当前位置:首页 >> 数学 >>

数学论文极值与最值


目录 摘要......................................................... 1 引言......................................................... 2 一、极值与最值及其相关概念 ...................................2 (一)极值与最值的概念 ....................................2 (二)极值与最值的联系 ....................................3 (三)极值与最值的区别 ....................................4 (四)极值的必要条件和充分条件及其证明 ....................4 二、极值与最值的名人成就 ..................................... 7 三、极值与最值问题在数学中的求法及应用 ...................... 10 (一)极值与最值的求法 ...................................10 (二)高中求极值最值的方法应用 ...........................12 (三)多元函数的极值与最值 ...............................13 (四)极值与最值在高等数学中的应用 .......................15 (五)条件极值的解法 .....................................16 (六)多元函数的极值、条件极值和最值的关系 ...............17 四、极值与最值的实际应用 .................................... 19 (一)极值与最值在经济学中的应用 .........................19 (二)极值与最值在物理中的应用 ...........................21 小结........................................................ 22 参考文献.................................................... 23

极值与最值的解法与应用

徐慧敏 (渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)

摘要:本文首先对极值和最值的概念做了细致的解释,得知了两个概念的异同点,给出函数 取得极值与最值的条件,同时对函数取得极值的必要条件进行了解和对充分条件加以证明。然后 对极值与最值的历史背景进行了简单阐述。最后介绍了极值与最值问题在数学中的求法及应用。 通过例证让我们了解到了我们学习中会遇到的问题,也有实际生活中的问题。当然我们研究的目 的还是希望学以致用,本文最后深入到不等式的证明问题以及经济学中的问题,用基本的极值与 最值理论作为指导进行分析和解决。

关键词:函数 极值 最值 费马定理 方法 应用

Function of Solving Extreme Value and Maximum Problem

Xuhuimin (Department of Mathematics Bohai university liaoning jinzhou 121000 China) Abstract:In this paper, first, the concept of value and the most extreme did meticulous explanation, learned the differences and similarities between two concepts, give function getting solving extreme value and maximum of conditions, at the same time for function getting the extremum of necessary conditions for understanding and sufficient conditions to prove it. Then for solving extreme value and maximum of historical background of a simple elaboration. At last, the paper introduces the problems in solving extreme value and maximum in mathematics method and application. Through some examples to let us know about our study will meet problem, also have the problems of the real world. Of course, we study the purpose of application, and in the end the paper still hope into the inequality proof problems and in economics problems, with basic solving extreme value and maximum theory as guidance are analyzed and solved. Key words: function,Extreme value, Most value,Fermat’s principle,Method, Application.

1

引言
在各门科学数学化的趋势下,数学作为科学语言具有重要地位,数 学因其本身所具有的特点,内容的抽象性,推理的严谨性,结论的明确 性和应用的广泛性,正在而且将继续为人类的物质文明和精神文明飞跃 作出越来越大的贡献。这一点在数学这门学科的重要内容——求极值和 最值上体现得淋漓尽致。 极值和最值是数学教学中的重要概念,正是因为它们是某个局部或 是整个区域的特殊值,在实际应用中更具有实际意义,因此在实际问题 和生产实践中应用非常广泛。所以,掌握求极值和最值的方法能提高自 己对实际问题的理解能力进而提高应用所学知识解决实际问题能力。对 于一位立志在自然科学研究上有所建树的学者而言,对极值和最值的求 法的研究的重要性是不言而喻的所以,研究和掌握好基础的数学理论和 方法是非常重要的,非常实用的。既然前人为我们创造了方便,我们就 要在前人的基础上继续研究和创造,为我们的生活带来方便,那么我们 就先从前人的研究中来继续创造吧!

一、极值与最值及其相关概念
(一)极值与最值的概念 极值的定义(一元) 设函数 y ? f ?x ? 在点 x0 的某一邻域内有定义, x

为该邻域内异于 x0 的任一点,若恒有 f ? x ? ? f ? x0 ? (或 f ? x ? ? f ? x0 ? ),则称
f ? x0 ? 为 y ? f ?x ? 的极小值(或极大值)。极大值与极小值统称极值,使函数

