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【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-5 双曲线(人教B版) 含解析


8-5 双曲线 基础巩固强化 5 1.(2012· 深圳模拟)设椭圆 C1 的离心率为13, 焦点在 x 轴上且长轴 长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值 等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x2 y 2 A.42-32=1 x2 y 2 C.32-42=1 [答案] A [分析] 首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距,再根据双曲线 的定义,求曲线 C2 的标准方程. 5 [解析] 在椭圆 C1 中,因为 e=13,2a=26,所以椭圆的焦距 2c =10,根据题意,可知曲线 C2 为双曲线,根据双曲线的定义可知, 双曲线 C2 中的 2a=8,焦距与椭圆的焦距相同,即 2c=10,可知 b x2 y2 =3,所以双曲线的标准方程为42-32=1,故选 A. x2 y 2 2.(2012· 东北三校联考)存在两条直线 x=± m 与双曲线a2-b2= 1(a>0,b>0)相交于 A、B、C、D 四点,若四边形 ABCD 为正方形, 则双曲线的离心率的取值范围为( A.(1, 2) C.( 2,+∞) [答案] C [解析] 依题意,不妨设直线 AC 的倾斜角为锐角,则直线 AC b 的倾斜角为 45° , 该直线与双曲线有两个不同的交点, 因此有a>tan45° ) B.(1, 3) D.( 3,+∞) ) x2 y2 B.132-52=1 x2 y2 D.132-122=1

a2+b2 =1,双曲线的离心率 e= a =

b 1+?a?2> 1+12= 2,则该双

曲线的离心率的取值范围是( 2,+∞),选 C. y2 3.(2011· 青岛一检)设 F1、F2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、右
2

→ → → → 焦点,若点 P 在双曲线上,且PF1· PF2=0,则|PF1+PF2|=( A. 10 C. 5 [答案] B B.2 10 D.2 5

)

[解析] ∵F1、 F2 为双曲线的左右焦点, ∴F1(- 10, 0), F2( 10, 0),由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质 → → → 知,|PF1+PF2|=|2PO|=2 10,故选 B.

4. (文)中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4,-2),则它的离心率为( A. 6 6 C. 2 [答案] D x2 y2 [解析] 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0),所以其渐 ) B. 5 5 D. 2

b b 1 2 近线方程为 y=± x ,因为点 (4 ,- 2) 在渐近线上,所以 = ,根据 c a a 2 c2-a2 1 5 5 =a +b 可得, a2 =4,化为 e2=4,故 e= 2 ,故选 D.
2 2

x2 y2 (理)已知 F1、F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线 段 F1F2 为边作正△MF1F2, 若边 MF1 的中点在双曲线上, 则双曲线的 离心率为( ) B. 3-1 D. 3+1

A.4+2 3 C. 3+1 2

[答案] D [解析] 设线段 MF1 的中点为 P,由已知△F1PF2 为有一锐角为 60° 的直角三角形, ∴|PF1|、|PF2|的长度分别为 c 和 3c. 由双曲线的定义知:( 3-1)c=2a, ∴e= 2 = 3+1. 3-1

x2 y2 5.(文)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上.则双曲线的方程为 ( ) x2 y2 A.36-108=1 x2 y2 C.108-36=1 [答案] B b [解析] 由题易知a= 3,① x2 y2 B. 9 -27=1 x2 y2 D.27- 9 =1

且双曲线焦点为(6,0)、(-6,0), 则有 a2+b2=36,② 由①②知:a=3,b=3 3, x2 y2 ∴双曲线方程为 9 -27=1,故选 B. x2 y2 (理)(2011· 天津文,6)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左顶点与 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛 物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( A.2 3 C.4 3 [答案] B p [解析] 由交点(-2,-1)得-2=-2,∴p=4, ∴抛物线方程为 y2=8x,∴F(2,0), p 又 a+2=a+2=4,∴a=2, b 双曲线的一条渐近线为 y=ax,且过点(-2,-1), ∴a-2b=0,∴b=1, ∴c2=a2+b2=5,∴c= 5,2c=2 5.故选 B. x2 y2 6.如图,F1、F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点, A1、A2 是双曲线的两个顶点,P 是双曲线上不同于 A1、A2 的点,则分 别以 A1A2、F1P 为直径的两个圆( ) B.2 5 D.4 5 )

