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高中数学北师大版必修三学业分层测评:第3章 3 模拟方法——概率的应用 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.灰太狼和红太狼计划在某日 12:00~18:00 这个时间段内外出捉羊,则 灰太狼和红太狼在 14:00~15:00 之间出发的概率为( 1 A.2 1 C.4 【解析】 【答案】 P= D 15-14 1 = . 18-12 6 1 B.3 1 D.6 )

?1 ? ?1 ? 2. 已知函数 f(x)=log2x, x∈?2,2?, 在区间?2,2?上任取一点 x0, 则使 f(x0)≥0 ? ? ? ? 的概率为( A.1 2 C.3 【解析】 ) B. 1 2

3 D.4 ?1 ? 欲使 f(x)=log2x≥0,则 x≥1,而 x∈?2,2?,∴x0∈[1,2], ? ? 2-1 2 1=3. 2-2

由几何概型概率公式知 P=

【答案】

C

3.(2014· 辽宁高考)若将一个质点随机投入如图 333 所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

图 333

π A.2 π C.6 【解析】

π B.4 π D.8 由题意 AB=2,BC=1,可知长方形 ABCD 的面积 S=2×1=2,

1 π 以 AB 为直径的半圆的面积 S1=2×π×12=2.故质点落在以 AB 为直径的半圆内 π 2 π 的概率 P=2=4. 【答案】 B

4.A 是圆上的一定点,在圆上其他位置任取一点 B,连接 A、B 两点,它是 一条弦,则它的长度大于等于半径长度的概率为( 1 A.2 3 C. 2 2 B.3 1 D.4 )

【解析】 如图,当取点落在 B、C 两点时,弦长等于半径;当 取点落在劣弧 上时,弦长小于半径;当取点落在优弧 上时,

360° -120° 2 弦长大于半径,所以弦长超过半径的概率 P= 360° =3. 【答案】 B

5.在区间[0,1]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是 ( π A.4 π C.20 π B.10 π D.40 )

【解析】 设在[0,1]内取出的数为 a,b,若 a2+b2 也在[0,1]内, 则有 0≤a2+b2≤1.如图,试验的全部结果所构成的区域为边长为 1 1 的正方形, 满足 a2+b2 在[0,1]内的点在4单位圆内(如阴影部分所示), 1 4π π 故所求概率为 1 =4.

【答案】 二、填空题

A

6.函数 f(x)=x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0∈[-5,5],使 f(x0)≤0 的概 率是________. 【解析】 由 f(x0)≤0 得 x0-2≤0,x0≤2,又 x0∈[-5,5],∴x0∈[-5,2].

设使 f(x0)≤0 为事件 A,则事件 A 构成的区域长度是 2-(-5)=7,全部结 7 果构成的区域长度是 5-(-5)=10,则 P(A)=10. 【答案】 7 10

7. 圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________. 【解析】 落在劣弧 或劣弧 如图所示,从点 A 出发的弦中,当弦的另一个端点

上的时候, 满足已知条件, 当弦的另一个端点在劣弧 上的时候不能满足已知条件,又因为△ABC 是正三角形,

1 所以弦长大于正三角形边长的概率是3. 【答案】 1 3

8.(2016· 邵阳高一检测)在[-6,9]内任取一个实数 m,设 f(x)=-x2+mx+m 5 -4,则函数 f(x)的图像与 x 轴有公共点的概率等于________. 5 【解析】 若函数 f(x)=-x2+mx+m-4的图象与 x 轴有公共点,则 Δ=m2 5? ? +4?m-4?≥0,又 m∈[-6,9], ? ? 得 m∈[-6,-5]或 m∈[1,9], 故所求的概率为 P= [?-5?-?-6?]+?9-1? 3 =5. 9-?-6? 3 5

【答案】 三、解答题

9.如图 334 所示,在边长为 25 cm 的正方形中有两个腰长均为 23 cm 的 等腰直角三角形, 现有粒子均匀散落在正方形中,粒子落在中间阴影区域的概率

是多少?

图 334 【解】 因为粒子落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的 条件.设 A= { 粒子落在中间阴影区域 } ,则依题意得正方形面积为 25×25= 1 625(cm2),两个等腰直角三角形的面积为 2×2×23×23=529(cm2),阴影区域的 96 面积为 625-529=96(cm2),所以粒子落在中间阴影区域的概率为 P(A)=625. 10.已知向量 a=(1,2),b=(x,-y). 【导学号:63580042】 (1) 若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 ( 六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、 第二次出现的点数, 求满足 a· b=-1 的概率; (2)若 x,y∈[1,6],求满足 a· b>0 的概率. 【解】 (1)设(x,y)表示一个基本事件,

则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),?,(6,5),(6,6),共 36 个. 用 A 表示事件“a· b=-1”,即 x-2y=-1,则 A 包含的基本事件有(1,1), (3,2),(5,3),共 3 个. 3 1 ∴P(A)=36=12. (2)用 B 表示事件“a· b>0”,即 x-2y>0. 试验的全部结果所构成的区域为 {(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}, 构成事件 B 的区域为{(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,x-2y>0},如图所示. 1 2×4×2 4 所以所求的概率为 P(B)= =25. 5×5

[能力提升] 1.如图 335,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两 个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

图 335 2 A.1-π 2 C.π 【解析】 1 1 B.2-π 1 D.π π×22 设扇形的半径为 2,则其面积为 4 =π,记由两段小圆弧围成

?π 1? π 的阴影面积为 S1, 另外三段圆弧围成的阴影面积为 S2, 则 S1=2×?4-2?=2-1, ? ? π π π π ?π ? S2=4×22-2×2×12+2-1=2-1,故阴影部分总面积为 2×?2-1?=π-2,因 ? ? π-2 2 此任取一点,此点取自阴影部分的概率为 π =1-π. 【答案】 A

2.在一球内有一棱长为 1 的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在 正方体内部的概率为( 6 A. π 3 C. π 【解析】 ) 3 B. 2π 2 3 D. 3π 由题意可知棱长为 1 的内接正方体的体积为 V1=1.

3 又球的直径是正方体的体对角线,故球的半径 R= 2 , 4 3π 球的体积 V2=3πR3= 2 . 则此点落在正方体内部的概率为 V1 1 2 3 V2= 3π= 3π . 2 【答案】 D

3.如图 336,是一残缺的轻质圆形转盘,其中残缺的每小部分与完整的每 小部分的角度比是 3∶2,面积比是 3∶4.某商家用其来与顾客进行互动游戏,中 间自由转动的指针若指向残缺部分,商家赢;指针若指向完整部分,顾客赢.则 顾客赢的概率为________.

图 336 【解析】 指针在转盘上转动, 只与所转过的角度有关系, 且指针自由转动, 指向哪一部分是随机的,因此该问题属于角度型几何概型. 3 因其角度比为 3∶2, 故商家赢的概率为 360° =5, 顾客赢的概率为 360° 2 =5. 【答案】 2 5 3 360° ×5 2 360° ×5

4.已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个 数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

?x+y-8≤0, (2)设点(a,b)是区域?x>0, ?y>0
+∞)上是增函数的概率.

内的一点,求函数 y=f(x)在区间[1,

2b 【解】 (1)因为函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为直线 x= a ,要使 2b f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1, +∞)上为增函数, 当且仅当 a>0 且 a ≤1, 即 2b≤a. 若 a=1,则 b=-1; 若 a=2,则 b=-1 或 1; 若 a=3,则 b=-1 或 1. 所以事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5.又∵a,b 所取的所有可能结果 5 1 为 3×5=15,所以所求事件的概率为15=3. (2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+ ∞)上为增函数, 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为{(a,b)|a+b-8≤0,且 a>0,b a+b-8=0, ? ? >0}, 构成所求事件的区域为可行域中对应的三角形部分. 由? a b= ? ? 2 ?16 8? 交点坐标为? 3 ,3?, ? ? 1 8 × 8 × 2 3 1 所以所求事件的概率为 P=1 =3. 2×8×8




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