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第二节离散型随机变量及其概率分布


§2.2 离散型随机变量及其概率分布

一、离散型随机变量及其概率分布 1、离散型随机变量的概念 、 是一个随机变量, 设 X 是一个随机变量, 如果它全部可能的取值 则称 X 为一个 离散 只有有限个或可数无穷个, 只有有限个或可数无穷个, 型随机变量. 型随机变量

2、离散型随机变量的概率分布 、 定义 设离散随机变量 X 的所有

可能的取值为 xi ( i = 1,2,?), 称

P{ X = xi } = pi , i = 1,2,?
为 X 的概率分布或分布律, 也称概率函数 概率函数. 概率分布或分布律, 也称概率函数 常用表格形式来表示 X 的概率分布: 的概率分布:

x2 ? xn ? p2 ? pn ? 必然满足: 由概率的定义, 由概率的定义,pi ( i = 1,2,?) 必然满足:
X pi

x1 p1

(1) pi ≥ 0, i = 1,2,?;

(2)

∑p
i

i

= 1.

例1 某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9, 求他两 , 的概率分布. 次独立投篮投中次数 X 的概率分布. 解 X 可取 0, 1, 2 为值, 为值,

P{ X = 0} = (0.1)(0.1) = 0.01 P{ X = 1} = 2( 0.9)(0.1) = 0.18 P{ X = 2} = (0.9)(0.9) = 0.81


P{ X = 0} + P{ X = 1} + P{ X = 2} = 1

于是, 于是, X 的概率分布可表示为

X Pi

0 1 2 . 0.01 0.18 0.81

关于分布律的说明 若已知一个离散型随机变量 X 的概率分布

X pi

x1 p1

x2 ? xn p2 ? pn

? ?

特别地, 特别地, 则可以求得所生成的任何事件概率, 则可以求得所生成的任何事件概率,

P{a ≤ X ≤ b} = P ( ∪ { X = xi })
a ≤ xi ≤ b

=

a ≤ xi ≤ b

∑ P{ X = x } = ∑ p
i a ≤ xi ≤ b xi ∈I

i

一般地,若 I 是一个区间, 一般地, 则 是一个区间,

P{ X ∈ I } = ∑ P{ X = xi } = ∑ pi
xi ∈I

例如, 的概率分布由例1给出 给出: 例如, 设 X 的概率分布由例 给出:

1 2 X 0 pi 0.01 0.18 0.81
则 P { X ≤ 0} = P { X = 0} = 0.01,

P{ X < 2} = P{ X = 0} + P{ X = 1} = 0.01 + 0.18 = 0.19, P{?2 ≤ X ≤ 6} = P{ X = 0} + P{ X = 1} + P { X = 2} = 1.

二、常见的离散型随机变量的分布

1、两点分布 、 只有两个可能的取值, 定义 若一个随机变量 X 只有两个可能的取值, 且其分布为
P{ X = x1} = p, P{ X = x2 } = 1 ? p, (0 < p < 1),

两点分布. 则称 X 服从 x1 , x2 处参数为 p 的两点分布 特别地, 特别地, X 服从 x1 = 1, x2 = 0 处参数为 p 若 的两点分布, 的两点分布,即

X pi

0 1? p

1 p

( i = 1,2)

则称 X 服从参数为 p 的 0?1分布.习惯上常 ? 分布 习惯上常 记 q = 1 ? p.

件产品中, 件是正品, 件是次品, 例2 200 件产品中 有 196 件是正品 4 件是次品 今从中随机地抽取一件, 今从中随机地抽取一件 若规定

?1, 取到正品 X =? , ?0, 取到次品


P{ X = 1} = 196 = 0.98, 200 P{ X = 0} = 4 = 0.02. 200

于是, 的两点分布. 于是 X 服从参数为 0.98 的两点分布

2、二项分布 、 在 n 重伯努利试验中, 重伯努利试验中, 设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0 < p < 1), 用 X 表示 n 重 发生的次数, 伯努利试验中事件 A 发生的次数,则 X 的可 能取值为 0,1,?, n, 且对每个 k (0 ≤ k ≤ n), 事 件 { X = k } 即为“ 次试验中事件 A 恰好发生 即为“ n 根据伯努利概型, 的k次”, 次 根据伯努利概型,有
k P{ X = k } = C n p k (1 ? p )n?k , k = 0,1,?, n (1)