A.相交 C.相离 [答案] B

B.相切 D.以上均有可能

[解析] 取 PF1 的中点 M,连接 OM、PF2, 1 1 ∴|PF1|-|PF2|=± 2a,2|PF1|-2|PF2|=± a, 1 即2|PF1|-|OM|=± a, 1 ∴|OM|=2|PF1|± a=R± a,∴两圆相切. x2 y2 7.(文)设双曲线 9 -16=1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B, 则△AFB 的面积 为________. 32 [答案] 15

4 [解析] 如图,双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,F(5,0), 4 ∴直线 BF:y=3(x-5), x y ? ? 9 -16=1, 解? 4 ? y = ? 3?x-5?.
2 2

32 得 y=-15,

1 32 32 又|AF|=5-3=2,∴S△AFB=2×2×15=15. x2 y2 (理)若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P 为双 曲线上一点,且 |PF1| = 3|PF2| ,则该双曲线离心率的取值范围是 ________. [答案] 1<e≤2
?|PF1|-|PF2|=2a, ? [解析] 由题意? ?|PF1|=3|PF2|. ?

?|PF1|=3a, ? ∴? ? ?|PF2|=a.

∵|PF1|≥|AF1|,∴3a≥a+c, c ∴e=a≤2,∴1<e≤2.

y2 8. (2011· 浙江杭州月考)双曲线 x -b2=1 的右焦点到双曲线一条
2

渐近线的距离为 2,则双曲线的离心率为________. [答案] 5
2

y2 [解析] 双曲线 x -b2=1 的右焦点 F(c,0)到渐近线 bx+y=0 的 距离: |bc| =b=2,又 a=1. b2+1

∴c2=a2+b2=5,c= 5. c ∴双曲线的离心率 e=a= 5. x2 y2 9.(文)(2012· 宝鸡一检)若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率是 b2+1 2,则 3a 的最小值为________. [答案] 2 3 3

c [解析] 由离心率 e=2 得,a=2,从而 b= 3a>0, b2+1 3a2+1 1 所以 3a = 3a =a+3a ≥2 1 a· 3a=2 1 2 3 1 = ,当且仅当 a = 3 3 3a,

3 即 a= 3 时“=”成立. y2 (理)P 为双曲线 x -15=1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2
2

+y2=4 和(x-4)2+y2=1 上的点, 则|PM|-|PN|的最大值为________. [答案] 5 [解析] 双曲线的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆

心,半径分别为 r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1, 故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5. 10.(文)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离 心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线的方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1· MF2=0; (3)在(2)的条件下,求△F1MF2 的面积. [解析] (1)∵e= 2, ∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0), ∵双曲线过点(4,- 10), ∴16-10=λ,即 λ=6, x2 y2 ∴双曲线方程为 6 - 6 =1. (2)证明:法 1:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= m m ,k MF2= , 3+2 3 3-2 3

m2 m2 k MF1· k MF2= = , 9-12 -3 ∵点 M(3,m)在双曲线上,∴m2=3, ∴k MF1· k MF2=-1,∴MF1⊥MF2, → → 即MF1· MF2=0. → 法 2:∵MF1=(-2 3-3,-m),

→ MF2=(2 3-3,-m), → → ∴MF1· MF2=(-2 3-3)×(2 3-3)+m2=-3+m2, ∵点 M 在双曲线上, → → ∴9-m =6,即 m -3=0,∴MF1· MF2=0.
2 2

(3)∵△F1MF2 的底边长|F1F2|=4 3,△F1MF2 的高 h=|m|= 3, ∴S△F1MF2=6. (理)(2013· 陕西师大附中上学期一模)已知△ABC 的边 AB 所在直 → → 线的方程为 x-3y-6=0,M(2,0)满足BM=MC,点 T(-1,1)在边 AC → → 所在直线上,且AT· AB=0.

