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高中数学 1.1.1 正弦定理 教案


高中数学 1.1.1 正弦定理 教案
教学分析 本节内容是正弦定理教学的第一节课,其主要任务是引入并证明正弦定 理. 做好正弦定理的教学, 不仅能复习巩固旧知识, 使学生掌握新的有用的知识, 体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及 提出问题、解决问题等研究性学习的能力. 在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系,本节 内容是处理三角形中的边角关系, 与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着 密切的联系;这里的一个重要问题是:是否能得到这个边、角关系准确量化的表 示. 也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问 题.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对过去的知识有了 新的认识, 同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上, 形成良好的知识结构. 在 学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法, 逐 步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力. 本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算, 这是一种基 本运算能力,学生基本上已经掌握了.若在解题中出现了错误,则应及时纠正, 若没出现问题就顺其自然,不必花费过多的时间. 本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理. 三维目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证 明方法,会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 2.通过正弦定理的探究学习,培养学生探索数学规律的思维能力,培养学 生用数学的方法去解决实际问题的能力.通过学生的积极参与和亲身实践,并成 功解决实际问题, 激发学生对数学学习的热情,培养学生独立思考和勇于探索的 创新精神. 重点难点 教学重点:正弦定理的证明及其基本运用. 教学难点: 正弦定理的探索和证明; 已知两边和其中一边的对角解三角形时, 判断解的个数.

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课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦 定理形式, 如 Rt△ABC 中的边角关系, 若∠C 为直角, 则有 a=csinA, b=csinB, 这两个等式间存在关系吗?学生可以得到 a b = ,进一步提问,等式能否与 sinA sinB

边 c 和∠C 建立联系?从而展开正弦定理的探究.

思路 2.(情境导入)如图,某农场为了及时发现火情,在林场中设立了两个 观测点 A 和 B,某日两个观测点的林场人员分别测到 C 处有火情发生.在 A 处测 到火情在北偏西 40°方向,而在 B 处测到火情在北偏西 60°方向,已知 B 在 A 的正东方向 10 千米处. 现在要确定火场 C 距 A、 B 多远?将此问题转化为数学问 题,即“在△ABC 中,已知∠CAB=130°,∠CBA=30°,AB=10 千米,求 AC 与 BC 的长.”这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习一些解三角形的 必要知识, 今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理,由此展开 新课的探究学习. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?阅读本章引言,明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题? ?2?联想学习过的三角函数中的边角关系,能否得到直角三角形中角与它 所对的边之间在数量上有什么关系? ?3?由?2?得到的数量关系式,对一般三角形是否仍然成立? ?4?正弦定理的内容是什么,你能用文字语言叙述它吗?你能用哪些方法
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证明它? ?5?什么叫做解三角形? ?6?利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢? 活动: 教师引导学生阅读本章引言,点出本章数学知识的某些重要的实际背 景及其实际需要, 使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性.如教师可提出 以下问题: 怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测出海上航行的 轮船的航速和航向?怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行 的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?这些实际问题的解决需要我们进一步 学习任意三角形中边与角关系的有关知识. 让学生明确本章将要学习正弦定理和 余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题. 关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系,教师引导学生探究 其数量关系.先观察特殊的直角三角形.如下图,在 Rt△ABC 中,设 BC=a,AC a b =b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 =sinA, =sinB,又 c c c a b c a b c sinC=1= ,则 = = =c.从而在 Rt△ABC 中, = = . c sinA sinB sinC sinA sinB sinC

那么对于任意的三角形, 以上关系式是否仍然成立呢?教师引导学生画图讨 论分析. 如下图,当△ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角的三 角函数的定义,有 CD=asinB=bsinA,则 a b c 从而 = = . sinA sinB sinC a b c b = .同理,可得 = . sinA sinB sinC sinB

