当前位置:首页 >> 高三数学 >>

海淀区2015-2016高三期中数学理科含答案详解


海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学(理科)

2015.11

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1. 已知集合 P ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0 , M ? ??1,0,3,4?,则集合 P ? M 中元素的个数为 A.1 B.2 C. 3 D.4

?

?

2. 下列函数中为偶函数的是 A. y ?

1 x

B. y ? lg x

C. y ? ? x ? 1?

2

D. y ? 2 x

??? ? ???? ??? ? ??? ? 3. 在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AB ? 2, AC ? 1 , 则 AB ? AC 的值为
A. 1 B. ?1 C.

1 2

D. ?

1 2

4. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1 ( n ? 2) ,且 S2 ? 3 ,则 a1 ? a3 的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D.6

5. 已知函数 f ( x) ? cos4 x ? sin 4 x ,下列结论中错误 的是 .. A. f ( x ) ? cos2 x C. f ( x ) 的最小正周期为 π 6. “ x ? 0 ”是“ x + sin x ? 0 ”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 B. 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称 D. f ( x ) 的值域为 [? 2, 2]

理科

第 1 页

,

共 18 页

7. 如图,点 O 为坐标原点,点 A(1,1) . 若函数 y ? a x ( a ? 0 ,且 a ? 1 )及

y 1 A N M O 1 x

y ? logb x ( b ? 0 ,且 b ? 1 )的图象与线段 OA 分别交于点 M , N ,
且 M , N 恰好是线段 OA 的两个三等分点,则 a , b 满足 A. a ? b ? 1 C. b ? a ? 1 B. b ? a ? 1 D. a ? b ? 1

??1, x ? ?1 ? 2 8. 已知函数 f ( x ) ? ? x, ? 1 ? x ? 1 , 函数 g ( x) ? ax ? x ? 1 . 若函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 恰好有 ?1, x ? 1 ?
2 个不同零点,则实数 a 的取值范围是 A. (0, ?? ) B. ( ? ?,0) ? (2, +?) C. (??, ? ) ? (1,+?)

1 2

D. ( ??,0) ? (0,1)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.

?

2

1

2xdx ? ______.
15 ,则 4

10. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c . 若 c ? 4 , sin C ? 2sin A ,sin B ?

a ? ____, S?ABC ? _____.
11. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a3 ? a9 ? a10 ? a8 . 若 an ? 0 ,则 n ? .

??? ? ,0) , 点 B 为直线 y ? 2 x 上的一个动点,若 AB / / a ,则点 B 的 12. 已知向量 a ? (1,1) ,点 A(3
坐标为______. 13. 已知函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? ) ( ? ? 0 ). 若 f ( x ) 的图象向左平移 与 f ( x ) 的图象向右平移

π 个单位所得的图象 3

π 个单位所得的图象重合,则 ? 的最小值为______. 6 a ? an 14. 对于数列 {an } ,若 ?m, n ? N *( m ? n ) ,都有 m ? t ( t 为常数)成立,则称数列 {an } m?n
具有性质 P(t ) . (i) 若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ,且具有性质 P(t ) ,则 t 的最大值为______; (ii)若数列 {an } 的通项公式为 an ? n 2 ? 是______.

a ,且具有性质 P (10) ,则实数 a 的取值范围 n

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
理科 第 2 页

,

共 18 页

15. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , 4a3 ? a2a4 . (Ⅰ)求公比 q 和 a 5 的值; (Ⅱ)求证:

Sn ?2. an

16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.

π 3

π 3

π 6

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四边形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 3, CD ? 5, ?A ? (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求证: ?ABC ? ?ADC ? π .
A

? 1 ,cos ?ADB ? . 3 7
D C

B

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (0,1) 处的切线为 l . 3

(Ⅰ)若直线 l 的斜率为 ?3 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 是区间 [?2, a ] 上的单调函数,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)
理科 第 3 页

,

共 18 页

已知由整数组成的数列 {an } 各项均不为 0,其前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a, 2Sn ? an an ?1 . (Ⅰ)求 a2 的值; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 n ? 15 时, Sn 取得最小值,求 a 的值.