(1)求△ABC 外接圆的方程; (2)一动圆过点 N(-2,0), 且与△ABC 的外接圆外切, 求此动圆圆 心的轨迹 Γ 的方程; (3)过点 A 斜率为 k 的直线与曲线 Γ 交于相异的 P、 Q 两点, 满足 → → OP· OQ>6,求 k 的取值范围. → → [解析] (1)∵AT· AB=0,∴AT⊥AB,从而直线 AC 的斜率为-3.

所以 AC 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1). 即 3x+y+2=0.
? ?x-3y-6=0, 由? 得点 A 的坐标为(0,-2), ?3x+y+2=0. ?

→ → ∵BM=MC, ∴M(2,0)为 Rt△ABC 外接圆的圆心, 又 r=|AM|= ?2-0?2+?0+2?2=2 2. 所以△ABC 外接圆的方程为:(x-2)2+y2=8. (2)设动圆圆心为 P,因为动圆过点 N,且与△ABC 外接圆 M 外 切, 所以|PM|-|PN|=2 2. 故点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,实轴长为 2 2,半焦距 c=2 的双曲线的左支. x2 y2 从而动圆圆心的轨迹 Γ 方程为 2 - 2 =1(x<0). (3)直线 PQ 方程为 y=kx-2,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
?x2-y2=2?x<0?, ? 由? 得:(1-k2)x2+4kx-6=0(x<0). ? ?y=kx-2.

?Δ=16k +24?1-k ?>0, ? k <0, ?x +x =k 4 -1 ∴? 6 xx= ? k -1>0, ?→ → 2k +2 OP· OQ=x x +y y = >6. ? k -1
2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2

1-k2≠0,

解得:- 2<k<-1. 故 k 的取值范围为(- 2,-1). 能力拓展提升 11.(文)中心在原点, 对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与 圆(x-2)2+y2=1 都相切,则双曲线 C 的离心率是( 2 3 A. 3 或 2 6 C. 3或 2 [答案] A c2-a2 1 b 1 [解析] 焦点在 x 轴上时,由条件知a= ,∴ a2 =3,∴e= 3 c 2 3 b = ,同理,焦点在 y 轴上时, a 3 a= 3,此时 e=2. x2 2 (理)若原点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线a2-y =1(a>0)的中心和 → → 左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为 ( ) A.[3-2 3,+∞) 7 C.[-4,+∞) [答案] B [解析] ∵a2+1=22=4,∴a2=3, x2 2 ∴双曲线方程为 3 -y =1. → → 设 P 点坐标为(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+2,y), B.[3+2 3,+∞) 7 D.[4,+∞) B.2 或 3 2 3 6 D. 3 或 2 )

→ → x2 ∵y = 3 -1,∴OP· FP=x2+2x+y2
2

x2 4 4 3 7 =x +2x+ 3 -1=3x2+2x-1=3(x+4)2-4.
2

又∵x≥ 3(右支上任意一点), → → ∴OP· FP≥3+2 3.故选 B. x2 y 2 12 .( 文)(2011· 山东临沂一模 ) 设 F1 、 F2 分别是双曲线 a2-b2= 1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P 满足|PF2|= 4 |F1F2|,且 cos∠PF1F2=5,则双曲线的渐近线方程为( A.3x± 4y=0 C.4x± 3y=0 [答案] C [解析] 在△PF1F2 中,由余弦定理得, |PF1|2+|F1F2|2-|PF2|2 cos∠PF1F2= 2|PF1|· |F1F2| |PF1|2 |PF1| 4 =4c· |PF1|= 4c =5. 16 所以|PF1|= 5 c. 16 5 又|PF1|-|PF2|=2a,即 5 c-2c=2a,所以 c=3a. b 4 代入 c2=a2+b2 得a=± 3. 因此,双曲线的渐近线方程为 4x± 3y=0.
? m ? ?m ? (理)△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?- 2 ,0?,C? 2 ,0?(其 ? ? ? ?

)

B.3x± 5y=0 D.5x± 4y=0

1 中 m>0,且 m 为常数),且满足条件 sinC-sinB=2sinA,则动点 A 的 轨迹方程为( ) x2 y2 B.16-16=1 3 16x2 16y2 D. m2 - 3m2 =1

16y2 16x2 A. m2 - 3m2 =1 16x2 16y2 m C. m2 - 3m2 =1(x> 4 ) [答案] C

1 m [解析] 依据正弦定理得:|AB|-|AC|=2|BC|= 2 <|BC| m ∴点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支,且 a= 4 ,c= m 3m2 2 2 2 2 ,∴b =c -a = 16 16x2 16y2 m ∴双曲线方程为 m2 - 3m2 =1(x> 4 ) x2 y2 13.点 A(x0,y0)在双曲线 4 -32=1 的右支上,若点 A 到右焦点 的距离等于 2x0,则 x0=__________. [答案] 2 [解析] 右焦点 F(6,0),A 点在双曲线上,

14.(文)(2012· 辽宁文,15)已知双曲线 x2-y2=1,点 F1、F2 为其 两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值 为________. [答案] 2 3 [解析] 本题考查了双曲线的概念. 设|PF1|=m,|PF2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n| =2a=2,m2+n2=4c2=8, ∴2mn=4, ∴(|PF1|+|PF2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=12, ∴|PF1|+|PF2|=2 3. [点评] 充分利用 PF1⊥PF2, 将||PF1|-|PF2||=2a,转化到|PF1|+ |PF2|是解决本题的关键,也可以设|PF2|=x,利用定义及 PF1⊥PF2 建 立 x 的方程求解. 5 x2 y2 (理)已知两个正数 a、b 的等差中项为2,椭圆a2+b2=1(a>b)的离 5 x2 y2 心率为 3 ,则双曲线a2-b2=1 的离心率为________.

[答案]

13 3

[解析]

?a+b=5, 由条件知? c 5 e = = ? a 3,

5 ∵a2-b2=c2=9a2,∴2a=3b,∴b=2,a=3. 32+22 13 ∴双曲线的离心率 e= 3 = 3 . x2 2 15.设双曲线 C:a2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个 不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,若PA=12PB,求 a 的值. x2 2 [解析] (1)将 y=-x+1 代入双曲线a2-y =1 中得(1-a2)x2+ 2a2x-2a2=0,①
2 ? ?1-a ≠0, 由题设条件知,? 4 2 2 ? ?4a +8a ?1-a ?>0.

解得 0<a< 2且 a≠1, 1+a2 又双曲线的离心率 e= a = 1 a2+1,

6 ∵0<a< 2且 a≠1,∴e> 2 且 e≠ 2. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). → 5→ 5 ∵PA=12PB,∴(x1,y1-1)=12(x2,y2-1).

