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湖北省武汉科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:函数概念与基本处等函数I


阿武汉科技大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:函数概念与基本处等函 数I 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.若实数 t 满足 f (t ) ? ?t ,则称 t 是函数 f ( x)的一个次不动点.设函数 f ( x)? lnx 与函数 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

g( x)? e x (其中 e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m ,则(
A. m ? 0 【答案】B 2.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+ ? )上单调递减的函数是( A. y 【答案】A 3.指数函数 y=a 的图像经过点(2,16)则 a 的值是( A.
x

)

B. m ? 0

C. 0 ? m ? 1

D. m ? 1 )

?

1 ln | x |

B. y ? x

3

C. y ? 2

| x|

D.y=cosx

) D.4

1 4

B.

1 2

C.2

【答案】D 4.已知二次函数 是( 【答案】A ) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,2)

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 满足 a ?

c b ? 且 c ? 0 ,则含有 f ( x) 零点的一个区间 4 2

A.(-2,0)

5.函数 A.1 【答案】C B.-

,若 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能值为( C.1, - D.1,

)

6.设 f (x)= x -6x+5,若实数 x,y 满足条件 f (y) ≤ f (x) ≤0,则 A.5 【答案】A 7. a、b、c 依次表示方程 2 为( A. 【答案】C 1 1 a b 8.设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=( a b A. 10 C.20 【答案】A D.100 ) B.10 )
x

2

B.3

C.1

y 的最大值为( x D.9-4 5

)

? x ? 1 , 2 x ? x ? 2 , 3x ? x ? 2 的根,则 a、b、c 的大小顺序
a?b?c
C.

c?a?b

B.

a?c?b

D.

c?b?a

9.设函数

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( f ( x) ? ? ? x ? 6, x ? 0
(?3,1) ? (3,??)
B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

)

A.

C. (?1,1) ? (3,??) 【答案】A

10.函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ?

? ?2, 2? 时, f ( x) ? x ?1 ,则 f ( x) 在

?0, 2010? 上零点的个数为(
A.1004 【答案】B B.1005

) C.2009 D.2010

11.已知函数

,则

的值为(

)

A.0 【答案】C

B.

C.1

D.

12.已知定义在 R 上的函数 f (x ) 的导函数 f ' ( x) 的大致图象如图所示,则下列结论一定正确的 是( )

A. f (b) ? f (c) ? f (d ) C. f (c) ? f (b) ? fa) 【答案】C

B. f (b) ? f (a) ? f (e) D. f (c) ? f (e) ? f (d )

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.函数

f ( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2 在 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是

____________

【答案】 a ? 5 14.若函数 f 【答案】-1 15.函数

(x ) ? a log2 x ? b log3 x ? 2 ,且 f (

1 ) ? 5 ,则 f (2012) 的值为_ 2012



f (x) ?
1 2

ax ? 1 在区间 ( ?2,?? ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 x?2

____________ 【答案】 ( , ?? ) 16.函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [ ,1] 上的最小值是 1 ,则 a = 【答案】

1 2

.

3 2
2 2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.x 的二次方程 x +z1x+z2+m=0 中,z1,z2,m 均是复数,且 z1-4z2=16+20i,设这个方程的两个 根α 、β ,满足|α -β |=2 7,求|m|的最大值和最小值. 【答案】设 m=a+bi(a,b∈R).则△=z1 -4z2-4m=16+20i-4a-4bi=4[(4-a)+(5-b)i].设△ 的平方根为 u+vi.(u,v∈R) 即(u+vi) =4[(4-a)+(5-b)i]. |α -β |=2 7,?|α -β | =28,?|(4-a)+(5-b)i|=7,?(a-4) +(b-5) =7 , 即表示复数 m 的点在圆(a-4) +(b-5) =7 上,该点与原点距离的最大值为 7+ 41,最小值为 7 - 41. 18.有时可用函数
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x ,  x ? 6, ? f ( x) ? ? ? x ? 4.4 ,      x ? 6 ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ), f ( x ) 表示对
*

该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x

? 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-

f(x)总是下降;

(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.( e
0.05

=1.05)

0.4 ( x ? 3)( x ? 4) 而当 x ? 7 时,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降 a ? 0.85 (2)有题意可知 0.1 ? 15ln a?6
【答案】(1)当 x ? 7 时,

f ( x ? 1) ? f ( x) ?

a ? e0.05 a?6 e0.05 ? 6 ? 21? 6 ? 126 ? (121,127] 解得 a ? 0.05 e ?1
整理得 由此可知,该学科是乙学科 19.已知函数

f ( x) ? loga (a x ?1)(0 ? a ? 1)

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ) 解不等式

f (2x) ? f ?1 ( x) .

x 0 【答案】 (Ⅰ)由题 a ? 1 ? a ,因为 0 ? a ? 1 ,所以 x ? 0 ,

即 f ( x ) 的定义域为

?x | x ? 0?