的概率分布由(1)式 定义 若一个随机变量 X 的概率分布由 式 二项分布, 给出, 给出,则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 易见, 记为 X ~ b( n, p ). 易见,

(1) P{ X = k } ≥ 0;

( 2)∑ P{ X = k } = 1.
k =0

n

式化为 注:当 n = 1 时, (1)式化为

P { X = k } = p (1 ? p )
k

1? k

, k = 0,1,

分布. 此时, 此时, 随机变量 X 即服从 0 ? 1 分布

个次品, 例3 已知 100 个产品中有 5 个次品, 现从中有放回 地取 3 次, 每次任取 1 个, 求在所取的 3 个中恰有 2 个次品的概率. 个次品的概率. 解 因为这是有放回地取 3 次, 因此这 3 次试验的 条件完全相同且独立, 它是伯努利试验, 依题意, 条件完全相同且独立, 它是伯努利试验, 依题意, 每次试验取到次品的概率为 0.05. 个中的次品数, 设 X 为所取的 3 个中的次品数, 则

X ~ b( 3,0.05),
于是, 所求概率为: 于是, 所求概率为:

P{ X = 2} = C (0.05) ( 0.95) = 0.007125.
2 3 2

注: 若将本例中的 “有放回” 改为 “无放回”, 那么 有放回” 无放回” 各次试验条件就不同了, 已不是伯努利概型, 此时, 各次试验条件就不同了, 已不是伯努利概型, 此时 只能用古典概型求解. 只能用古典概型求解.

C C P{ X = 2} = ≈ 0.00618. C

1 2 95 5 3 100

某人进行射击, 例4 某人进行射击, 设每次射击的命中率为 0.02, , 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率. 独立射击 次 试求至少击中两次的概率. 解 将一次射击看成是一次试验. 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为 X , 则 X ~ b(400,0.02).

X 的分布律为

P{ X = k} = C
于是所求概率为

k 400

(0.02) (0.98)

k

400 ? k

,

k = 0,1,?,400.

P{ X ≥ 2} = 1 ? P{ X = 0} ? P{ X = 1}
= 1 ? ( 0.98)400 ? 400(0.02)(0.98)399 = 0.9972.

3、泊松分布 、 定义 若一个随机变量 X 的概率分布为

λk , P{ X = k } = e


则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布, 泊松分布, 记为

k!

k = 0,1,2,?,

X ~ P (λ ) 或
泊松分布的图形 特征如右图所示. 特征如右图所示 历史上, 泊松 注: 历史上, 分布是作为二
P( λ )
0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02

X ~ π (λ ).

O

1 2 3 4 5 6 7 8 910 12 14 16 18 20 22 24

年由法国数学家泊松引入的. 项分布的近似, 于 年由法国数学家泊松引入的 项分布的近似, 1837年由法国数学家泊松引入的

泊松分布 P( λ ) (λ = 12 )

k

常见泊松分布 下列事件都可视为服从泊松分布: 下列事件都可视为服从泊松分布: 某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数; 某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 到某机场降落的飞机数; 某售票窗口接待的顾客数; 某售票窗口接待的顾客数; 一纺锭在某一时段内发生断头的次数; 一纺锭在某一时段内发生断头的次数;……

例5 某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数 的泊松分布, λ = 0.8 的泊松分布, 求该城市一天内发生 3 次 次以上火灾的概率. 或 3 次以上火灾的概率. 由概率的性质, 解 由概率的性质, 得

P{ X ≥ 3} = 1 ? P{ X < 3} = 1 ? P{ X = 0} ? P { X = 1} ? P{ X = 2}

? 0.80 + 0.81 0.82 ? = 1? e ? ? 1! 2! ? ? 0! ≈ 0.0474.
? 0.8

二项分布的泊松近似 很大时, 对二项分布 b( n, p ), 当试验次数 n 很大时, 计 算其概率很麻烦. 例如, 算其概率很麻烦 例如, 要计算

P { X > 5} = ∑ P{ X = k } = ∑ C
k =6 k =6 5000 5000 k 5000

? 1 ? ? ? ? 1000 ?

k

? 999 ? ? ? ? 1000 ?

5000? k

,

故须寻求近似计算方法. 故须寻求近似计算方法 这里先介绍二项分布的 泊松近似, 泊松近似, 在本章第四节中还将介绍二项分布的 的正态近似. 的正态近似

事件 A 在 重伯努利实验中, 泊松定理 在 n 重伯努利实验中, 每次试验中发生的概率为 pn , 若当 n → ∞ 时, 为常数), npn → λ (λ > 0 为常数 则有
k

k k lim b( k ; n, pn ) = lim C n pn (1 ? pn )n?k = λ e ?λ , n→ ∞ n→ ∞ k! k = 0,1,2,? 很大时, 注: 定理的条件意味着当 n 很大时,pn

必定很小. 因此,泊松定理表明, 必定很小 因此,泊松定理表明, n 很大, 当 很大,

p 很小时有下列近似公式: 很小时有下列近似公式:
k

k C n p k (1 ? p )n?k ≈ λ e ?λ , k!

λ = np

例6 某公司生产一种产品 300 件, 根据历史生产记 录知废品率为 0.01, 问现在这 300 件产品经检验 废 , 的概率是多少? 品数大于 5 的概率是多少? 把每件产品的检验看作一次伯努利试验, 解 把每件产品的检验看作一次伯努利试验, 它有 两个结果: 正品}, 废品}. 两个结果: A = {正品 , A = {废品 . 检验 300 件产 正品 废品 品 就是作 300 次独立的伯努利试验. 用 X 表示检验 次独立的伯努利试验. 出的废品数, 出的废品数, 则

X ~ b( 300,0.01), 我们要计算 P { X > 5}. 于是, 对 n = 300, p = 0.01, 有 λ = np = 3, 于是, 得

P{ X > 5} = ∑ b( k ;300,0.01)
k =6



= 1 ? ∑ b( k ;300,0.01) ≈ 1 ? ∑ 3 e ?3 . k =0 k !
查泊松分布表, 查泊松分布表, 得
k =0 5 k

5

P{ X > 5} ≈ 1 ? 0.916082 = 0.08.

一家商店采用科学管理, 例7 一家商店采用科学管理, 由该商店过去的销 售记录知道, 售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数 的泊松分布来描述, 以上的把 λ = 5 的泊松分布来描述, 为了以 95%以上的把 握保证不脱销, 握保证不脱销, 问商店在月底至少应进该种商品 多少件? 多少件?

解 设该商品每月的销售数为 X , 已知 X 服从参数 的泊松分布. λ = 5 的泊松分布. 设商店在月底应进该种商品 m 件, 求满足 P { X ≤ m } > 0.95 的最小的 m , 即

e 5 > 0.95 ∑ k! k =0
查泊松分布表, 查泊松分布表, 得

m

?5

k

e 5 ≈ 0.968172, ∑ k! k =0
于是得 m = 9 件.

9

?5

k

e ?5 5k ≈ 0.931906 ∑ k! k =0
8

内容小结 1. 离散型随机变量及其概率分布 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 xi ( i =

1,2,?), 称

P{ X = xi } = pi , i = 1,2,?
概率分布或分布律, 也称概率函数 概率函数. 为 X 的概率分布或分布律, 也称概率函数. 的概率分布: 常用表格形式来表示 X 的概率分布:

X pi

x1 p1

x2 ? xn ? p2 ? pn ?

内容小结 2. 常用离散型分布 两点分布 二项分布 二项分布的泊松近似 泊松分布




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