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高一数学必修1函数知识点总结


函数

?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :? B为从集合A到集合B的一个映射 ? ? 传统定义:如果在某变化中有两个变量x , y , 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, ? 按照某个对应关系f , y 都有唯一确定的值和它对应。那么y 就是x的函数。记作y ? f ( x ). ?定义 ? ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ?函数及其表示 ?函数的三要素 ?值域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函数的表示方法 ?列表法 ? ? ?图象法 ? ? ?传统定义:在区间? a ,b?上,若a? x1? x2 ?b ,如f ( x1 )? f ( x2 ),则f ( x ) 在?a ,b ?上递增, a ,b ?是 ? ? ? ? 递增区间;如f ( x1 )? f ( x2 ),则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ?单调性?导数定义:在区间 a ,b 上,若f ( x )?0,则f ( x ) 在 a ,b 上递增, a ,b 是递增区间;如f ( x )?0 ? ? ? ? ? ? ? ? 则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ? ? ? ? ? ?最大值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )?M ; ? 函数 ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 )? M。则称M 是函数y ? f ( x )的最大值 ?最值? 函数的基本性质 ?最小值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数N 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? N; ? ? ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 )? N。则称N 是函数y ? f ( x )的最小值 ? ? ? ?(1) f ( ? x ) ?? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。 ? ? ?奇偶性?( 2) f ( ? x )? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做偶函数,其图象关于y轴对称。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ?周期性:在函数f ( x )的定义域上恒有f ( x ?T )? f ( x )( T ?0的常数 ) 则f ( x ) 叫做周期函数,T 为周期; ? ? T的最小正值叫做f ( x )的最小正周期,简称周期 ? ? ? (1)描点连线法:列表、描点、连线 ? ? ? ?向左平移? 个单位:y1? y , x1?a ? x? y ? f ( x? a ) ? ? ? ?向右平移a个单位:y ? y , x ? a ? x? y ? f ( x ?a ) ? ?平移变换?向上平移b个单位:x1? x , y1?b? y? y ?b ? f ( x ) 1 1 ? ? ? ? ? ? ?向下平移b个单位:x1? x , y1?b ? y? y ?b ? f ( x ) ? ? ?横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w?1时)或伸长(当 0? w?1时) ? ? ? ? 到原来的1/ w倍(纵坐标不变),即x1? wx? y ? f ( wx ) ? ?伸缩变换?纵坐标变换:把各点的纵坐标y 伸长(A?1) 或缩短(0? A?1) 到原来的A倍 1 ? ? ? ?函数图象的画法 ?? (横坐标不变), 即y1? y / A? y ? f ( x ) ? ? ? (2)变换法? ? ? ? ?xy?x1?2 x0 x1?2 x0?x ?关于点 ( x0 , y0 ) 对称: ? y1?2 y0 ??y1?2 y0 ? y ?2 y0 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? ? ? ?关于直线x ? x0对称: ? x1?2 x0 ??x1?2 x0 ? x? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? ?xy? y1 y1? y ?对称变换? ? ? ? ? ?关于直线y ? y0对称: ? x1 ? ?xy1? y?2 y0??xy11??x2 y0? y?2 y0? y? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?xy?x1 ?1 ? ?关于直线y ? x对称: ? y1? y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

一、函数的定义域的常用求法:
-1-

1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零; 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1;5、三角函数正切函数 y ? tan x 中

x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;余切函数 y ? cot x 中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应

依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、 直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f (x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增 (减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 3、若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调 性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函 数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇 函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么 该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数 f ( x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则 f ( x) 可 以 表 示 为

1 1 f ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] ,该式的特点是:右端为一个奇函数和 2 2
一个偶函数的和。

-2-

m n ? ? ?根式: a , n为根指数,a为被开方数 ? n m ? ? ?an ? ? ? a ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? r a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) ?a ? ?指数的运算 ? ? ? ?指数函数 ? 性质 ?( a r ) s ? a rs ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? ? ? r r s ? ? ? ?( ab) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? . N ?对数的运算 ?性质 ? ? ? ? ? log a M n ? n log a M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) 对数函数 ? ? ? ? ? ? ? log c b ? log ( a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: a b ? ? ? log c a ? ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? ? ?幂函数 ?定义:一般地,函数y ? x 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ? ? ?性质:见表2 ?

表1

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
-3-

对数数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?

定义域 值域

x?R

x?? 0, ???

y ? ? 0, ???

y?R

图象

过定点 (0,1) 减函数 增函数
x ? (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??)

过定点 (1, 0) 减函数 增函数

x ? (??,0)时,y ? (1, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)
性质

x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??,0)

x ? (0,1)时,y ? (??,0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??)

a?b
表2

a?b

a?b
幂函数 y ? x? (? ? R)

a?b

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
第一象限 性质

偶函数

减函数

增函数

( 1) 过定点 0,

-4-


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