20.(本小题满分 14 分)

, [? 1.2] ? ? 2 , [1] ? 1. 对 已知 x 为实数,用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,例如 [1.2] ? 1
于函数 f ( x ) , 若存在 m ? R 且 m ? Z, 使得 f (m) ? f ([m]) ,则称函数 f ( x ) 是 ? 函数. (Ⅰ)判断函数 f ( x) ? x 2 ? x,g ( x) ? sin πx 是否是 ? 函数; (只需写出结论) (Ⅱ)设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期函数,其最小正周期为 T ,若 f ( x ) 不是 ? 函数,求

1 3

T 的最小值;
(Ⅲ)若函数 f ( x) ? x ? 理科 : 15.解: (Ⅰ)法一:因为 {an } 为等比数列, 且 4a3 ? a2a4 , 所以 4a3 ? a32 ,所以 a3 ? 4 , ---------------------------1 分 因为 q 2 ?

a 是 ? 函数,求 a 的取值范围. x

a3 a3 ? ?4, a1 1

---------------------------2 分 所以 q ? ?2 . 因 为

an ? 0







q?0





q?2

---------------------------3 分 所以 a5 ? a1q4 ? 16 . (此处公式 2 分,结果 1 分) --------------------------6 分
理科 第 4 页

,

共 18 页

法二:因为 {an } 为等比数列,且 4a3 ? a2a4 ,所以 4a1q2 ? a1q4 , ---------------------------1 分 所以 q2 ? 4 , ---------------------------2 分 所以 q ? ?2 , 因 为

an ? 0







q?0





q?2

---------------------------3 分 所以 a5 ? a1q4 ? 16 . (此处公式 2 分, 结果 1 分) 分 (Ⅱ) 法一: 因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , (此处公式 1 分, 结果 1 分) -------------8分 因为 Sn ? 分 所以 --------------------------6

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , (此处公式 1 分, 结果 1 分) 1? q

--------------------------10

Sn 2 n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 , an 2 2
因 为

1 ?0 2n?1







Sn 1 ? 2 ? n ?1 ? 2 an 2

.

--------------------------13 分 法二:因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , (此处公式 1 分,结果 1 分) --------------8分 因为 Sn ? 分 所 以

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , (此处公式 1 分, 结果 1 分) 1? q

--------------------------10

Sn 1 ? 2 ? ? n ?1 ? 0 an 2







Sn ?2 an

.

--------------------------13 分 法三:因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , (此处公式 1 分,结果 1 分) --------------8分
理科 第 5 页

,

共 18 页

因为 Sn ? 分 要证

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , (此处公式 1 分, 结果 1 分) 1? q

--------------------------10

Sn ? 2 ,只需 Sn ? 2an , 只需 2n ? 1 ? 2 n an
式 显 然 成 立 , 得 证 .



--------------------------13 分

理科

第 6 页

,

共 18 页

16.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,

π 3

π 3

所以 f ( ) ? 3sin(2 ?

π 6

π π π π ? ) ? cos(2 ? ? ) , 6 3 6 3
.

? 3sin(
--------------------------4 分

2π 2π 3 1 ) ? cos( ) ? ? ? 1 3 3 2 2

(Ⅱ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , 所 以

π 3

π 3

f(

?

3 x) 2

π

1 2 ?

3

π x [

?

2

s

-------------------------------6 分

π ?2[cos 6
-------------------------7 分

π s ix n? (2 ? 3

π π ) s i n x ?c o s ( 2 6 3

)]

π π ? 2sin[(2 x ? ) ? ] 3 6 π ? 2sin(2 x ? ) 2
? 2 cos 2 x
--------------------------9 分 所 以 周 期 ,

T?

2π 2π = ?π |? | 2

.

--------------------------11 分 令 --------------------------12 分 解得 kπ ? 所 以

2 k π ? π ? 2 x ? 2k π



π ? x ? kπ , k ? Z , 2
f ( x)
的 单 调 递 增 区 间 为

π (kπ ? , kπ), 2

k?Z

.