5 ∴x1=12x2, ∵x1、x2 是方程①的两根,且 1-a2≠0, 17 2a2 5 2 2a2 ∴12x2=- , x =- , 1-a2 12 2 1-a2 2a2 289 17 消去 x2 得,- ,∵ a >0 ,∴ a = 2= 60 13. 1-a 16.(文)(2012· 湖南师大附中第七次月考)已知双曲线的中心在原 点,焦点在 x 轴上,其渐近线与圆 x2+y2-10x+20=0 相切.过点 7 P(-4,0)作斜率为 4 的直线 l,交双曲线左支于 A、B 两点,交 y 轴于 点 C,且满足|PA|· |PB|=|PC|2. (1)求双曲线的标准方程; 1 (2)设点 M 为双曲线上一动点, 点 N 为圆 x2+(y-2)2=4上一动点, 求|MN|的取值范围. [解析] (1)设双曲线的渐近线方程为 y=kx, 因为渐近线与圆(x-5)2+y2=5 相切, 则 |5k| 1 = 5 ,即 k = ± 2, k2+1

1 所以双曲线的渐近线方程为 y=± 2x. 7 设双曲线方程为 x2-4y2=m,将 y= 4 (x+4)代入双曲线方程中 整理得,3x2+56x+112+4m=0. 112+4m 56 所以 xA+xB=- 3 ,xAxB= . 3 因为|PA|· |PB|=|PC|2,点 P、A、B、C 共线,且点 P 在线段 AB 上,则(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16.

所以 4(xA+xB)+xAxB+32=0. 56 112+4m 于是 4· (- 3 )+ +32=0,解得 m=4. 3 x2 2 故双曲线方程是 x -4y =4,即 4 -y =1.
2 2

1 (2)设点 M(x,y),圆 x2+(y-2)2=4的圆心为 D,则 x2-4y2=4, 点 D(0,2). 所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2 2 36 36 =5y2-4y+8=5(y-5)2+ 5 ≥ 5 . 6 5 所以|MD|≥ 5 , 1 12 5-5 从而|MN|≥|MD|-2≥ 10 . 12 5-5 故|MN|的取值范围是[ 10 ,+∞). x2 y2 (理)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)相 交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3). (1)求 C 的离心率; (2)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|· |BF|=17,证明:过 A、 B、D 三点的圆与 x 轴相切. [解析] (1)由题意知,l 的方程为:y=x+2, 代入 C 的方程并化简得, (b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0. 设 B(x1,y1),D(x2,y2), 4a2+a2b2 4a2 则 x1+x2= 2 2,x1· x2=- 2 2 ,① b -a b -a

x1+x2 1 4a2 由 M(1,3)为 BD 的中点知 2 =1,故2× 2 2=1, b -a 即 b2=3a2,② c 故 c= a2+b2=2a,∴C 的离心率 e=a=2. (2)由②知,C 的方程为 3x2-y2=3a2, 4+3a2 A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1· x2=- 2 <0, 故不妨设 x1≤-a,x2≥a,
2 2 2 |BF|= ?x1-2a?2+y2 1= ?x1-2a? +3x1-3a =a-2x1, 2 2 2 |FD|= ?x2-2a?2+y2 2= ?x2-2a? +3x2-3a =2x2-a,

|BF|· |FD|=(a-2x1)(2x2-a) =-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8. 又|BF|· |FD|=17,故 5a2+4a+8=17, 9 解得 a=1,或 a=-5. 故|BD|= 2|x1-x2|= 2 ?x1+x2?2-4x1· x2=6. 连接 MA,则由 A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 从而 MA=MB=MD,∠DAB=90° , 因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切,所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. x2 y2 1.(2011· 广东揭阳市模拟)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的离 心率为 2,一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的渐近 线方程为( ) 3 B.y=± 2 x

3 A.y=± 2x

3 C.y=± 3 x [答案] D

D.y=± 3x

c [解析] 依题意得双曲线的半焦距 c=4,由 e=a=2?a=2,∴b = c2-a2=2 3, ∵双曲线的焦点在 x 轴上, ∴双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.故选 D. 2.若双曲线过点(m,n)(m>n>0),且渐近线方程为 y=± x,则双 曲线的焦点( )

A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.在 x 轴或 y 轴上 D.无法判断是否在坐标轴上 [答案] A [解析] 由双曲线的渐近线方程为 y=± x,可设双曲线的方程为: x2-y2=λ,将(m,n)代入 x2-y2=λ 得:m2-n2=λ>0,从而该双曲线 的焦点在 x 轴上. 3.(2012· 浙江文,8)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公 共焦点,M、N 是双曲线的两顶点,若 M、O、N 将椭圆长轴四等分, 则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A.3 C. 3 [答案] B

B.2 D. 2

[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率 e 的求法.设椭圆长 2a a 轴长为 2a,则双曲线实半轴长为 4 =2, 因为椭圆与双曲线有公共焦点, c a e1 2 所以离心率的比值e = c=2. 2 a 4.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直 线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的 方程为( ) x2 y2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 5 - 4 =1

x2 y 2 A. 3 - 6 =1 x2 y 2 C. 6 - 3 =1 [答案] B

x2 y2 [解析] 设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0, b>0), 由题意知 c=3,

x1 y1 ? ? a2-b2=1, 2 2 a +b =9,设 A(x1,y1),B(x2,y2)则有:? 2 2 x2 y2 ? ?a2-b2=1.

2

2

两式作差得:

y1-y2 b2?x1+x2? 4b2 -15-0 5 = 2 =5a2,又 AB 的斜率是 =1,所以 b2=4a2, x1-x2 a ?y1+y2? -12-3 x2 y2 代入 a +b =9 得,a =4,b =5,所以双曲线标准方程是 4 - 5 =1,
2 2 2 2

故选 B. 5.如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,当动点 M 在底面 ABCD 内运动时,总有:D1A=D1M,则动点 M 在面 ABCD 内的轨迹是( ) 上的一段弧.( )

A.圆 C.双曲线 [答案] A

B.椭圆 D.抛物线

[解析] 因为满足条件的动点在底面 ABCD 内运动时,动点的轨 迹是以 D1D 为轴线,以 D1A 为母线的圆锥,与平面 ABCD 的交线即 圆的一部分.故选 A. x2 y2 6. (2012· 河南郑口中学模拟)已知 F 为双曲线a2-b2=1(a>0, b>0) 的右焦点,点 P 为双曲线右支上任意一点,则以线段 PF 为直径的圆 与圆 x2+y2=a2 的位置关系是( )

A.相离 C.相交 [答案] B

B.相切 D.不确定

[解析] 设双曲线左焦点为 F1,PF 的中点为 C,则由双曲线的 定义知,|PF1|-|PF|=2a,∵C、O 分别为 PF、F1F 的中点,∴|PF1| =2|CO|,|PF|=2|PC|, ∴|CO|-|PC|=a,即|PC|+a=|CO|,∴两圆外切.

x2 y2 x2 2 7.设 F1、F2 为曲线 C1: 6 + 2 =1 的焦点,P 是曲线 C2: 3 -y =1 与 C1 的一个交点,则△PF1F2 的面积为( 1 A.4 C. 2 [答案] C [解析] x y ? ? 6 + 2 =1, ? x2 2 ? - y ? 3 =1.
2 2

)

B.1 D.2 2

∵ P 是 曲 线 C1 与 C2 的 交 点 , ∴ 联 立 方 程 组 2 解之得,|y|= 2 ,由条件知|F1F2|=4,

1 1 2 ∴S△PF1F2=2· |F1F2|· |y|=2×4× 2 = 2.故选 C.

x2 y2 8. 已知 P 是双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)右支上的一点, F1(-c,0)、 F2(c,0) 分别是其左、右焦点,则△ PF1F2 的内切圆圆心的横坐标为 ________. [答案] a [解析] 令内切圆与 F1F2 的切点为 G,与 PF1 的切点为 H,与 PF2 的切点为 K,则(|PH|+|HF1|)-(|PK|+|KF2|)=|F1G|-|GF2|=2a, 又|F1G|+|GF2|=2c,则|F1G|=a+c,∴切点为右顶点,易知圆心 的横坐标为 a.


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