(Ⅱ)函数 f ( x ) 在 (??,0) 上是单调递增的. 因为:令函数 u( x) ? a 故 u( x) ? a
x x

? 1 ,因 0 ? a ? 1

? 1 在 (??,0) 上是单调递减的, x 也是单调递减的,

又因为 g ( x) ? loga

由复合函数的单调性知, 复合函数 f ( x ) ? g (u ( x)) 在 (??,0) 上是单调递增的. (Ⅲ)由题知 于是不等式
x

f ?1 ( x) ? loga (a x ? 1) , x ? R

f (2x) ? f ?1 ( x) 等价为 a 2 x ? 1 ? a x ? 1 即: (a x ? 2)(a x ? 1) ? 0
log a 2

从而 a ? 2 ? a

,所以 x

? loga 2 ,又须 2 x ? 0 ,

综上,原不等式的解集为 20.设函数

?x | loga 2 ? x ? 0?

f ( x) ? ka x ? a? x (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 上的奇函数; f ( x2 ? 2x) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集;

(Ⅰ)若 f (1) ? 0 ,试求不等式 (Ⅱ)若 f (1) ?

3 , 且g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 4 f ( x), 求g ( x)在[1, ??) 上的最小值。 2

【答案】? f ( x) 是定义域为 R 上的奇函数,

? f (0) ? 0,? k ? 1 ? 0,? k ? 1

(I)? f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0, 又a ? 0且a ? 1 , a

? a ? 1, f ( x) ? a x ? a? x ? f ?( x) ? a x ln a ? a? x ln a ? (a x ? a? x )ln a ? 0
? f ( x) 在 R 上为增函数
原不等式分为:

f ( x2 ? 2x) ? f (4 ? x)

? x2 ? 2x ? 4 ? x,即x2 ? 3x ? 4 ? 0

? x ? 1或x ? ?4,?不等式的解集为 x | x ? 1或x ? ?4} {
(II)? f (1) ?
2

3 1 3 ,? a ? ? 2 a 2 1 (舍去) 2

即 2a ? 3a ? 2 ? 0,? a ? 2或a ? ?

? g ( x) ? 22 x ? 2?2 x ? 4(2x ? 2? x ) ? (2x ? 2? x )2 ? 4(2x ? 2tx ) ? 2
令t 则t

? 2x ? 2? x ( x ? 1)

? h( x)在(1, ??) 为增函数(由(I)可知),即 h( x) ? h(1) ?

3 2

? f ( x) ? t 2 ? 4t ? 2 ? (t ? 2)2 ? 2
?当x=2时,g(x)min ? ?2, 此时x ? log 2 (1 ? 2) 当x=log 2(1+ 2 )时g(x)有最小值 ? 2
21.设 f (x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f (x+2)=-f (x),当 0≤x≤1 时,f (x)=x. (I)求 f (π )的值; (II)当-4≤x≤4 时,求 f (x)的图像与 x 轴围成图形的面积 【答案】(1)由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以 f(x) 是以 4 为周期的周期函数,从而得 f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4)=-f(4-π )=-(4- π )=π -4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x+2)=-f(x),得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[- (x-1)],即 f(1+x)=f(1-x),故知函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称.又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图像关于原点成中心对称,则 f(x)的图像如图所示.当-4≤x≤4 1 时,设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4S△OAB=4×? ×2×1?=4. ?2 ?

22.设函数

是定义在

上的减函数,并且满足



(1)求

,

,

的值,(2)如果 ,则 , ∴ ,∴

,求 x 的取值范围。

【答案】(1)令 令 , 则

∴ ∴

(2)∵



又由

是定义在 R 上的减函数,得:



解之得:


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