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高中数学反证法


反证法解题
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经过正确无误的 推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的 主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是: 第一步,反设:作出与求证结论相反的假设; 第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛

盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲 证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果 结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷 举法”。 Ⅰ、题组: 1. 已知函数 f(x)在其定义域内是减函数,则方程 f(x)=0 ______。 A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2. 已知 a<0,-1<b<0,那么 a、ab、ab 之间的大小关系是_____。 A. a>ab> ab
2 2

B. ab >ab>a

2

C. ab>a> ab

2

D. ab> ab >a

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3. 已知α ∩β =l,a α ,b β ,若 a、b 为异面直线,则_____。 A. a、b 都与 l 相交 B. a、b 中至少一条与 l 相交 C. a、b 中至多有一条与 l 相交 D. a、b 都与 l 相交 4. 四面体顶点和各棱的中点共 10 个,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法有_____。 5. A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 例 1. 如图,设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆心,C 是 SB 上一点。求证:AC 与平面 SOB 不垂直。 S C A B O

例 2. 若下列方程:x +4ax-4a+3=0, x +(a-1)x+a =0, x +2ax-2a=0 至少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。

2

2

2

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例 3. 给定实数 a,a≠0 且 a≠1,设函数 y=

1 x ?1 (其中 x∈R 且 x≠ ),证明:①.经过这个函数 ax ? 1 a

图像上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴; ②.这个函数的图像关于直线 y=x 成轴对称图像。 练习: 1. 已知 f(x)= x ,求证:当 x 1 ≠x 2 时,f(x 1 )≠f(x 2 )。
1?| x|

2. 已知非零实数 a、b、c 成等差数列,a≠c,求证: 1 、 1 、 1 不可能成等差数列。
a b c

3. 已知 f(x)=x +px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 1 。
2

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4. 求证:抛物线 y= x -1 上不存在关于直线 x+y=0 对称的两点。
2

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5. 已知 a、b∈R,且|a|+|b|<1,求证:方程 x +ax+b=0 的两个根的绝对值均小于 1。

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