取极值的点 x0 称为极值点。 极值的定义(二元) 设函数 f ? x, y ? 在点 p0 ? x0 , y0 ? 某邻域 U(p0)内有
2

定 义 , 若 对 于 任 何 点 p ? x, y ? ? U ? p0 ? , 成 立 不 等 式 f ? p ? ? f ? p0 ? ( 或
f ? p ? ? f ? p0 ? ),则称函数 f ? x, y ? 在点 p0 ? x0 , y0 ? 取得极大(或极小)值,点 p0 ? x0 , y0 ? 称为 f ? x, y ? 的极大(或极小)值点。极大值极小值统称为极值,极

大值点极小值点统称为极值点。 最值的定义(一元) 设 f ? x ? 为定义在 D 上的函数,若存在 x0 ? D ,对

一切 x ? D ,有 f ? x0 ? ? f ? x? ( f ? x0 ? ? f ? x ? ),则称 f ? x ? 在 D 上有最大(小) 值,并称 f ? x0 ? 为 f ? x ? 在 D 上的最大(小)值。 最值的定义(二元) 设 f ? x, y ? 为定义在区域 D 上的函数,若存在

P0 ? x0, y0? ? D,对一切 P ? x, y ? ? D ,有 f ? x0 , y0 ? ? f ? x, y ? ( f ? x0 , y0 ? ? f ? x, y ? ),

则称 f ? x, y ? 在 D 上有最大(小)值,并称 f ? x0 , y0 ? 为 f ? x, y ? 在 D 上的最大(小) 值。 (二)极值与最值的联系 定理(1) :若 f ?x ? 在区间 I 上连续,并且在 I 上仅有唯一的极值点 x 0 , 则当 x 0 是 f ?x ? 的极大(小)值点时, x0 必是 f ?x ? 的最大(小)值点。 证 : 反 证 法 ) 假 设 x 0 不 是 f ?x ? 的 最 大 值 点 , 即 ?x1 ? I , 使 得 (
f ?x1 ? ? f ?x0 ?, 不妨设 x0 ? x1 , 则因为 x 0 是 f ?x ? 唯一的极大值点, 所以 ?? ? 0 ,

使得当 x1 ? ?x0 , x0 ? ? ? 时,有 f ?x ? ? f ?x1 ? 。由于 ?x0 ,x1 ? 上有最小值 m ,又因为
?? ? f ? x0 ? ? ? f ?x0 ? ? f ?x1 ? , 所 以 m 在 ?x0 , x1 ? 内 取 到 , 即 ?? ? ?x0 , x1 ? , 使 得 2? ?
f ?? ? ? m ,从而 ?x ? ?x0 , x1 ? ,有 f ?x ? ? f ?? ? ? m ,即 ? 为 f ? x ? 的极小值点且

? ? x0 ,但这与已知条件相矛盾,故 x 0 必是 f ? x ? 的最大值点。

定理 2:如果函数的最值不在定义区间的端点取得,并且这函数在其 定义区间上的任何微小邻域内都不为定值,则最值必定是极值。
3

(三)极值与最值的区别 (1)极值点必须是定义区间的内点,而最值点可以是定义区间上的 任意的一点。当定义区间为闭区间时,最值点可以是区间的端点,而极 值点不能为区间的端点。 (2)最值反映的是函数在整个定义区间或定义域上的整体性质,而 极值反映的只是函数在定义区间的内部某个任意小的邻域内的局部性 质。 (3) f ?x0 ? 作为函数 f ?x ? 的极值,必须比在 x 0 附近所有各点的函数值 都大或都小,而不能彼此相等。 f ?x1 ? 作为 f ?x ? 的最值,只需不小于和不 大于定义区间上所有各点的函数值,可以相等。 此外,由于函数的极值与最值的区别,使得它们还有着许多不同的 性质: (1)如果函数 f ?x ? 在某个区间上有定义,且有最大值(或最小值) , 则最大值(或最小值)是唯一的。 (2)如果函数 f ?x ? 在某个区间上有定义,且有极大值(或极小值) , 则极大值(或极小值)不一定是唯一的。 (3)如果函数 f ?x ? 在某个区间上有定义,且有最大值和最小值,则最 大值必定不小于最小值。 (4)函数可以有最值而无极值;函数也可以有极值而无最值。 (四)极值的必要条件和充分条件及其证明 1、一元函数取极值的充分、必要条件 极值的必要条件 若函数 f ?x ? 在点 x 0 处可导,且在 x 0 处取得极值,
4

则 f ' ( x) ? 0 ,即可导函数的极值点必为驻点。 极值的第一充分条件 设 f ?x ? 在点 x 0 处连续,在 U 0 ? x0 , ? ? 内可导。

(i)若当 x ? ? x0 ? ? , x0 ? 时, f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ? x0 , x0 ? ? ? 时, ' ( x) ? 0 , f ?x ? 在 x 0 则 f 取 得 极 大 值 ; (ii) 若 当 x ? ? x0 ? ? , x0 ? 时 , f ' ( x) ? 0 , 当 x ? ? x0 , x0 ? ? ? 时 ,
f ' ( x) ? 0 ,则 f ? x ? 在 x 0 取得极小值。

极值的第二充分条件

设 f ?x ? 在 x 0 的某邻域 U 0 ? x0 , ? ? 内一阶可导,在

x ? x0 处二阶可导, f ? ? x0 ? ? 0 , f ?? ? x0 ? ? 0 。 且 (i)若 f ?? ? x0 ? ? 0 ,则 f ?x ? 在 x 0 取

得极大值;(ii)若 f ?? ? x0 ? ? 0 ,则 f ?x ? 在 x 0 取得极小值。 极值的第三充分条件 设 f ?x ? 在 x 0 的某邻域内存在直到 n ? 1 阶的导

数, x 0 处 n 阶可导, f ? k ? ? x0 ? ? 0, ? k ? 1, 2,...n ? 1? , f ? n ? ? x0 ? ? 0 ,则(i)当 n 为 在 且? ? 偶数时, f ?x ? 在点 x ? x0 取得极值,且当 f ? n ? ? x0 ? ? 0 时, f ?x ? 在 x ? x0 取得极 ? 大值;当 f ? n ? ? x0 ? ? 0 时, f ?x ? 在 x ? x0 取得极小值;(ii)当 n 为奇数时, f ?x ? ? 在点 x ? x0 处无极值。 2、二元函数取极值的充分、必要条件 极值的必要条件 若函数 f ( x, y ) 在点 p0 ( x0 , y 0 ) 存在偏导数,且在 p 0 点 取得极值, 则有 f x?( x0 , y 0 ) ? 0 ,f ?( x0 , y 0 ) ? 0 , 即极值点 p 0 必为 f ( x, y ) 的驻点。 极值的充分条件 设 z ? f ? x, y ? 在点 p0 ? x0 , y0 ? 的某邻域内有连续的二

阶偏导数,且 f x? ? x0 , y0 ? ? 0 , f y? ? x0 , y0 ? ? 0 ,若
?? [ f xy ( x0 , y 0 )] 2 ? f x?? ( x0 , y 0 ) ? f y??2 ( x0 , y 0 ) ? 0 , 则 p0 ? x0 , y0 ? 是 z ? f ? x, y ? 的 一个 极 值 2

点。 ① f x?? ? x0 , y0 ? ? 0 ,(或 f y?? ? x0 , y0 ? ? 0 ),则 p0 ? x0 , y0 ? 为极小值点;
2
2

②若 f x?? ? x0 , y0 ? ? 0 (或 f y?? ? x0 , y0 ? ? 0 ),则 p0 ? x0 , y0 ? 为极大值点。
2
2

5

3、极值充分条件的证明 (1)极值第一充分条件的证明: (i)由定理的条件及可导函数单调递增(递减)的充分条件, f ? x ? 在
( x0 ? ? , x0) 内递增,在 ( x0, x0 ? ? ) 内递减,又由 f ? x ? 在 x0 处连续,故对任意
x ? U 0 ? x0 , ? ? ,恒有 f ? x ? ? f ? x0 ? ,即 f ? x ? 在 x0 取得极大值。

(ii)同理可得(ii)。 f ? x ? 在 ( x0 ? ? , x0) 内递减,在 ( x0, x0 ? ? ) 内递增,又
0 ? 由 f ? x ? 在 x0 处连续, 对任意 x ? U ? x0 , ? ? , 恒有 f ? x ? ? f ? x0 ? ,即 f ? x ? 在 x0 取

得极小值。 (2)极值第二充分条件的证明: 设函数 f ? x ? 在 x0 处带皮亚诺余项的泰勒公式
f ( x) ? f ( x 0) ? f ?( x 0)( x ? x 0) ? 1 f ??( x 0)( x ? x 0) 2 ? ? (( x ? x 0) 2 ) , 2! f ??( x0) 由于 f ?( x0) ? 0 ,所以 f ( x) ? f ( x0) ? [ ? ? (1)]( x ? x0) 2 2

(1)

这里 ? (1) 为 x ? x0 时的无穷小量,因而存在 0 ? ? ? ? ? ,当 x ? U ( x0, ? ?) 时
1 f ??( x0) ? ? (1) 与 f ??( x0) 具有相同的符号,故当 f ?? ? x0 ? ? 0 时,(1)式右端取负 ? 2

值,从而对任意 x ? U ( x0, ? ?) ,有 f ? x ? ? f ? x0 ? ? 0 ,即 f (x) 在 x0 取得极大值。 同样当 f ??( x0) ? 0 时,(1)式右端在 x ? U ( x0, ? ?) 时有 f ( x) ? f ( x0) ? 0 ,即
f (x) 在 x0 取得极小值。

(3)极值的第三充分条件的证明: 由所给条件及泰勒公式我们有
f ( x ) ? f ( x 0) ? f f
(n)

( x 0) ( x ? x 0) n ? ? (( x ? x 0) n ) n!



f ( x ) ? f ( x 0) ?

(n)

( x 0) ? ? (1) ( x ? x 0) n n!

(1)

6

其中 o ?1? 为当 x ? x0 时的无穷小量。因为 f ? n ? ? x0 ? ? 0 由极限的保号性 定理,正数 ? ,当 x ? U ( x0, ? ) 时, f
(n)

( x0) ? ? (1) 与 f ( n ) ( x 0) 同号。

n (n) 1)当 n 为偶数时, 恒有 ( x ? x0) ? 0 ,故若 f ( x0) ? 0 时,则对一切

x ? U ( x0, ? ) 有 f ( x) ? f ( x0) ? 0 ,于是 f (x) 在 x ? x0 取得极大值。当 f ( n ) ( x0) ? 0

时,对一切 x ? U ( x0, ? ) 有 f ( x) ? f ( x0) ? 0 ,于是 f (x) 在 x ? x0 取得极小值。
n 2) n 为奇数时, x0 的任一邻域内, x ? x0 时 ( x ? x0) ? 0 , x ? x0 时 在 当 当

( x ? x 0) n ? 0 , 而(1)式右端第一个因子当 x 在 U ? x0 ? 内取值时不改变正负号,

于是(1)式左端的差 f ( x) ? f ( x0) ,当 x 由小于 x0 变成大于 x0 时改变了正负 号。即在 x0 的任一邻域内 f (x) 有大于 f ( x0) 的值,也有小于 f ( x0) 的值。因 此 f (x) 在点 x0 处不可能取得极值。 有了以上的判别条件,我们就可以根据不同的题目来利用不同的条 件,从而求出极值。 二、极值与最值的名人成就 前面的关于极值和最值的概念和性质都是由费马早在几百年前的研 究得来的,所以我们在研究极值和最值的时候不得不提到费马。 费马和笛卡尔是解析几何的两位创始人,而微积分的得出都是与几 何相关的,所以费马也可以说是微积分学得先驱者之一。同时他也是将 坐标方法引进无限小问题尤其是微分学问题研究的先锋。他著有著名的 《求极大值与极小值的方法》 。那么我们就来了解一下费马在这本书中求 极值的理论。他在求极大值和极小值时的全部理论以两个未知的量和下 列法则为基础: 设 a 是问题中的任一未知量(它是一维、二维或三维的量,视问题提
7

法而定)。让我们用包含 a 的任意次幂的诸项来表示极大量或极小量。现 在用 a ? e 代替原来的未知量 a ,另用包含 a 和 e 的任意次幂的诸项表示极 大量或极小量。然后使这两个极大量或极小量表示式相逼近并消去公共 项。这时可以看出两边都含有 e 或其幂的项,用 e 或 e 的高次幂除各项, 使 e 从这些项的至少一项中消失,然后舍弃所有那些仍然出现 e 的项,使 两边的剩余项相等,或者若两式之一已化为零,则使另外式中的正项等 于负项也一样。最后这个方程的解所产生的 a 值,代入原来的表达式就可 得出极大值或极小值。这里举一个例子: 将线段 AC 在 E 点分为两部分(图 1),使 AE ? EC 取最大值。

记 AC ? b ,设 a 是两线段之一,另一线段将为 b ? a ,它们的积将是
ba ? a2 ,我们要求的就是这个积的最大值。现在设 b 的第一条线段为 a ? e ,

第二条线段将为 b ? a ? e ,它们的积将为 ba ? a2 ? be ? 2ae ? e2 ;这个表达式必 须逼近前一个表达式 ba ? a2 ,消去公共项 be ~ 2ae ? e ,再消去 e 得 b ? 2a 。 为了解决所提问题,最后必须取 a 为 b 的一半。 费马把韦达的代数理论应用到帕普斯《数学问题》中的一个问题, 便得到了求最大值最小值的方法。他在《求极大值和极小值的方法》中 就是用上面的例子加以说明的。 费马认为这个方法有普遍的适用性。他说: “如果 a 是自变量,并且 如果 a 增加到 a ? e ,则当 e 变成无限小,且当函数经过一个极大值(或极小
8

值)时,函数的前后两个值将是相等的,把这两个值等同起来,用 e 除方 程,然后使 e 消失,就可以从所得的方程确定使函数取最大值或最小值的
a 值。这个方法实质上是他用来求曲线的切线的方法,但是求切线时基于

两个三角形相似,而这里是基于两个函数值相等。 遗憾的是,费马对于他的方法从来未从逻辑上作过清楚和全面的解 释,因此对于他究竟是怎样考虑这个问题的,一些数学史专家曾经产生 过争论。 费马没有认识到有必要去说明先引进非零 e , 然后用 e 通除之后, 令 e ? 0 的合理性。 但从这里我们可以看出,费马这种求极值的方法已非常接近微分学 的基本观念了。如果用现代的记号,他的规则可以表述如下: 欲 求 f ? x? ( 费 马 先 取 个 别 的 整 有 理 函 数 ) 的 极 值 , 先 把 表 达 式
f ( x ? h) ? f ( x) 按照 h 的乘幂展开,弃去含 h 的各项,命所得的结果等于零, h

再求出方程的根,便是可能使 f ? x ? 具有极值的极值点。他的方法给出了 (可微函数)极值点 x 所能满足的必要条件 f ?( x) ? 0 。费马还有区分极大值 和极小值点的准则,即现在所谓的“二阶导数准则” f ?? ? x ? ? 0 有极大值, (
f ?? ? x ? ? 0 有极小值) ,尽管他没能系统的研究拐点( f ??( x) ? 0 ),但也得到了

求拐点的一种法则。 费马的一个重要研究关于极值在物理中的应用非常著名并且应用广 泛,那就是著名的“费马定理” 。费马定理 亦称“地震波传播的最小行 程原理”。在各向同性的连续介质中,地震波沿时间为极值的路径传播。 是法国数学家、物理学家费马提出的光波传播的最短时间路程原理在地 震学中的应用,故名。当地震波以波速 V 沿射线 AMNB 传播,则波从 A 传
9

到 B 所需要的时间为
t ? ? F x, y, z, x, y, z du
u? u?

?

?

式中 u 为表达射线的参变量,
x ? x ? u ? , y ? y ? u ? , z ? z ? u ? , F x, y , z , x, y , z ?

?

?

x ?y ?z v

2

2

2

费马原理归之为泛函极值问题,其变分形式为
? t ? ? ? F x, y, z, x, y, z du
u? u?

?

?

函数 F 满足欧勒方程,即为所求极值函数。费马原理是研究地壳及 地球内部构造的地震学方法中的基本原理之一,对任何类型波的传播均 适合。在认识了极值与最值名人成就之后,我们会发现研究极值与最值 的重要性,对我们日常生活中带来的方便,所以我们必要继续研究和发 掘。下面就来继续研究极值与最值问题在数学中的求法及应用。

三、极值与最值问题在数学中的求法及应用
(一)极值与最值的求法 1、一元函数的极值与最值 极值与最值的区别:极值是指在函数某一点邻近的最值,它是有局 部性的,而最值具有整体性,是就函数在某一区间而言的最大、最小值。 设 f (x) 定义域为 [a, b] 。 (1)求极值的步骤: (i) 求 f ?(x) ,并求出在 ? a, b ? 内使 f ?(x) =0 和使 f ?(x) 不存在点,设为;
xi

?i ? 1,2,.., k ? ;
(ii) 用某个极值的充分条件来判别所求点 xi 是否为极值点; (iii) 若 x m 为极值点,则 f ( xm) 为极值。
10

(2) 求最值的步骤: (i) 求 f ?(x) ,并求出在 ? a, b ? 内的所有驻点和使 f ?(x) 不存在的点; (ii) 计算出步骤(1)中所得到的各点的函数值及 f (a), f (b) ; (iii) 比较以上各函数值的大小,最大者为最大值,最小者为最小 值。若 y ? f (x) 为依据实际问题建立的函数关系,它在 ? a, b ? 或 ? a, b ? 上是可 微的,且 f (x) 在 ? a, b ? 内只有一个驻点,则 f ( x0) 即为所求的最大(最小)值。 例1 已知 lim x?a
f ? x? ? f ?a?

