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南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学试题


南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试


注意事项:



(I)试题

2014.01

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试 卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题纸内.试题的答案写在答题纸 上对应题目的答 ... 案空格内.考试结束后,交回答题纸. 参考公式: 1 n 1 n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2= ∑(xi-- x )2,其中- x = ∑xi. ni=1 ni=1 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的 指定位置上) 1.已知集合 A={-3,-1,1,2},集合 B=[0,+∞),则 A∩B= 2.若复数 z=(1+i)(3-ai)(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a= ▲ ▲ . ▲ . .

3.现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则甲被选中的概率为 4.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 ▲ . ▲ .

5.若一组样本数据 2,3,7,8,a 的平均数为 5,则该组数据的方差 s2=

S←0 For I From 1 To 10 S ← S+I End For Print S 第4题 1 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为 x= ,且它的一个顶点 2 与抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为 ▲ .

7.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1)到直线 4x-3y-1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y≥3 表示的平面区域内,则 m= ▲ .

高三数学试卷第 1 页(共 4 页)

8.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60° ,侧棱 PA⊥底面 ABCD, PA=2,E 为 AB 的中点,则四面体 PBCE 的体积为 ▲ .
P

D A E 第8题 B

C

π 9.设函数 f(x)=cos(2x+φ),则“f(x)为奇函数”是“φ= ”的 2 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”其中之一)



条件. (选填“充分不必要” 、

10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若圆 x2+ ( y- 1) 2= 4 上存在 A, B 两点关于点 P(1, 2)成中心对称, 则直线 AB 的方程为 ▲ . ▲ .

2π → → 11.在△ABC 中,BC=2,A= ,则 AB · AC 的最小值为 3

12.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数.如果实数 t 满足 1 f(lnt)+f(ln )≤2f(1),那么 t 的取值范围是 t 13. 若关于 x 的不等式 (ax- 20)lg ▲ . ▲ .

2a ≤ 0 对任意的 x> 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 x

4 1 1 14.已知等比数列{an}的首项为 ,公比为- ,其前 n 项和为 Sn,若 A≤Sn- ≤B 对 n∈N*恒成立, 3 3 Sn 则 B-A 的最小值为 ▲ .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) π 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b 的值; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

高三数学试卷第 2 页(共 4 页)

16.(本小题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F 分别为 BB1,AC 的中点. (1)求证:BF∥平面 A1EC; (2)求证:平面 A1EC⊥平面 ACC1A1.
A1 C1 E A F C 第 16 题 B B1

17.(本小题满分 14 分) 如图,现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛” .以正方形的四个顶点为圆 1 心,在四个角分别建半径为 x m(x 不小于 9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m 5 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60 m,绕岛行驶的路宽均不小于 10 m. (1)求 x 的取值范围; (运算中 2取 1.4) (2) 若中间草地的造价为 a 元/m2, 四个花坛的造价为 当 x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?
D 花坛 岛口 花坛 C

4 12a ax 元/m2, 其余区域的造价为 元/m2, 33 11

岛口

草地

岛口

花坛 A 岛口 第 17 题

花坛 B

高三数学试卷第 3 页(共 4 页)

18. (本小题满分 16 分) 3 x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点(1, )的椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0), 2 a b 过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 B 关于坐标原点的对称点为 P,直线 PA,PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; 8 3 3 (2)若点 B 的坐标为( , ),试求直线 PA 的方程; 5 5 (3)记 M,N 两点的纵坐标分别为 yM,yN,试问 yM·yN 是否为定值?若是,请求出该定值;若 不是,请说明理由.
y

N
B l

O P A

F

x M

第 18 题

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+1(a,b∈R). (1)当 a≠0 时,则 a,b 满足什么条件,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线? g(x) (2)当 a=1 时,求函数 h(x)= 的单调减区间; f(x) (3)当 a=0 时,若 f(x)≥g(x)对任意的 x∈R 恒成立,求 b 的取值的集合.

20.(本小题满分 16 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,S6=22.
高三数学试卷第 4 页(共 4 页)

(1)求 Sn; (2)若 从 { a n } 中 抽 取 一 个 公 比 为 q 的 等 比 数 列 { a k n} , 其 中 k 1 = 1 , 且 k1<k2<?<kn<?,kn∈N*. ①当 q 取最小值时,求{ kn}的通项公式; ②若关于 n(n∈N*)的不等式 6Sn>kn+1 有解,试求 q 的值.

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案(I)卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1,2} 2.-3 8. 3 3 9.必要不充分 2 3. 3 4.55 26 5. 5 1 12.[ ,e] e 6.y=± 3x 13.{ 10} 7.6 59 14. 72

2 10.x+y-3=0 11.-. 3

二、解答题: 15.解: (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4. 分 1 因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3,即 ab=4. 2 分 ?????4 ?????2

高三数学试卷第 5 页(共 4 页)

?a2+b2-ab=4, 解方程组? 得 a=2,b=2. ?ab=4,

?????7

分 (2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 所以 sinBcosA=2sinAcosA. π π 当 cosA=0 时,A= .所以 B= . 2 6 4 3 2 3 所以 a= , b= . 3 3 分 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,所以 b=2a.
?a2+b2-ab=4, 2 3 4 3 解方程组? 得 a= , b= . 3 3 ?b=2a,

?????10

?????

13 分 1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absinC= . 2 3 14 分 16.证: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 O,连结 OE,OF. 因为正三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,所以 OA1=OC. 1 1 因为 F 为 AC 中点,所以 OF∥AA1∥CC1,OF= AA1= CC1. 2 2 1 因为 E 为 BB1 中点,所以 BE∥CC1,BE= CC1. 2 所以 OF=BE,OF∥BE.所以 BEOF 是平行四边形.所以 BF∥OE. 4分 因为 BF? / 平面 A1EC,OE?平面 A1EC,所以 BF∥平面 A1EC. 分 (2) 因为 AB=CB,F 为 AC 中点,所以 BF⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABC,BF?平面 ABC,所以 AA1⊥BF. 分 由(1)知 BF∥OE. 所以 OE⊥AC,OE⊥AA1. 而 AC,AA1?平面 ACC1A1,AC∩AA1=A, ??????9 ??????7 ?????? ?????

高三数学试卷第 6 页(共 4 页)

所以 OE⊥平面 ACC1A1. 12 分 因为 OE?平面 A1EC,所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1. 14 分
≥9, ?x 100-2x≥60, 17.解: (1)由题意得,? 1 ?100 2-2x-2×5x ≥20,
2

??????

??????

??????4

分 解得 9≤x≤15. 所以 x 的取值范围是[9, 15] . 分 (2)记“环岛”的整体造价为 y 元.则由题意得 1 4 12a 1 y=a×π×( x2)2+ ax×πx2+ [104-π×( x2)2-πx2] 5 33 11 5 a 1 4 = [π(- x4+ x3-12x2)+12×104] . 11 25 3 10 分 1 4 4 令 f(x)=- x4+ x3-12x2.则 f′(x)=- x3+4x2-24x. 25 3 25 由 f′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=10 或 x=15. 12 分 列表如下: x f′(x) f(x) 所以当 x=10,y 取最小值. 答:当 x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低. 14 分 18.解: (1)由题意,得 2a= 2分 因为 c=1,所以 b2=3. 3 (1-1)2+( -0)2+ 2 3 (1+1)2+( -0)2=4,即 a=2.?????? 2 ?????? 9 (9,10) - ↘ 10 0 极小值 (10,15) + ↗ 15 0 ?????? ?????? ??????7

高三数学试卷第 7 页(共 4 页)

x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 5分 8 3 3 8 3 3 (2)因为 F(1,0),B( , ),所以 P(- ,- ). 5 5 5 5 所以直线 AB 的斜率为 3. 所以直线 AB 的方程为 y= 3(x-1). 分 x y ? ? + =1, 解方程组? 4 3 得点 A 的坐标为(0,- 3). ? y= 3(x-1), ? 9分 所以直线 PA 的方程为 y=- 10 分 (3)当直线 AB 的斜率 k 不存在时,易得 yM·yN=-9. 当直线 AB 的斜率 k 存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 B(-x2,-y2).
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 所以 + =1, + =1. 4 3 4 3

??????

??????7

2

2

???????

3 x- 3. 4

???????

(x2+x1)(x2-x1) (y2+y1)(y2-y1) 两式相减, 得 + =0. 4 3 (y2+y1)(y2-y1) 3 所以 =- =kPAk. 4 (x2+x1)(x2-x1) 3 所以 kPA=- . 4k 分 3 所以直线 PA 的方程为 y+y2=- (x+x2). 4k 3(x2+4)(x2-1) 3 所以 yM=- (4+x2)-y2=- -y2. 4k 4y2 y2 4y2 直线 PB 的方程为 y= x,所以 yN= . x2 x2 分
2 3(x2+4)(x2-1) 4y2 所以 yM·yN=- - . x2 x2 2 2 x2 y2 2 2 因为 + =1,所以 4y2 =12-3x2 . 4 3 2 -3(x2+4)(x2-1)-12+3x2 所以 yM·yN= =-9. x2

???????12

???????14

高三数学试卷第 8 页(共 4 页)

所以 yM·yN 为定值-9. 分 19.解: (1)因为 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1. 又 f(0)=1,所以 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1. 分 因为 g′(x)=2ax+b,所以 g′(0)=b. 又 g(0)=1,所以 y=g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=bx+1.

???????16

???????2

所以当 a∈R 且 b=1 时,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线.???????4 分 x2+bx+1 (2)当 a=1 时,h(x)= , ex h′(x)= 分 由 h′(x)=0,得 x=1 或 x=1-b. 所以当 b>0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1-b),(1,+∞). 当 b=0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,+∞). 当 b<0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1),(1-b,+∞). 分 (3)当 a=0 时,则 φ(x)=f(x)-g(x)=ex-bx-1,φ′(x)=ex-b. ①当 b≤0 时,φ′(x)≥0,函数 φ(x)在 R 上是增函数. 因为 φ(0)=0,所以 x<0 时,φ(x)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. 分 ②当 b>0 时,由 φ′(x)>0,得 x>lnb,φ′(x)<0,得 x<lnb, 所以函数 φ(x)在(-∞,lnb)上是减函数,在(lnb,+∞)上是增函数. (Ⅰ)当 0<b<1 时,lnb<0,φ(0)=0,所以 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅱ)当 b>1 时,同理 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅲ)当 b=1 时,lnb=0,所以函数 φ(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. 所以 φ(x)≥φ(0)=0.故 b=1 满足题意. 综上所述,b 的取值的集合为{1}. ???????16 分 ???????12 ???????10 -x2+(2-b)x+b-1 (x-1)[x-(1-b)] =- . ex ex ???????7

2 20.解: (1)设等差数列的公差为 d,则 S6=6a1+15d=22,a1=2,所以 d=3.??????2 分
高三数学试卷第 9 页(共 4 页)

n(n+5) 2 所以 Sn= 3 .an=3(n+2) (2)因为数列{an}是正项递增等差数列,所以数列{ a k n} 的公比 q>1. 要使 q 最小,只需要 k2 最小即可. 8 4 32 / {an}, 若 k2=2,则由 a2=3,得 q=3,此时 a k 3= 9 ∈ 所以 k2>2,同理 k2>3. 若 k2=4,则由 a4=4,得 q=2,此时 a k n=2 . 2 n-1 因为 a k n=3(kn+2),所以 kn=3×2 -2. 2 - - (3)因为 a k n= (kn+2)=2qn 1,所以 kn=3qn 1-2(q>1). 3 当 q 不是自然数时,kn 不全是正整数,不合题意,所以 q≥2,q∈N*.. 2n(n+5)+2 不等式 6Sn>kn+1 有解,即 >1 有解. 3 qn 2n(n+5)+2 经检验,当 q=2,3,4 时,n=1 都是 >1 的解,适合题意. 3 qn 分 2n(n+5)+2 以下证明当 q≥5 时,不等式 ≤1 恒成立. 3 qn 2n(n+5)+2 设 bn= . 3 qn 2(n+1)(n+6)+2 + 3 qn 1 bn+1 n2+7n+7 则 = = bn 2n(n+5)+2 3q(n2+5n+1) n 3q = = 2n+6 2(n+3) 1 1 (1+ 2 )= (1+ ) 3q n +5n+1 3q (n+3)2-(n+3)-5 1 2 (1+ ). 3q 5 (n+3)- -1 n+3 5 -1 在 n∈N*上是增函数, n+3
n

??????4 分

??????6 分

??????10 分

???????12

因为 f(n)=(n+3)-

7 所以 f(1)≤f(n)<+∞,即 ≤f(n)<+∞. 4 1 bn+1 5 所以 < ≤ . 3q bn 7q 分 bn+1 因为 q≥5,所以 <1.所以数列{bn}是递减数列. bn ????????14

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14 所以 bn≤b1= <1. 3q 综上所述,q 的取值为 2,3,4. 分 ????????16

高三数学试卷第 11 页(共 4 页)


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