细答案_数学_高中教育_教育专区。高一数学对数函数经 典练习题 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题...
对数与对数函数经典例题
对数与对数函数经典例题_数学_高中教育_教育专区。对数函数 1.对数函数的定义:函数...2014造价工程师各科目冲刺试题及答案116份文档 2014一级建造师考试 ...
对数函数测试题及答案
对数函数测试题及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。对数与对数函数测试题...高中数学对数函数经典练... 5页 1下载券 对数函数习题及答案 3页 免费 ©...
对数与对数函数的练习题及答案
对数与对数函数练习及答案姓名___ 一、选择题: 1、已知 3a ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是 A、 a ? 2 B、 5a ? 2 C、 3a ? (1...
对数与对数函数练习题及答案
对数与对数函数练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。对数与对数函数同步练习 ...高一对数函数精选试题以... 11页 免费 高中数学对数函数经典练... 5页 1下载...
对数与对数函数练习题及答案
对数与对数函数练习题及答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 对数与对数函数练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。恩雅学习资料 必修...
新课标高一数学对数与对数函数练习题及答案
新课标高一数学对数与对数函数练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。对数与对数函数同步练习 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小...
对数与对数函数(含答案))
对数与对数函数习题(含答... 3页 2下载券 对数与对数函数(含答案) 暂无评价...思维导图经典案例 Excel键盘快捷键 Photoshop的抠图技巧分析20份文档 乘机安全小...
高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解
高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解_高二数学_数学_高中教育_教育专区。对数与对数函数 1.对数 (1)对数的定义: 如果 ab=N (a>0, a≠1)那么 b 叫...
对数和对数函数练习题及答案
对​数​和​对​数​函​数​练​习​题​​答​案 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档对数与对数函数练习题 log 8 9 log 2 3 2...
更多相关文章: