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天津南开中学高二第一学期数学周练5及答案


天津南开中学周练

天津南开中学高二第一学期数学周练 5
一、选择题: (每题 5 分) 1、 a, b 是异面直线,点 P ? a ? b ,下列命题: (1)过 P 可作平面与 a, b 均平行; (2) 过 P 可作直线与 a, b 都相交; (3)过 P 可作平面与 a, b 都垂直; (4)过 P 可作直线 a, b 都 垂直,其中真命题的个数是( ) A、1 B、2 C、3

D、4

2、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是棱 AD, AA1 的中点,则 D1 E 和 B1 F 所成的 角的余弦值为( A、 )

1 2

B、

3 5

C、

2 5

D、

10 10
?

3、已知长方体的对角线长为 4,过同一顶点的两条棱与此对角线成角均为 60 ,则长方 体的体积是( A、 16 3 ) B、 8 3 C、 8 2 D、 4 3

4、已知 a, b, c, d 是四条不重合的直线,其中 c 为 a 在平面 ? 上的射影, d 为 b 在平面 ? 上的射影,则( ) A、 c // d ? a // b B、 a ? b ? c ? d C、 a // b ? c // d D、 c ? d ? a ? b 5、P 是正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 CC1 上一点(侧棱端点除外) ,则∠APB 的大小满 足( ) A、 0? ? ?APB ? 60? C、 60? ? ?APB ? 90? B、 ?APB ? 60? D、以上都有可能

6、如图在正三棱锥A-BCD中,E、F分别是AB、BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则正三棱 锥 A-BCD 的 体 积 是 ( )

A.

2 12

B.

2 24

C.

3 12

D.

3 24

(正三棱锥:底面是正三角形,侧棱长都相等的三棱锥,侧 棱长不一定等于底面边长)
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7、在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的 中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( A、 30
?

) D、 90
?

B、 45

?

C、 60

?

*8、某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线 段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( ) A、 2 2 B、 2 3 C、 4 D、 2 5

二、填空题: (每题 5 分) 9、四边形 ABCD 是矩形,AB=2,BC=1,PC ? 平面 AC,PC=2,则点 P 到直线 BD 的 距离为___________ *10、已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC= a , PA ? 平面 ABCD,若在 BC 上有且仅有一个 点 Q 满足 PQ ? QD ,则 a 的值为________ 11、已知 ? ABC 的顶点 B 在平面 ? 内,A、C 在 ? 的同侧,AB,BC 与 ? 所成的角分别 是 30 和 45 ,若 AB=3,BC= 4 2 ,AC=5,则 AC 与 ? 所成角的余弦值为________
? ?

12、给出下面四个命题: ①过平面外一点,作与该平面成 ? 角的直线一定有无穷多条 ②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题序号为 .

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三、解答题: (每题 10 分) 13、 如图, 三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 底面 ABC , PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正 弦
? ?

14 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD是 矩 形 , PA ? 平 面 ABCD, PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M . (1)求证: PD ⊥平面 ABM ; P (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角的正切;
M

A

D

O B C

*15、在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB1 ? BC1 ,求 BC1 与 平面 ABB1 A1 所成角的正弦值 (正三棱柱:上下底面为正三角形的直棱柱,底面边长不一定 等于侧棱长)

A1 B1

C1

A
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C B

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天津南开中学高二第一学期数学周练 5 答案
一、 ACCC 二、 9、 选择题 ABCC 填空题 10、2 11、

2 30 5

3 2

12、②④

三、解答题: 13、 (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 又 ?BCA ? 90 ,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC, ∴ DE ?
?

1 BC , 2

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?
?

1 AB , 2

∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60 ,∴ BC ? ∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ?

1 AB . 2

DE BC 2 ? ? AD 2 AD 4

14、 (1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, AD ? PA ? A 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD, AB ? BM ? B ,因此有PD⊥平面ABM (2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,

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则AB∥MN∥CD, 由(1)知,PD⊥平面ABM,则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影, 所以

?P N M就是 PC 与平面 ABM 所成的角,
PD ?2 2 DC

且 ?PNM ? ?PCD ,

tan ?PNM ? tan ?PCD ?

15、取 A1 B1 中点 D,设 A1 B1 = 2a ,连接 C1 D, BD

? C1 D ? 3a ,设 B1 B ? x

? 正三棱柱 ? C1 D ? BB1 ,? C1 D ? A1 B1 ? C1 D ? 面ABB1 ,? AB1 ? C1 D ? AB1 ? BD, AB1 ? BD ? M

? B1M ?

ax a ? x2
2

?? ABM ?? B1DM

ax ?
2 2 B1M 1 ? ? a ? x ? x ? 2a B1 A 3 4a 2 ? x 2

? ?C1 BD 为所求角,? sin ?C1 BD ?

2 2

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