--------------------------13 分 法二:因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , 所 以

π 3

f(

? x)
理科

π 3 π 3 3

x? (

π

s

3

i

π x? n

2

π 3

c x?

o

s 3

第 7 页

,

共 18 页

-------------------7 分

1 3 1 3 ? 3( sin 2 x ? cos 2 x ) ? ( cos 2 x ? sin 2 x ) 2 2 2 2
? 2 cos 2 x
--------------------------9 分 所 以 周 期 .

T?

2π 2π = ?π |? | 2

--------------------------11 分 令 --------------------------12 分 解得 kπ ? 所 以

2 k π ? π ? 2 x ? 2k π



π ? x ? kπ , k ? Z , 2
f ( x)
的 单 调 递 增 区 间 为

π (kπ ? , kπ), 2

k?Z

.

--------------------------13 分

17.解: (Ⅰ)法一: 在 ?ABD 中,因为 cos ?ADB ? --------------------------1 分 所 --------------------------3 分 根 据 正 弦 定 理 , 有 以

1 , ?ADB ? (0, π) , 7

sin ?ADB ?

4 3 7

,

BD AB ? sin ?A sin ?ADB

,

--------------------------6 分 代 入

A ?8

B

? ,? 3

A? , 解



BD ? 7

.

--------------------------7 分 法二:作 BE ? AD 于 E . 因 为

AB ? 8, ?A ?

π 3









?ABD





B ? E

π sA ? i Bn 3

?

.4

3

--------------------------3 分 在 ?BDE 中,因为 cos ?ADB ?

1 , ?ADB ? (0, π) , 7
理科 第 8 页

,

共 18 页

所 --------------------------6 分 所 --------------------------7 分



sin ?ADB ?

4 3 7

,



BD ?

BE ?7 s ?BDE

i

.

n

( Ⅱ ) 法 一 : 在 ?BCD 中 , 根 据 余 弦 定 理 --------------------------10 分 代入 BC ? 3, CD ? 5 ,得 cos ?C ? ? --------------------------11 分

c o?C s ?

2 2 2 B C ? C? D B D 2B C ? C D

1 , 2 2π 3

?C ? (0, π)
--------------------------12 分

,





?C ?

.

所以 ?A ? ?C ? π ,而在四边形 ABCD 中 ?A ? ?ABC ? ?C +?ADC ? 2 π 所 以
?A π B ?

.

C

?

--------------------------13 分 法二:在 ?ABD 中, cos ?ABD ?

5 3 11 , , 所以 sin ?ABD ? 14 14

cos ?ADB ?
--------------------------8 分 在 ?BCD 中, cos ?DBC ?

1 7







sin ?ADB ?

4 3 7

.

5 3 11 , , 所以 sin ?ABD ? 14 14

cos ?BDC ?
--------------------------9 分

13 14







sin ?ADB ?

3 3 14

.

所以 cos ?ABC ? cos(?ABD ? ?DBC ) ,

? cos ?ABD cos ?DBC ? sin ?ABD sin ?DBC ?
--------------------------11 分

23 98

cos ?A D C ? c o s ? (A D B ? ? BD C) ,

? cos ?ADB cos ?BDC ? sin ?ADB sin ?BDC ? ?
理科 第 9 页

23 98

,

共 18 页

--------------------------12 分 即

cos ?ABC ? ? cos ?ADC

,





?A

B ? C π ?

.A

? D

C

--------------------------13 分

18.解 (Ⅰ)因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 经过点 (0,1) , 又 --------------------------2 分 所 --------------------------3 分 所以 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 .
2

f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a

,



f'

?a??

(

,

0

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?3)
?

?3
0 极大值

( ?3,1)
?
?

1
0 极小值

(1, +?)
?

?

?

--------------------------5 分 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?3) , (1, +?) , 单 --------------------------7 分 (Ⅱ) 法一: 因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调, 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递减时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立,
理科 第 10 页













( ?3,1)

.

,

共 18 页

即 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立,
2

根 据 二 次 函 数 的 性 质 , 只 需 要 ? --------------------------8 分 又

? f '( ?2) ? 0 , ? f '(a ) ? 0

解 得 ?3 ? a ? 0 .