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(当△ABC 是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成) 通过上面的讨论和探究,我们知道在任意三角形中,上述等式都成立.教师 点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理. 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c = = sinA sinB sinC 上述的探究过程就是正弦定理的证明方法,即分直角三角形、锐角三角形、 钝角三角形三种情况进行证明. 教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证 明思想,同时点拨学生观察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中,各边与其 对应角的正弦之间的一个关系式. 正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意 三角形中边与角的一种数量关系; 描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的 数量关系.因为如果∠A<∠B,由三角形性质,得 a<b.当∠A、∠B 都是锐角, π 由正弦函数在区间(0, )上的单调性,可知 sinA<sinB.当∠A 是锐角,∠B 是 2 钝角时,由于∠A+∠B<π ,因此∠B<π -∠A,由正弦函数在区间( 上的单调性,可知 sinB>sin(π -A)=sinA,所以仍有 sinA<sinB. 正弦定理的证明方法很多, 除了上述的证明方法以外,教师鼓励学生课下进 一步探究正弦定理的其他证明方法. 讨论结果: (1)~(4)略. (5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、 c 叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形. (6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题:①已知三角形的任意两个角与 一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一角,并由正弦定理计算出 π ,π ) 2

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三角形的另两边,即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.②已知三角形 的任意两边与其中一边的对角, 可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这 个角和三角形其他的边和角, 即“两边一对角问题”.这类问题的答案有时不是 唯一的,需根据实际情况分类讨论. 应用示例 例 1 在△ABC 中,已知∠A=32.0°,∠B=81.8°,a=42.9 cm,解此三角 形. 活动:解三角形就是已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程,在 本例中就是求解∠C,b,c. 此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边 b,若求边 c,则先求∠C,再利用正弦定理即可. 解:根据三角形内角和定理,得 ∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°. 根据正弦定理,得 b= asinB 42.9sin81.8° = ≈80.1(cm); sinA sin32.0° asinC 42.9sin66.2° = ≈74.1(cm). sinA sin32.0°

c=

点评:(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角及两角所 夹的边,也是先利用三角形内角和定理 180°求出第三个角,再利用正弦定理. (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器. 变式训练 在△ABC 中(结果保留两个有效数字), (1)已知 c= 3,A=45°,B=60°,求 b; (2)已知 b=12,A=30°,B=120°,求 a. 解:(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°, b c = , sinB sinC

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∴b=

csinB 3sin60° = ≈1.6. sinC sin75° a b = , sinA sinB bsinA 12sin30° = ≈6.9. sinB sin120°

(2)∵

∴a=

例 2 已知△ABC, 根据下列条件,求相应的三角形中其他边和角的大小(保留 根号或精确到 0.1): (1)∠A=60°,∠B=45°,a=10; (2)a=3,b=4,∠A=30°; (3)b=3 6,c=6,∠B=120°. 活动:教师可引导学生先画图,加强直观感知,明确解的实际情况,这样在 求解之后,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的 明确,思路清晰流畅,同时体会分析问题的重要性,养成解题前自觉判定解题策 略的良好习惯,而不是盲目乱试,靠运气解题. 解:(1)因为∠C=180°-60°-45°=75°,所以由正弦定理,得 b= 所示). asinB 10sin45° 10 6 asinC 10sin75° = = ≈8.2,c= = ≈11.2(如图 1 sinA sin60° 3 sinA sin60°

图1 (2)由正弦定理,得 sinB= bsinA 4sin30° 2 = = , a 3 3

因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如图 2 所示).

