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立几大题


1. (本题 12 分)如图, AB 是圆的 O 直径, PA 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点,

(1) 求证: BC ? O 平面 PAC ; (2) 设 Q 为 PA 的中点, G 为 ?AOC 的重心,求证: QG //平面 PBC . 2.(本题 12 分)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面

ABCD, AB ? AA1 ? 2 .

(1) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (2) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 3.(本题 12 分) 如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的 点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱 锥 A ? BCF ,其中 BC ?
2 . 2

1

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ? 4.( 本 题 12
2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

分 ) 如 图 , 在 在 四 棱 锥

P ? ABCD

中 ,

PA ⊥ 面

A B ,C = BC =2, AD = CD = 7, PA = 3, ABD

∠ ABC =120°, G 为线段 PC 上的点.

(1) 证明: BD ⊥面 PAC ; (2) 若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值; (3) 若 G 满足 PC ⊥面 BDG ,求
PG 的值. GC

5.(本题 13 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 中,侧棱 AA1 ? 底面
ABC , AB ? AC ? 2 AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,

D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点, P 是线段 AD 上异于端点的点.

2

(1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线 l ? 平 面 ADD1 A1 ;
1 (2 )设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q , 求三棱锥 A1 ? QC1D 的体积 .(锥体体积公式 : V ? Sh , 3

其中 S 为底面面积, h 为高) 解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC, 因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平面 A1BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点, 所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过 D 作 DE⊥AC 于 E, 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 DE⊥AA1. 又因为 AC,AA1 在平面 AA1C1C 内,且 AC 与 AA1 相交, 所以 DE⊥平面 AA1C1C. 由 AB=AC=2,∠BAC=120°,有 AD=1,∠DAC=60°, 3 3 所以在△ACD 中,DE= AD= . 2 2 1 又 S?A1QC1 = A1C1·AA1=1, 2 1 1 3 3 所以 VA1 ?QC1D = VD? A1QC1 = DE· S?A1QC1 = ? . ?1 ? 3 3 2 6 3 因此三棱锥 A1-QC1D 的体积是 . 6 6.(本题 14 分) 如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿 藏,再继续下钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1A2 ? d1 .同样可得在 B,C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2 ? d 2 , C1C2 ? d3 ,且 d1 ? d2 ? d3 . 过 AB , AC 的中点 M , N 且与直线 AA2 平行的平面截多面体 A1 B1C1 ? A2 B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为 S中 .

3

(1) 证明:中截面 DEFG 是梯形; (2) 在△ABC 中,记 BC ? a ,BC 边上的高为 h ,面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正下方的 矿 藏 储 量 ( 即 多 面 体 A1 B1 C1? A2 B2 C 的 2 体 积 V ) 时 , 可 用 近 似 公 式 V估 ? S 中 ? h来 估 算 . 已 知
1 V ? (d1 ? d 2 ? d 3 )S ,试判断 V估 与 V 的大小关系,并加以证明. 3

(Ⅰ)依题意 A1A2⊥平面 ABC,B1B2⊥平面 ABC,C1C2⊥平面 ABC, 所以 A1A2∥B1B2∥C1C2,又 A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且 d1<d2<d3. 因此四边形 A1A2B2B1,A1A2C2C1 均是梯形. 由 AA2∥平面 MEFN,AA2?平面 AA2B2B,且平面 AA2B2B∩平面 MEFN=ME, 可得 AA2∥ME,即 A1A2∥DE.同理可证 A1A2∥FG,所以 DE∥FG. 又 M,N 分别为 AB,AC 的中点, 则 D,E,F,G 分别为 A1B1,A2B2,A2C2,A1C1 的中点, 即 DE、FG 分别为梯形 A1A2B2B1、A1A2C2C1 的中位线. 因此 DE= ,FG= ,

而 d1<d2<d3,故 DE<FG,所以中截面 DEFG 是梯形; (Ⅱ)V 估<V.证明: 由 A1A2⊥平面 ABC,MN?平面 ABC,可得 A1A2⊥MN. 而 EM∥A1A2,所以 EM⊥MN,同理可得 FN⊥MN. 由 MN 是△ABC 的中位线,可得 MN= BC= a,即为梯形 DEFG 的高, 因此 即 S= ah,所以
4

, .又 .

于是 由 d1-d2<0,d3-d1>0,故 V 估<V.

=



5


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