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空间直角坐标系


数轴上的点
B
-2 -1 A

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

平面坐标系中的点
y

y

P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

O

x

x

在教室里同学们的位置坐标
z

y O

x

一、空间直角坐标系:
以单位正方体 OABC ? D?A?B?C?的 OC, D? 的方向为正方向,以 O 线段OA,OC, OD?的长为单位 x 长度,建立三条数轴:x轴,y轴,
A

z
D'

C'

顶点O为原点,分别以射线OA,

A'

B'

O
B

C

y

z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz 。 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴, 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别 称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面.

在空间直角坐标系中 让右手拇指 ,

指向 x 轴的正方向 食指指向y 轴 ,

的正方向 如果中指能指向 轴的 , z

正方向, 则称这个坐标系为

右手直角坐标系

z

z

O

y y

x

x

空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z

而z轴垂直于y轴.
1350 o 2.y轴和z轴的单位长度相同,

x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半. x

1350

y

二、空间直角坐标系的划分:


z

zox面
Ⅱ Ⅰ

yoz面


xoy面
Ⅶ Ⅷ

?

O

y


x


空间直角坐标系共有八个卦限

空间直角坐标系中任意 一点的位置如何表示?

三、空间点的坐标:
设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴 和z 轴于点P、Q和R.
z
R
M

P

O
M’

Q

y

x

三、空间点的坐标:
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别 是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实 数组(x,y,z)来表示, (x,y,z)叫做点M 在此 空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).
z
R
M

其中x叫做点M的横坐标,

y叫做点M的纵坐标,
Q

P

O
M’

y z叫做点M的竖坐标.

x

四、特殊位置的点的坐标:
z

?
F

小提示:坐标轴

C

?
x

1
O

?
1

E

?

?
D

B y

上的点至少有两个 坐标等于0;坐标面 上的点至少有一个 坐标等于0。

? A1

?

点P的位置 坐标形式

原点

O

X轴上

A

Y轴上

B

Z轴上

C

(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
X Y面内

点P的位置
坐标形式

D

Y Z面内

E

Z X面内

F

(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)

z

(1)坐标平面内的点: ?
1 E

?
F

C
B y

?
x

1
O

?

?
D

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0

? A1

?

(2)坐标轴上的点:
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0

z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

例1 : 在长方体OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, ? 4, D? ? 2, OC O 写出所有点的坐标.
z
2 D ' (0, 0, 2)
若以A为坐标原点呢? AC’中点呢?

C '?0,4,2?

?3,0,2? A '
O ?0,0,0?
3

B '(3, 4, 2)
4

y

C (0, 4, 0)

x A (3,0,0)

B (3, 4, 0)

P3 (?1, ?1,1) z

P(1,1,1)
o
y
x

P2 (?1,1, ?1)
P (1, ?1, ?1) 1

练习
1、如图,棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中,对 角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点,OA, OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出各点的坐标.
z
D` A` B` C`

Q
O
A x

C

Q`
B

y

例2.(1)直三棱柱中,AA1 =AB=AC=1,AB ? AC 写出各点坐标

(2)正三棱柱中,各棱长为1,写出各点坐标

五、空间点的对称问题:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (1)与点M关于x轴对称的点: (2)与点M关于y轴对称的点: (3)与点M关于z轴对称的点:

(x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z)

(4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)

规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。

z
P (1, ?1,1) 1

P2 (?1,1,1)
P(1,1,1)

o
y
x

P3 (1,1, ?1)

五、空间点的对称问题:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (5)与点M关于平面xOy的对称点: (x,y,-z) (6)与点M关于平面yOz的对称点: (-x,y,z) (7)与点M关于平面zOx的对称点: (x,-y,z)

规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。

【总一总★成竹在胸】
1、空间直角坐标系的建立(三步); 2、空间直角坐标系的划分(八个卦限);
3、空间中点的坐标(一一对应);

4、特殊位置的点的坐标(表格);
5、空间点的对称问题。

作业:
? P138:习题4.3 A组1、2.


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