6

图2 当∠B≈41.8°时, ∠C≈180°-30°-41.8°=108.2°,c= 当∠B≈138.2°时, ∠C≈180°-30°-138.2°=11.8°, c= asinC 3sin11.8° = ≈1.2(如图 2 所示). sinA sin30° asinC 3sin108.2° = ≈5.7; sinA sin30°

(3)由正弦定理,得 6× 3 2

sinC=

csinB 6sin120° 2 = = = , b 2 3 6 3 6

因此∠C=45°或∠C=135°. 因为∠B=120°,所以∠C<60°. 因此∠C=45°,∠A=180°-∠B-∠C=15°. 再由正弦定理,得 a= bsinA 3 6sin15° = ≈2.2(如图 3 所示). sinB 3 2

图3 点评:通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,可以通过 分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情 形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于

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这一点,我们通过下面的变式训练来体会. 变式训练 在△ABC 中,已知 a=60,b=50,A=38°,求 B(精确到 1°)和 c.(保留两 个有效数字) 解:∵b<a,∴B<A,因此 B 也是锐角. ∵sinB= bsinA 50sin38° = ≈0.513 1, a 60

∴B≈31°. ∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°. ∴c= asinC 60sin111° = ≈91. sinA sin38°

BD 例 3 如图,在△ABC 中,∠A 的角平分线 AD 与边 BC 相交于点 D,求证: = DC AB . AC 活动: 这是初中平面几何中角平分线的性质定理,用平面几何的方法很容易 证得. 教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用,教师可引导学生分析 相关的三角形的边角关系,让学生自己证明. 证明:如图,在△ABD 和△CAD 中,由正弦定理,得

BD AB = ,① sinβ sinα DC AC AC = = ,② sinβ sin?180°-α ? sinα ①÷②,得 BD AB = . DC AC

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点评: 解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起 的. 本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补 角的正弦值相等这一特殊关系式的应用. 例 4 在△ABC 中,A=45°,B∶C=4∶5,最大边长为 10,求角 B、C,外接 圆半径 R 及面积 S. 活动:教师引导学生分析条件 B∶C=4∶5,由于 A+B+C=180°,由此可 求解出 B、C,这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形,显然其解 唯一,结合正弦定理的平面几何证法,由此可解三角形,教师让学生自己探究此 题,对于思路有阻的学生可给予适当点拨. 解:由 A+B+C=180°及 B∶C=4∶5,可设 B=4k,C=5k, 则 9k=135°,故 k=15°,那么 B=60°,C=75°. 由正弦定理,得 R= 10 =5( 6- 2), 2sin75°

1 1 由面积公式 S= bc·sinA= c·2RsinB·sinA=75-25 3. 2 2 点评:求面积时,b 未知但可转化为 b=2RsinB,从而解决问题. 1.在△ABC 中,(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,则△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 答案:D 解析:运用正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB 以及结论 sin2A-sin2B=sin(A +B)·sin(A-B), 由(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, ∴(sin2A+sin2B)sin(A-B)=(sin2A-sin2B)sinC. ∴(sin2A+sin2B)sin(A-B)=sin(A+B)·sin(A-B)·sinC. 若 sin(A-B)=0,则 A=B. 若 sin(A-B)≠0,则 sin2A+sin2B=sin2C?a2+b2=c2. )

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∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D. 2.已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶2∶3,那么 a∶b∶c 等于( A.1∶2∶3 C.1∶ 3∶2 答案:C B.3∶2∶1 D.2∶ 3∶1 )

知能训练 1.在△ABC 中,a=2,A=30°,C=45°,则△ABC 的面积 S 的值是( A. 2 B. 3+1 1 C. ( 3+1) 2 )

D.2 2

2.在△ABC 中,已知 a=5,B=105°,C=15°,则此三角形的最大边长为 __________. 3.在△ABC 中,若( 3b-c)cosA=acosC,则 cosA=__________. 答案: 1.B =105°, 1 1 ∴△ABC 的面积 S= acsinB= ×2×2 2sin105°= 3+1. 2 2 2. 5?3 2+ 6? 6 解析:∵B=105°,C=15°,∴A=60°. 解析:由正弦定理 a c asinC = ,得 c= =2 2,B=180°-A-C sinA sinC sinA

∴b 为△ABC 的最长边.
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由正弦定理,得 b= asinB 5sin105° 5?3 2+ 6? = = . sinA sin60° 6 解析:由正弦定理,知

3.

3 3

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R 为△ABC 的外接圆半径). ∴( 3sinB-sinC)cosA=sinA·cosC, 化简,得 3sinB·cosA=sin(A+C)=sinB. ∵0<sinB≤1, ∴cosA= 3 . 3

课堂小结 1.先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问 题及解三角形需要注意的问题,特别是两解的情况应怎样理解. 2.我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想,以“直角 三角形”作问题情境,由此展开问题的全面探究,正弦定理的证明方法很多,如 平面几何法、向量法、三角形面积法等.让学生课后进一步探究这些证明方法, 领悟这些方法的思想内涵. 3.通过例 3 引入了三角形外接圆半径 R 与正弦定理的关系.但应引起学生 注意,R 的引入能给我们解题带来极大的方便. 作业 习题 1—1A 组 1、2、3. 设计感想 本教案设计思路是:立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流, 让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程,使学生成为正弦定理的 “发现者”和“创造者”,切身感受创造的快乐,知识目标、能力目标、情感目 标均得到较好的落实. 本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题. 一方面鼓励学生大胆地提

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出问题; 另一方面注意妥善处理学生提出的问题, 启发学生抓住问题的数学实质, 将问题逐步引向深入. 根据上述设想,引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟 悉的直角三角形中,得出目标问题在直角三角形中的情况,从而形成猜想,激起 进一步探究的欲望, 然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明,并让学生通过自 己的努力发现多种证法,开阔学生视野. 备课资料 一、知识扩展 1.判断三角形解的方法 “已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、两解和无解 三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可 以利用正弦函数的有界性进行分析. 设已知 a、b、A,则利用正弦定理 sinB= bsinA , a

如果 sinB>1,则问题无解; 如果 sinB=1,则问题有一解; 如果求出的 sinB<1,则可得 B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理” 或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断. 2.利用正弦定理进行边角互换 对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 或 sinA= 为△ABC 的外接圆半径). 这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用. 3.正弦定理的其他几种证明方法 (1)三角形面积法 如图,已知△ABC,设 BC=a,CA=b,AB=c,作 AD⊥BC,垂足为 D. a b c ,sinB= ,sinC= (R 2R 2R 2R

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则 Rt△ADB 中,sinB=

AD , AB

∴AD=AB·sinB=csinB. 1 1 ∴S△ABC= a·AD= acsinB. 2 2 1 1 同理,可得 S△ABC= absinC= bcsinA. 2 2 ∴acsinB=absinC=bcsinA. ∴ sinB sinC sinA a b c = = ,即 = = . b c a sinA sinB sinC

(2)平面几何法 如图,在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆 心,连结 BO 并延长交圆于 C′点,设 BC′=2R,则根据直径所对的圆周角是直 角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′=90°,∠C=∠C′,

∴sinC=sinC′=

c c .∴ =2R. 2R sinC

同理,可得

a b =2R, =2R. sinA sinB



a b c = = =2R. sinA sinB sinC a sinA

这就是说, 对于任意的三角形, 上述关系式均成立, 因此, 我们得到等式 b c = = . sinB sinC

这种证明方法简洁明快. 在巩固平面几何知识的同时,将任意三角形与其外

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接圆联系在一起, 并且引入了外接圆半径 R,得到

a b c = = =2R 这一等 sinA sinB sinC

式, 其变式为 a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC, 可以更快捷地实现边角互化. 特 别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系, 为 正弦定理的应用带来更多的便利. (3)向量法 ①如图,△ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于→ AC,则 j 与→ AB的 夹角为 90°-A,j 与→ CB的夹角为 90°-C.

由向量的加法原则可得→ AC+→ CB=→ AB, 为了与图中有关角的三角函数建立联系, 我们在上面向量等式的两边同取与 向量 j 的数量积运算,得到 j·(→ AC+→ CB)=j·→ AB, 由分配律可得 j·→ AC+j·→ CB=j·→ AB. →|cos90°+|j||CB →|cos(90°-C)=|j||AB →|cos(90°-A). ∴|j||AC ∴asinC=csinA.∴ a c = . sinA sinC

同理,可得

c b = . sinC sinB



a b c = = . sinA sinB sinC

②如图,△ABC 为钝角三角形,不妨设 A>90°,过点 A 作与→ AC垂直的单位 向量 j,则 j 与→ AB的夹角为 A-90°,j 与→ CB的夹角为 90°-C.

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→ → → → → → 由AC+CB=AB,得 j·AC+j·CB=j·AB, 即 a·cos(90°-C)=c·cos(A-90°), ∴asinC=csinA.∴ a c = . sinA sinC

同理,可得

b c a b c = .∴ = = . sinB sinC sinA sinB sinC a b c = = 显然成立. sinA sinB sinC

③当△ABC 为直角三角形时,

综上所述,正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立. 二、备用习题 1.在△ABC 中,A=45°,B=60°,a=10,则 b 等于( A.5 2 B.10 2 C. 10 6 3 ) D.5 6

1 3 2.△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 sinB= ,sinC= ,则 2 2 a∶b∶c 等于 ? ( A.1∶ 3∶2 C.1∶2∶ 3 ) B.1∶1∶ 3 D.2∶1∶ 3或 1∶1∶ 3

3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= 2,b= 6,B= 120°,则 a 等于 ? ( A. 6 ) B.2 C. 3 D. 2

b 4.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 B=2A,则 的 a 取值范围是 ? ( A. (-2,2) 3) 5.在△ABC 中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为________. ) B. (0,2) C. (1, 3) D. ( 2,

15

6.在△ABC 中,已知 a=

3 3 ,b=4,A=30°,则 sinB=________. 4 5 3 ,cosB= , 13 5

7.在△ABC 中,cosA=- (1)求 sinC 的值;

(2)设 BC=5,求△ABC 的面积. 参考答案: 1.D 5 6. 2.D 故选 D. 3.D 解析:由正弦定理得 6 2 1 = ,得 sinC= ,于是有 C=30° sin120° sinC 2 解析:由题意,知 C=60°或 120°,B=30°,因此 A=90°或 30°. 解析:由正弦定理,知 b a b 10 = ,即 = ,解得 b= sinB sinA sin60° sin45°

或 C=150°(不符合题意,舍去).从而 A=30°.于是△ABC 是等腰三角形,a= c= 2. 4.D b sinB 解析:由正弦定理知 = ,又∵B=2A, a sinA

b sin2A ∴ = =2cosA. a sinA ∵△ABC 为锐角三角形, ∴0°<B<90°.∴0°<2A<90°. ∴0°<A<45°.又∵0°<C<90°, ∴A+B>90°.∴3A>90°. ∴A>30°.∴30°<A<45°. ∴ 2<2cosA< 3, b 即 2< < 3.故选 D. a

16

5.

15 3 4

解析:由正弦定理,得

AB BC 5 7 = ,即 = ,∴sinC sinC sinA sinC sin120°

5 3 5 3 = × = . 7 2 14 因此 sinB= 3 3 , 14

1 3 3 15 3 所以 S△ABC= ×5×7× = . 2 14 4 6. 8 3 9 解析:由正弦定理,得 4 3 3 8 3 = ,解得 sinB= . sinB 4sin30° 9

7.解:(1)由 cosA=-

5 12 ,得 sinA= . 13 13

3 4 由 cosB= ,得 sinB= , 5 5 ∴sinC=sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB= (2)由正弦定理,得 5× 4 5 16 . 65

AC=

BC×sinB 13 = = , sinA 12 3 13

1 1 13 16 8 ∴△ABC 的面积 S= ×BC×AC×sinC= ×5× × = . 2 2 3 65 3

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