?2 ? a







?2 ? a ? 0

.

--------------------------9 分 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 只要 f '( x) ? x ? 2 x ? a 在 [?2, a ] 上的最小值大于等于 0 即可,
2 2 因为函数 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 的对称轴为 x ? ?1 ,



?2 ? a ? ?1 时 ,

f ' x(

) 在

[?2, a ]

上 的 最 小 值 为

f ' a(

) ,

--------------------------10 分 解

f '(a)=a2 ? 3a ? 0 , 得 a ? 0 或 a ? ?3 , 所 以 此 种 情 形 不 成 立 .

--------------------------11 分 当 ?1 ? a 时, f '(x ) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '( ?1) , (注:此处用 ? ? 0 也可得分) ----------12 分 解 f '( ?1) ? 1 ? 2 ? a ? 0 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综 上 , 实 数

a













?2 ? a ? 0



a ?1

.

--------------------------13 分 法二:
2 令 f '( x) ? 0 即 x ? 2 x ? a ? 0 , ? ? 4 ? 4a

①若 ? ? 0

即 a ? 1 时 , f ' (x )? 0 恒 成 立 , 函 数 f ( x ) 在 区 间 [?2, a ] 上 单 调 递 增

-----------------8 分 所 --------------------------9 分
2 ②若 ? ? 0 即 ?2 ? a ? 1 ,由 x ? 2 x ? a ? 0 得 x1 ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a



a ?1

.

理科

第 11 页

,

共 18 页

若函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递减, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立,
2

根 据 二 次 函 数 的 性 质 , 只 需 要 ? --------------------------10 分 又

? x1 ? ?2 , ? x2 ? a

解 得 ?3 ? a ? 0 .

?2 ? a ? 1







?2 ? a ? 0

.

--------------------------11 分 若函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立 根 据 二 次 函 数 的 性 质 , 只 需 要

x2 ? ?2



x1 ? a

-------------------------12 分 可解得

1 ? a ? ?1 (无解)或 1 ? a ? ?(a ?1) (解得 a ? ?3 与 ?2 ? a ? 1 矛盾) ,此种情

况不成立 综 上 , 实 数

a













?2 ? a ? 0



a ?1

.

--------------------------13 分 法三: 因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调, 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递减时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 恒成立,只需 a ? ?( x ? 2 x)
2 2

根 据 二 次 函 数 的 性 质 只 需 ? --------------------------8 分 又

?a ? ?[(?2) 2 ? 2 ? (?2)] ? , 解 得 ?3 ? a ? 0 2 a ? ? ( a ? 2 a ) ? ?
?2 ? a ? 0

?2 ? a







.

--------------------------9 分 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 恒成立,只需 a ? ?( x ? 2 x)
2 2 2 设函数 g ( x) ? ? x ? 2 x 的对称轴为 x ? ?1 ,



?2 ? a ? ?1 时 ,

g ( x)
理科



[?2, a ]
第 12 页













g (a)



,

共 18 页

--------------------------10 分 解

a ? g ( a ) , 得 a ? 0 或 a ? ?3 , 所 以 此 种 情 形 不 成 立 .

--------------------------11 分 当

?1 ? a





g ( x)



[?2, a ]













g (? 1 , )

-------------------------12 分 解 a ? g (?1) 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综 上 , 实 数

a













?2 ? a ? 0



a ?1

.

--------------------------13 分

19.解: (Ⅰ)因为 2Sn ? an an ?1 ,所以 2S1 ? a1a2 ,即 2a1 ? a1a2 , 因 为

a1 ? a ? 0







a2 ? 2

,

--------------------------2 分 (Ⅱ)因为 2Sn ? an an ?1 ,所以 2Sn ?1 ? an ?1an (n ? 2) ,两式相减, 得 --------------------------4 分 因 为 到

2an ? an (an?1 ? an?1 )



an ? 0







an ?1 ? an ?1 ? 2



--------------------------5 分 所以 {a2 k ?1},{a2 k } 都是公差为 2 的等差数列, 当
n ? 2k ? 1





an ?

1

2

a ? (

k ?1 ,

)?n

--------------------------6 分 当
n ? 2k





an ? 2

?2 k

( ? ,

k

1 ?

n

--------------------------7 分 所 以

?n ? a ? 1, n为奇数, an ? ? n为偶数. ?n ,

--------------------------8 分
理科 第 13 页

,

共 18 页

(Ⅲ)

?n ? a ? 1, n为奇数, 法一:因为 2Sn ? an an ?1 ,由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,
注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的, 所有偶数项构成的数列是一个单调递增 的, 当 n 为偶数时, an ? 0 ,所以此时 Sn ? Sn ?1 , 所 以

S15















S13 ? S15 , S15 ? S17



--------------------------11 分 所 以

a1 ?

0

4

a ? ,

1



a ?

5

--------------------------12 分 所以 14 ? 15 ? a ? 1 ? 0, 16 ? 17 ? a ? 1 ? 0 , 解 --------------------------13 分 因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 , 所 以 得
?3 a 2?

.

? 2

a

















a ? ?3

1 a?? ,

.

2

9

--------------------------14 分

法二:

?n ? a ? 1, n为奇数, 因为 2Sn ? an an ?1 ,由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,





?1 (n ? ? ?2 Sn ? ? ? 1 n( ? ? ?2

为奇数, a ?1 为偶数 n, )

--------------------------10 分 因为 S15 为最小值,此时 n 为奇数,

a a2 (n ? ) 2 ? ? a ? 1 1 n ? an ? a ? 1 2 4 当 n为奇数 时, Sn ? (n ? a ? 1)(n ? 1) ? , ? 2 2 2
2

理科

第 14 页

,

共 18 页

所以 14 ? ? 解

a ? 16 , 2

?3 a 2?



? 2

--------------------------13 分 因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 , 所 以

a

















a ? ?3

1 a?? ,

.

2

9

--------------------------14 分 20. 解: ( Ⅰ )

1 f ( x) ? x 2 ? x 3



?







--------------------------2 分

g ( x ) ? sin πx
--------------------------4 分 ( Ⅱ )





?





.

T











1.

--------------------------5 分 因为 f ( x ) 是以 T 为最小正周期的周期函数,所以 f (T ) ? f (0) . 假 设

T ?1





[T ? ]

0 ,





f(

[T? ]

)f ,

( 矛 0 盾) .

--------------------------7 分 所以必有 T ? 1 , 而函数 l ( x ) ? x ? [ x ] 的周期为 1,且不是 ? 函数 所 以

T











1



--------------------------9 分 (Ⅲ) 当函数 f ( x) ? x ?

a 是 ? 函数时, x
a a ? [m ] ? , 所 以 有 a ? m[m ] m [m ]

法 一 : 设

f (m) ? f ([m]) , 所 以 m ?

--------------------------11 分 当 m ? 0 时,则 [m ] ? 0 ,所以有 m ? 1 ,所以 [m] ? 1
2 因为 [m] ? m ? [m] ? 1 ,所以 [m] ? m[m] ? [m]([m] ? 1) ,




理科

[m 2 ?
第 15 页

]

a?

.

[m

?

,

共 18 页

--------------------------12 分 当 m ? 0 时, [m ] ? 0 ,
2 因为 [m] ? m ? [m] ? 1 ,所以 [m] ? m[m] ? [m]([m] ? 1) ,

所 --------------------------13 分



[m 2 ?

]

a?

.

[m

?

记 k ? [m ] , 综上可以得到 “
a?0



?k ? N* , a ? k 2



a ? k ( k ? 1)



.

--------------------------14 分

法二: 若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? x 显然不是 ? 函数,矛盾. 若 a ? 0 ,则 f '( x) ? 1 ?

a ?0, x2

所以 f ( x ) 在 ( ??,0),(0, ??) 上单调递增, 此时不存在 m ? ( ??,0) ,使得 f (m) ? f ([m]) , 同理不存在 m ? (0, ?) ,使得 f (m) ? f ([m]) , 又 注 意 到

m[m] ? 0 , 所 以 此 时

f ( x) ? x ?

a x

不 是 ? 函 数 .

--------------------------10 分 当 a ? 0 时 , 设 f (m) ? f ([m]) , 所 以 m ? --------------------------11 分 当 m ? 0 时,则 [m ] ? 0 ,所以有 m ? 1 ,所以 [m] ? 1
2 因为 [m] ? m ? [m] ? 1 ,所以 [m] ? m[m] ? [m]([m] ? 1) ,

a a ? [m ] ? , 所 以 有 a ? m[m ] m [m ]

所 --------------------------12 分



[m 2 ?

]

a?

.

[m

?

当 m ? 0 时, [m ] ? 0 ,

理科

第 16 页

,

共 18 页

2 因为 [m] ? m ? [m] ? 1 ,所以 [m] ? m[m] ? [m]([m] ? 1) ,

所 --------------------------13 分



[m 2 ?

]

a?

.

[m

?

记 k ? [m ] , 综上可以得到 “
a?0



?k ? N* , a ? k 2



a ? k ( k ? 1)



.

--------------------------14 分 法三: 若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? x 显然不是 ? 函数,矛盾. 若 a ? 0 ,则 f '( x) ? 1 ?

a ?0, x2

所以 f ( x ) 在 ( ??,0),(0, ??) 上单调递增, 此时不存在 m ? ( ??,0) ,使得 f (m) ? f ([m]) , 同理不存在 m ? (0, ?) ,使得 f (m) ? f ([m]) , 又 注 意 到

m[m] ? 0 , 所 以 此 时

f ( x) ? x ?

a x

不 是 ? 函 数 .

--------------------------10 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x ?

a a , f '( x ) ? 1 ? 2 ? 0 , x ? ? a . x x

x
f '( x) f ( x)

(??, ? a )

? a
0

(? a, 0)
_

(0, a )
_

a
0

(? a, +?)

+
?

+
?

?

?

--------------------------11 分 ①当 [ m] ? 0 时,可得 ?

?[m] ? a ? [m] ? 1 ? , ? ? f ([m]) ? f ([m] ? 1)


解 --------------------------12 分

[m 2 ?

]

a?

理科

第 17 页

,

共 18 页

②当 [ m] ? 0 时,可得 ?

?[m] ? ? a ? [m] ? 1 ? , ? ? f ([m]) ? f ([m] ? 1)


解 --------------------------13 分 记 k ? [m ] , 综上可以得到 “
a?0

[m 2 ?

]

a?



?k ? N* , a ? k 2



a ? k ( k ? 1)



.

--------------------------14 分

理科

第 18 页

,

共 18 页


赞助商链接
相关文章:
...高三年级第一学期期中考试【数学(理)】试卷及答案
20152016学年海淀区高三年级第一学期期中考试【数学(理)】试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科) 2015.11 一、选择...
2015-2016年海淀区上学期期中高三数学理科答案
2015-2016海淀区上学期期中高三数学理科答案_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确...
2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案
2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案_数学_高中教育_教育专区...海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学(文科) 2015.11 本试卷共 4 页,150 ...
2015-2016学年度海淀区高三年级第一学期期中练习数学理
海淀区高三年级第一学期期中练习 数学 (理科) 2015.11 本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束 后,将本...
2015-2016北京市海淀区高三上学期期末数学理科
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(理科) 2016.1 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照...
2015-2016海淀高三一模数学理科试题及答案
2015-2016海淀高三一模数学理科试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理科)2016.4 本试卷共 4 页,150 分。考试时...
海淀区2015-2016学年第一学期期末高三数学(理)试题及答...
海淀区2015-2016学年第一学期期末高三数学(理)试题及答案word版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科)2016.1 本试卷共 ...
北京市海淀区2016届高三第二学期期中练习数学理试题(全...
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷(理科) 2016.4 本试卷共4 页,150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作...
2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案
2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案_高三语文_语文_高中教育_教育专区。海淀2016高考联系 海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(文科)2015.11 ...
2015-2016学年度海淀区高三年级第一学期期中练习数学文
2015-2016学年度海淀区高三年级第一学期期中练习数学文_高三数学_数学_高中教育_...高三理数试题 第 4 页(共 4 页) 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 ...
更多相关文章: