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第一章导数及其应用(复习课)


知 识 结 构

Ⅰ、导数的概念

Ⅱ、几种常见函数的导数公式

c? ? 0 (c为常数) (ln x) ?? 1 x (e x) ? ? ex

(x n) ? ? nxn ?1 (n ? Q)

(sin x) ? ? cos x ,(cos x) ? ? ? sin x ,(log a x) ? ? 1 log a e x , (a x) ? ? a x ln a

Ⅲ、求导法则

Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义

?处 就是曲线 y ? f(x)在点P ? x0 ,f(x0)
的切线的斜率.
Ⅵ、导数的应用 1.判断函数的单调性

函数 y ? f(x)在点x0处的导数 f ( ? x0),

2.求函数的极值

3.求函数的最值

例2:用公式法求下列导数:
(1)y= (2)y= 解(1)y′=

x ? 2 (3x ? 1) 2

(3)y=ln(x+sinx) (4)y= log 3 ( x ? 1)
2

e cos x
1

2x

? 1 ( x ? 2) 2 ? (3 x ? 1) 2 ? x ? 2 ? 2 ? (3 x ? 1) ? 3 2 (3 x ? 1) 2 ? ? 6(3x ? 1) ? x ? 2 2 x?2

(2)

(3)

1 1 ? cos x y? ? ? ( x ? sin x)? ? x ? sin x x ? sin x

2x 2x ? y ? 2e ? cos x ? e ? sin x

(4)

2 x log 3 e 1 2 y? ? 2 log 3 e ? ( x ? 1)? ? x ?1 x2 ?1

例3、已知f (x) =2x2+3x f ?(1), f ?(0)= 解:由已知得: f ?(x)=4x+3 f ?(1), ∴ f ?(1)=4+3 f ?(1), ∴ f ?(1)=-2 ∴ f ?(0)= 4×0+3 f ?(1)=3×(-2)=-6

例4(2001文)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点 x=1处有极小值-1,试确定a、b的值,并求出f(x)
的单调区间。 分析:f(x)在x=1处有极小值-1,意味着f(1)=-1 且f`(1)=0,故取点可求a、b的值,然后根据求 函数单调区间的方法,求出单调区间 。
略解:

? f (1) ? ?1 ?a? ? ' ? f (1) ? 0

1 3

,b ? ?

1 2

单增区间为(-∞,-1/3)和(1,+∞) 单间区间为(-1/3,1)

练习巩固: 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在 原点相切,若函数的极小值为-4 (1)、求a、b、c的值 (2)、求函数的单调区间

答案(1)a=-3,b=0,c=0 (2)单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)

? 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f ?(x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切, ∴ f ?(0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f ?(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
? 2 ? 由已知 f ? ? a ? ? ?4 ? 3 ?

8 3 4 3 即 ? a ? a ? ?4 27 9 解得a=-3

小结: ?导数的应用主要表现在:
1. 利用导数的几何意义求切线的斜率;

2. 求函数的单调区间,只要解不等式f(x) >0或f(x)< 0即可;
3. 求函数f(x)的极值,首先求f `(x),在求f `(x)=0的根, 然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定; 4. 函数f(x)在[a,b]内的最值求法:①求f(x)在(a,b) 内的极值;②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中 最大的是最大值,最小的为最小值。

1、求曲边梯形的思想方法是什么? 2、定积分的几何意义、物理是什么? 3、微积分基本定理是什么?

求由连续曲线y?f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ? a, x1 ? , ? x1 , x2 ? ,?? xi ?1 , xi ? ,?, ? xn?1 , b ? , 每个小区间宽度⊿x ?
b?a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

(2)取近似求和 :任取xi?[xi?1, xi],第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i

f(xi)Dx近似之。

y=f ( x)
n

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值: S?
n

? f (x )Dx
i ?1 i

(3)取极限:,所求曲边梯形的 面积S为

S ? lim ? f (xi )Dx
n?? i ?1

O

a

xi xi xi+1 Dx

?

b

x

定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b?. a i ?1 i ?1

小矩形面积和S=? f (xi )Dx ? ? f (xi ) ?

n

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b?a lim 即 dx?? lim ?xfi。 (xi ) f (x)dx,即 )) dx f (x i)?D ? ? ?a?a ff((xx ?? 0 n?? n i ?1 i ?1
b b
n n

定积分的定义: 即

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (xi ) n?? n i ?1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y ? f ( x)

a

b

x

积分上限

f (x i )Dxi ? ?a f ( x )dx ? I ? lim ? ?0 i ?1
积分下限

b

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

定积分的定义: 即

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (xi ) n?? n i ?1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y?f(x) (f(x)?0) ,直线x?a、x?b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为
S??
b a

f (x)dx;

(2) 设物体运动的速度v?v(t),则此物体在时间区间 v ? v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v
s??
b a

v(t)dt。

O

a

b

t

变力作功

如果物体沿与变力 F (x)相同的方向移动, 那么从位置 x = a 到 x = b 变力所做的功

W ? ? F ( x )dx
a

b

例1、求曲线 x轴所围成的图形面积。

2? 2? y ? sin x x ? [0, ]与直线 x ? 0, x ? , 3 3

略解:根据定积分的 几何意义所求面积为
S=

?

2? 3 0

sin xdx ? ? cos

2? x | o3

3 ? 2

(一)利用定积分求平面图形的面积
y

y ? f ( x)

y

y ? f2 ( x) y ? f1 ( x )

o

a

b x

o

a

b x

平面图形的面积

平面图形的面积

A ? ?a f ( x )dx

b

A ? ?a [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx

b

y ? f2 ( x)
a
b

a
b

y ? f ( x)
平面图形的面积

y ? f1 ( x )
平面图形的面积

A ? ?? f ( x )dx
a

b

A ? ? f 2 ( x )dx ? ? f1 ( x )dx
a a

b

b

? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
a

b

y ? f2 ( x)
a

平面图形的面积

y ? f1 ( x )

b

A ? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
a

b

特别注意图形面积与定积分不一定相等,
[0 ,2?] 如函数 y ? sin x x ? 的图像与 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.

x

1、求直线 y ? 2 x ? 3与抛物线 y 所围成的图形面积。 略解:如图直线 2 y ? 2 x ? 3 与抛物线 y ? x 的交点坐标为(-1,1) 和(3,9),则

?x

2

x 3 32 S= ( 2 x+3-x )dx ? (x ? 3 x ? ) |?1 ? ?1 3 3

?

3

2

2

3

2、求由抛物线 y ? ? x ? 4 x ? 3 及其在点 M(0,-3)和N(3,0)处的两条切线所围成 y 的图形的面积。 / (3/2,3) ? y ? ? 2 x ? 4 略解: 则在M、N点处的切线方程 分别为 y ? 4 x ? 3 y ? ?2 x ? 6 x o
2


2+4x-3 y= - x S= [( 4x ? 3) ? ( ? x ? 4x ? 3)]dx
2

?

3 2 0

?

9 ?32 [(?2x ? 6) ? ( ? x ? 4x ? 3)]dx ? 4
3 2

3、在曲线y ? x ( x ? 0) 上的某点A处作 1 一切线使之与曲线以及 轴所围成的面积为 12 试求:切点A的坐标以及切线方程. 略解: 2 y 2 y=x 设切点坐标为 (x 0 , x 0 )
2

x

.

? y ? 2 x 则切线方程为
/

A

y ? 2 x0 x ? x0

2

O x 0B
( 2

,0)

C( x 0 , 0) x

切线与x轴的交点坐标为
x0 ( ,0) 2

则由题可知有 x
S?

?

0

2

0

x 2 dx ?

?

x0

? x0 ? 1

x0 2

x0 1 2 2 ( x ? 2 x 0 x ? x 0 )dx ? ? 12 12

3

A(1,1), y
(另解 :
x0 2

所以切点坐标与切线方程分别为 y=x2 y ? 2x ? 1 A O B C x

1 x0 2 S ? ? x dx ? ? ? x 0 0 2 2 x 03 1 ? ? ) 12 12

小结:求平面图形面积的方法与步骤:

(1)画图,并将图形分割为若干个 曲边梯形; (2)对每个曲边梯形确定其存在 的范围,从而确定积分的上、下限; (3)确定被积函数; (4)求出各曲边梯形的面积和,即 各积分的绝对值的和。

课题:定积分的应用

几种常见的曲边梯形面积的计算方法:

我行 我能 我要成功 我能成功

) 与直线 x ? a, x ? b(a ? b) (1)曲线 y ? f ( x )(f ( x ) ? 0 b 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积: S=? f ( x )dx a )与直线 x ? a, x ? b(a ? b) (2)曲线 y ? f ( x )(f ( x ) ? 0 以及x轴所围成的曲边梯形的面积:S=- b f ( x )dx
y
y ? f ( x)
b

ya

?

a

b

x

a

bx

y ? f ( x)

) (3)两条曲线 y ? f ( x ),y ? g( x )(其中f ( x ) ? g( x ) 与直线 x ? a, x ? b(a ? b)围成的曲边梯形的面积: y

y ? f ( x)

a y

y ? g( x)

b

b x

S=? [f ( x )-g( x )]dx
a

b

y ? f ( x)
a

y ? g( x)

bx

4、求曲线 y ? log 2 x与曲线 y ? log 2 (4 ? 以及 轴所围成的图形面积。 略解:如图由 y ? log 2 x 得

x

x)

x ? f ( y) ? 2 y 由 y ? log 2 (4 ? x) 得 x ? g( y) ? 4 ? 2 y 当 y ? (0,1) 时,g( y) ? f ( y)

则所求图形的面积为
S=?【g( y) ? f ( y)]dy ? ? (4 ? 2 ? 2y )dy
0 0 1 1

? ( 4 y ? 2 ? 2 y log 2 e) |1 0 ? 4 ? 2 log 2 e


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