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大纲版高二数学下§6.2算术平均数几何平均(修改稿12页-22页)


《魔法数学》大纲版高二数学下不等式

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* §6.2 算术平均数几何平均数 *
磨法石——核心知识归纳 ——核心知识归纳 ——
算术平均数与几何平均数之间到底有怎样的大小关系呢? 1.基本形式的不等式: (1)如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取等号. (2)如

果 a,b∈R+,那么 a+b≥2 ab ,当且仅当 a=b 时取等号. 2.变形形式的不等式:

a 2 + b2 a + b 2 a 2 + b2 2 2 2 (1)如果 a,b∈R ,那么 ab≤ 或(a+b) ≤2a +2b 或 ( ) ≤ 2 2 2
+

(2)如果 a,b∈R+,那么 ab≤ ( 3.运用均值不等式求最值原理:

a+b 2 ) 2

(1)若 ab∈R+,且 ab 为定值,则有 ab≥2 ab =定值,当且仅当 a=b 时,a+b 取最 小值. (2)若 ab∈R+,且 a+b 为定值,则有 ab≤ ( 最大值.

a+b 2 ) =定值,当且仅当 a=b 时,ab 取 2

找捷径——难点疑点突破: ——难点疑点突破: ——难点疑点突破
1.均值不等式:a+b≥2 ab 一定要注意是正数;a+b≥2ab, a,b∈R 例 1:求最大值(1)2sinθcosθ≤sin2θcos2θ=1 或 sin2θ≤1; (2)0<a<1<b,则 y= log a + log b
b a

解: (1)∵2sinθcosθ≤sin2θ+cos2θ=1 或 2sinθcosθ= sin2θ≤1 ∴ymax=1 (2)∵y=-[- log a +(- log b )]≤-2 ∴ymax=-2 点评:∵ log a <0 ∴- log a >0,这是将负数化正数的一般方法. 2.连续几次使用不等式时应注意取等号条件的一致性. 例 2:已知 a,b∈R+,且 a+2b=1,求
b b b a

1 1 + 最小值. a b

错解一:∵a+2b=1 ∴

1 1 1 1 1 + =( + )( a+2b)≥2 2 ab =4 2 a b a b ab
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错因:a=2b 与 a=b 不能同时成立. 错解二:

1 1 1 1 + + a+2b= a+ + +2b≥2+2 2 a b a b 1 1 2 , =2b a=1,b= ,但 a+2b≠1 a b 2

错因:由 a=

正解:∵a+2b=1 ∴ ∴当且仅当

1 1 1 1 2b a + =( + )( a+2b)=3+ + ≥3+2 2 a b a b a b

2b a = ,即 a= 2 b 时,等号成立,代入 a+2b=1,得 a= 2 -1, a b

b=1-

2 1 1 ,故 + 的最小值是 3+2 2 . 2 a b
3.正确理解和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.

上例错解三:

1 1 1 1 1 1 + = + ≥2 ,当 b=1-2b 时 b= 时取等号,∴ a b 1 2b b b(1 2b) 3

(

1 1 + )min=2 3× 3 =6 a b

错因:应该先分析出现和,积定值,再考虑等号成立条件,而不是先考虑等号成立条件, 再代入出现定值. 错解四:∵a+2b=1 ∴a=1-2b>0,得 0<b<

1 2



1 1 1 1 1 b + = + = a b 1 2b b b(1 2b)

1 1 2b + 1 2b 2 1 2b(1-2b)≤ ( )= 2 2 2 8 1 当且仅当 2b=1-2b 时 b= 时等号成立 4 1 1 1 1 1 4 =6 ∴b= 时, + = 1 4 a b 8 1 错因:虽然 b= 时,b(1-2b)取最大,但此时分子 1-b 并非取最小值,故和或积为定值不 4
∴b(1-2b)= 能只考虑部分,而需要考虑整体表达式.

金钥匙——解题方法技巧: ——解题方法技巧: ——解题方法技巧
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例 1:下列命题正确的是 (1)已知 xy∈R+,x+2y=1,则 xy≥

1 12 ; (2)和式 +3x 的最小值是 12; 8 x

(3)因为

x2 + 5 x2 + 4



1 x2 + 4

+ x + 4 ,所以
2

x2 + 5 x2 + 4

≥2;

(4)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是[9,+∞) 解:命题(1)(4)正确, , , (2)(3)错误. 解题规律: 解题规律:

1 8 1 1 x+ y 2 1 或 xy≤ x2y≤ ( ) ≤ 2 2 2 8
(1)1=x+2y≥2 2 xy xy≤ (2)因为 x 的符号不确定,故需讨论: x≥0 时,f (x)=

12 +3x≥2 36 =12 x 12 x<0 时,f (x)= -[ +3x]≤-12 x
(3)∵令

(1)已知是和式,要证是积式,故可利用 均值不等式实现和,积转换或称和,差化积,积 化和差. (2)在函数表达式中,由于变量符号不确 定, 故需进行讨论, 以便能正确使用均值不等式. (3)一正二定三相等在求最值时缺一不可, 必须认真检查,若所给条件不能使用不等式求最 值时,可考虑利用函数单调性来解决. 解题规律: 解题规律: (4)用凑配法凑配出能使用不 等式的条件, 在求函数最值时经常用 到,目标是使和或积为定值,同时注 意取等号的条件.

1 x2 + 4

= x + 4 x2= -3 不可能
2

∴等号不成立; 只能利用函数的单调性解决,由 x + 4 ≥2,
2

而 f (t)= t + 在 t∈[2,+∞]单调递增,所以 f (t)min= f (2)=2+
2 (4)由 ab=a+b+3≥2 ab +3 ( ab ) -2 ab -3≥0

1 t

1 5 = 2 2
ab ≥3;

或由已知 b=

a+3 4 =1+ ∵b>0,∴a-1>0 a 1 a 1 4a 4 4 故:ab=a+ = a+ +4=a-1+ +5≥4+5=9 a 1 a 1 a 1
2 2 2 2 2 2

例 2 :已知 a,b,c∈R,求证: a + b + b + c + c + a ≥ 2 (a+b+c) 解析:由不等式两边的确良结构特点,我们联想到重要不等式 x2+y2 ≥2xy 及拓展形式

x2 + y2 x+ y 2 ≥( ) (x,y∈R),故可运用它们进行证明. 2 2
解题规律: 不等式两边一边为无理式, 另一边为有理 解题规律: 式则应考虑将无理式转化为有理式, 即将根号里面变 出完全平方,再开方,当然 ab ≤
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a+b 也是一种 2

化无理式为有理式的方法.

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a2 + b2 a+b 2 证明:∵ ≥( ) 2 2 a2 + b2 ≥
2 2 |a+b|≥ (a+b) 2 2 2 (b+c) 2
2 2 2

同理 b + c ≥
2 2

c2 + a2 ≥
2 2

2 (c+a) 2
2

三式相加可得: a + b + b + c + c + a ≥ 2 (a+b+c)

点金术——思维拓展发散: ——思维拓展发散: ——思维拓展发散
例 3: (1)若已知 a>b>c,则 a-c-

27 的最小值. b (a c)b + ac
2

(2)设 0≤x≤1,则 y=x-x3 的最大值. 解析(1) :不能直接看出有什么积为定值,故需将已知式变形,能否凑配同积为定值,可 观察出分母可分解因式:

解析(2): 解析式为和差形式, 初看不能使用不等式, 但只要提取公因式就可化为积的形式, 再来凑配中为定值. 解:∵0≤x≤1, ∴y=x-x3=x(1-x2)且 1-x2≥0 又 y2=x2(1-x2)2= 思维互动: 思维互动 生:y=x(1-x2) =x(1-x) (1+x)=

1 2 2x (1-x2) (1-x2) 2
3

1 x(2-2x) (1+x) 2



1 ≤ 2

2 x 2 + 2(1 x 2 ) 4 = 3 27

∴y≤ 师:由于取等号条件是 x=1+x=2-2x,这样的 x 不 3 3 存在,故需另想办法.

4 1 x + 1 + x + 2 2x 3 1 ( ) = ,不是 2 3 2 27 2

当且仅当 2x2=1-x2 x=

3 2 3 ∈[0,1]时,ymin= 3 9
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方法规律: 方法规律:在利用不等式求函数最值时,常用到凑配技巧,增项,减项或乘除某一常数, 使和,积成为定值,同时兼顾等号成立条件. 例 4:已知 a,b,x,y∈R+,

a b 2 + =1,求证 x+y≥ ( a + b ) x y

解析:∵因为 x+y 与

a b + 之间存在一种倒数关系,故可考虑两式相乘而达约分的目的. x y a b y x 2 + )=a+b+ a+ b≥a+b+2 ab = ( a + b ) x y x y b a b a + =1 的特点,可令 =cos2θ, =sin2θ, x y x y

证法 1:x+y=(x+y)(

证法 2:可利用三角代换,由

则 x=

a b ,y= 2 cos θ sin 2 θ
2 2

x+y- ( a + b ) 2 =x-a+y-b-2 xy sin θ cos θ = x-xcos2θ+y-ysin2θ-2 xy sin θ cos θ
2 2

= xsin2θ+ycos2θ-2 xy sin θ cos θ
2 2

=( x sin

2

θ - y cos 2 θ )2≥0
a b a + =1,∴ <1 x>a x-a>0 x y x

证法 3:∵a,b,x,y∈R+,且

∴x+y=x+b+

ab ab =(x-a)+ +a+b≥a+b+2 ab = ( a + b ) 2 xa x a
2

方法规律: 方法规律:对于条件不等式的证明,怎样使用好条件不等式是解决问题的关键,上述三种 解法各具特色,也是对"1"的三种不同的理解. 例 5:求 的最小值,式中 解法 1:要求 y 的最小值,就要使 y 右边变为两个和式且使积为定值,故联想

为定值.

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a+b 1 ab 1 b2 ( tan x) = ( + tan x) tan 2 x = 2 时等号成. 2 | cos x | 2 | cos x | a b2
2

解法 2:设 t=tanx,则 cosx= 1 + t y=a 1 + t -bt y+bt = a 1 + t
2 2

(y+bt)2= a2 (1+t2)

(a2-b2)t2-2byt+(a2-y2)=0……①
由于 t 为实数,故①式中的判别式△≥0. 即 0≤4b2y2-4(a2-b2)(a2-y2)=4(a2-y2+ b2) 得 y2≥a2-b2 故当 tanx= 方法规律: 方法规律: (1)在考虑将函数式转化为二次方程利用判别式求最值时, 必须注意自变量 x 应是取全体实 数才行, 否则可能产生错误. 一般地若 x 有限制, 则只能利用不等式或函数单调性来求解. 例 6:为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水中该杂 质的质量分数与 a,b 的乘积成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a,b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(A,B 孔面积忽略不计) 解法 1:设 y 为流出的水中杂质的质量分数 A K 则 y= ,其中 K>0 为比例系数. ab b 根据题设有 4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0) a

b a +b
2 2

时,ymin= a b
2

2

B

这时 a=6 或 a= -10(舍去) ,将 a=6 代入得 b=3,故当 a=6 米,b=3 米时,经沉淀后流出的
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水中该杂质的质量分数最小. 解法 2:由题设知 4b+2ab+2a=60 那么 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)

当且仅当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18 ∴2b =18,解得 b=3,a=6. 故当 a=6 米,b=3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 方法规律: (1)对于实际应用问题中的杂质最少,材料最省,利润最大,效率最高等问题一般都是先建 立一个函数关系式,再根据函数关系式可利用均值不等式求最值或二次函数求最值或三角 函数求最值,单调性求最值. (2)解法 1 的变形是涉及分母是一次式, 而分子是二次式的形式, 只要具有这种形式的函数, 均可采用类似的变形方法. 而解法 2 利用了和化积, 这一变换技巧, 也是常用的变形方法.

试试看——潜能挑战测试: 试试看——潜能挑战测试: ——潜能挑战测试 基础知识
1,设 a,b∈R+,且 a≠b ,则下列不等式中不正确的是( )

2,已知 a,b∈R,且 a+b=3,则 A,6 B,

的最小值是( C,

) D, )

3,设实数 a,b 满足 0<a<b 且 a+b=1,则下列四数中最大的是( A,

1 2

B,a2+b2

C,2ab

D,a ) D,无最小值

4,已知 x>0,y>0,且 x+y=6,则 x2+y2 存在( A,最大值 36 B,最小值 18 C,最大值 18 5,设 x,y 为正数,且 xy-(x+y)=1,则( ) A,x+y≥2( 2 +1) 6,函数 y=1-2xB,xy≤ 2 +1

C,x+y≤( 2 +1) 2 . ,则 xy 的最小值是

D,xy≥2( 2 +1)

3 (x>0)的最大值是 x

7,已知 x>1,y>1 且

.

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8,已知 a>b>0,求证: a +

1 ≥3 b( a b)
1 =的最大值是 3
.

9,函数 f(x)= x (1- x), (0<x<

思维拓展
1 9 + = 1 ,求 a+b 的最小值. a b 1 1 2 11,已知 x≥0,y≥0,求证: ( x + y ) + ( x + y ) ≥ x y + y x 2 4
10,已知 a>0,b>0,且 12,设 n∈R,n≥2,求证: log n
( n 1)

. log (nn +1) <1
x x2

13,设 x∈R,0<a<1,求证: log a a + a 14,已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证:

< log a +
2

1 8

x y ab + ≥2 ab x y

15,设θ∈ 0,

π 2 2 π 恒 ,不等式 sin 2θ (2 2 + 2a ) sin(θ + 4 ) + 2a + 3 < π 2 cos(θ ) 4

成立,求实数 a 的取值范围.

应 用 创 新
16,一个直角三角形,其周长定值 2,求它的面积的最大值. 17, 某化工厂生产某种产品, 当年产量在 150 吨至 250 吨之内时, 其年生产的总成本 y (万 元)与年产量 x(吨)之间关系可近似地表示为 y =

x2 30 x + 4000 . 10

(1)求年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低,并求每吨最低成平均成本. (2)若每吨平均成厂价为 16 万元,求年生产多少吨时,可获得最大的年利润,并注出最 大年利润. 18,一商店经销某种货物,根据销售情况,年进货量为 5 万件,分若干次等量进货,设每 次进 x 货件,每进一次货需运费 50 元,且在售完该货物时能立即进货.现以年平均

x 件 2

货物储存在仓库里,库存费用以每件 20 元计算,欲使一年的运费和库存费之和最省,每 次进货量应 x 为多少件?此时运费和库存费为多少元?
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标准答案与提示
1,D(点拔:①可用特值法.②a+b>2 ab

1 1 < ) a + b 2 ab

a b 2,B(点拔: 2 + 2 ≥ 2 2

a +b

= 2 23 ) 1 2

3,B(点拔:a2+b2≥2ab,1=(a+b)2= a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥ 又∵0<a<b ∴两个不等式等号均不成立) 4,B(点拔:∵36=(x+y)2= x2+y2+2xy≤2(x2+y2)∴x2+y2≥18) 5,A(点拔:∵1+(x+y)=xy≤ (

x+ y 2 ) (x+y)2 -4xy-4≥0 [(x+y)-2]2≥8 x

x+y≥2+2 2 )
6,1-2 6 (点拔:y=1-2x+
x y

3 3 ≤1-2 2 x ) x x
x y x y = log 3 + log 3 ≥ 2 log 3 log 3 =2)

7,(xy)min=32(点拔: log 3 8,a+

1 1 = a-b+b+ ≥3 (a b)b (a b)b

9,f(x)= x (1-3x)=

1 1 3x + 1 3x 2 1 ) = 3x(1-3x)≤ ( 3 3 2 12 1 1 当且仅当 3x=1-3x 即 x= 时,等号成立 ∴f(x)的最大值为 6 12


1 9 b + =1,得 a= 又∵a>0,b>0 ∴b>9 且 a>1 a b b9 b b ∴a+b= +b=(b-9)+ +10≥2 9 +10=16 b9 b9 b 当且仅当,b-9= ,即 b=12,a=4 时取等号. b9 1 9 b 9a 法二 由 a+b=(a+b)( + )=1+9+ + ≥10+2 9 =16 a b a b b 9a 1 9 当且仅当 = , + =1,即 b=12,a=4 时取等号. a b a b
10,解(1)法一
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《魔法数学》大纲版高二数学下不等式

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11.证明:

1 1 x+ y 1 x+ y 1 1 (x+y)2+ (x+y)= (x+y+ )= (x+ +y+ ) 2 4 2 2 2 4 4

≥1 xy ( 2 x ×

1 1 + 2 y × ) =x y +y x 4 4
2
2

12.证明:∵n>2 ∴n-1>1,n+1>1

log (nn 1) + log n +1 log (nn ( n 1) ( n +1) n ∴ log n log n ≤ = 2 2
13.∵ax>0, a 又∵x-x2=-(x当且仅当 x= ∵ax+ a ∴ log a
x2 x2

1)

1 n2 < log n =1 2

2

>0 ∴ax+ a

x2

≥2 a

x x2

1 2 1 1 )+ ≤ 2 4 4

1 1 x2 时,等号成立,但 x= 时,ax≠ a 2 2
1

>2 a
2

x x2

≥2 a 8 (0<a<1)

(a x +a x )

< log a +

2

1 8

14.由已知得 ax+bx+ay+by>2ay +2bx ∵ax-ay-bx+by>0,(a-b)(x-y)>0 ∴

ab x y x y ab >0, >0,∴ + ≥2 ab x y ab x y

15.不等式化为:2sinθcosθ-(2+a)(sinθ+cosθ)+2a+3< 令 t= sinθ+cosθ= 2 sin(θ+

π
4

),∵0≤θ≤

π
2

4 sin θ + cosθ

,∴1≤t≤ 2 且 2sinθcosθ=t2-1

原不等式化为(t2-1)-(2+a)t+2a+3< 即 t2-(2+a)t+2a<

4 2(t 2) -2,变形为 t(t-2)-a(t-2)<t t 2 ∵-1≤t-2≤ 2 -2,∴a< +t t 2 要使上式恒成立,只需 a<( +t)min 即可. t 2 2 ∵u= t+ 在[1, 2 ]上是减函数,∴( +t)min=2 2 t t
21

4 , t

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故当时 a<2 2 时,对θ∈ 0,

π ,原不等式恒成立 2

16,设三角形 ABC 中∠C=90°,相应之边为 a,b,c, 则 a+b+c=2
2 2 2



a2 + b2 = c2
2 2


2

则 a + b = c = [2 ( a + b) ] = 4 + a + b 4( a + b) + 2ab 即有 2+ab=2(a+b)≥22 ab ( ab )2-4 ab +2≥0

( ab -2)2≥2 ab ≥2+ 2 或 ab ≤2- 2 ab≤6-4 2
故有 S=ab≤3-2 2 17, (1)每吨平均成本

x 4000 y y x 4000 (万元) ,则 = + 30 2 -30=10 x x 10 x 10 x

当且仅当

x 4000 = ,即 x=200 时取等号,又 150<200<250, 10 x

所以年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 10 万元. (2)设年获得的总利润为 Q(万元) ,则

x2 1 2 1 Q=16x-y=16x-30x-4000=x +46x-4000=- (x-230)2+1290 10 10 10
又 150<230<250,所以年产量为 230 吨时,可获得最大年利润为 1290 万元. 18,设一年的运费和库存费之和为 y 元 依题意,y=

50000 x 2500000 50 + 20 = + 10 x . x 2 x

∵x>0∴y≥2

2500000 10 x =10000. x

当且仅当

2500000 =10x,即 x=500 时,等号成立. x

所以每次进货量 x 为 500 件时,运费和库存费最省为 10000 元.

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