? x ? a?

2

? ?1 ,则 x ? a 处___。

A . f (x) 导数存在且 f ?(a) ? 0
C . f (x) 取极小值

B . f (x) 取极大值 D . f (x) 导数不存在

解:因为没有告知 f (x) 可导,所以要判别其极值只有用定义 由 lim x?a
f ? x? ? f ?a?

? x ? a?

2

? ?1 , 根 据 极 限 定 理 ? ? ? 0 , 使 当 x ? U (a, ? ) , 有

f ( x) ? f (a ) ? 0 ,于是 f ( x) ? f (a) ,故 f (a) 为 f (x) 的极大值,即( B )入选。 ( x ? a) 2

例2

4 3 试求函数 f ( x) ? x ( x ? 1) 的极值。

3 2 解:由于 f ?( x) ? x ( x ? 1) (7 x ? 4) ,所以 x ? 0 , x ? 1 , x ? 是函数的驻 2 2 点求 f (x) 的二阶导数为: f ??( x) ? 6 x ( x ? 1)(7 x ? 8x ? 2) ,由此得 f ??(0) ? 0 ,

4 7

4 4 f ??(1) ? 0及f ??( ) ? 0 , 所 以 f (x) 在 x ? 时 取 得 极 小 值 , 求 三 阶 导 数 得 7 7
f ???( x) ? 6 x(35 x 3 ? 60 x 2 ? 30 x ? 4) , f ???(0) ? 0 , f ???(1) ? 0 ,由极值的第三充分条

件, n ? 3 为奇数,所以 f (x) 在 x ? 1 不可能取得极值。求四阶导数得,
f ( 4 ) ( x) ? 0 , 由极值第三充分条件 n ? 4 为偶数, f (x) 在 x ? 0 时取得极大值。 故

综上所述,当 x ? 0 时, f (x) 取得极大值,当 x ? 时, f (x) 取得极小 值驻点 x ? 1 不是 f (x) 的极值点。
11

4 7

例3

2 求函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 在 ? ?3, 4? 上的最大值与最小值。

解:函数 f (x) 在闭区间 ? ?3, 4? 上连续,故必存在最大最小值。由于
? x 2 ? 3x ? 2, x ? ? ?3,1? ? ? 2, 4? ? f ( x) ? x ? 3 x ? 2 ? ? 2 ?? x ? 3x ? 2, x ? ?1, 2 ? ?
2

?2 x ? 3, x ? ? ?3,1? ? ? 2, 4 ? ? f ?( x) ? ? ??2 x ? 3, x ? ?1, 2 ? ?

在 ? ?3, 4 ? 内,的驻点为 x ? 不可导点为 x ? 1, 2
? ? 由于 f ? ?3? ? 20 , f ?1? ? 0 , f ? ? ? , f ? 4 ? ? 6 ,比较可得 f (x) 在 x ? ?3 处取 ?2? 4 3 1

3 2

得它在 ? ?3, 4? 上的最大值 20 ,f (x) 在 x ? 1 和 x ? 2 处取得它在 ? ?3, 4? 上的最小 值0 。 (二)高中求极值最值的方法应用 1、应用重要不等式求极值 例 4 设正数 x, y, z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,求 S ? 解 为便于应用条件,将函数式平方得
S2 ? x2 y2 y2 z2 z2 x2 ? 2 ? 2 ? 2x 2 ? 2 y 2 ? 2z 2 2 z x y
1 ? x2 y2 z2 x2 ? ? 2 2 ? z2 y ? ? 1 ? y2 z2 x2 y2 ?? ? 2 ? 2 ? 2? x z ? ? ? ??2 ? ?

xy yz zx ? ? 的最小值。 z x y

? 1 ? z2 x2 y2 z2 ?? ? 2 ? 2 ? 2? y x ? ? ? 2 ? x2 ? y2 ? z2 ? 3 ?

即 s ? 3 (s ? ? 3 舍去),当且仅当 x ? y ? z ?

3 时, S 的最小值为 3 。 3

注 本题应用了基本不等式 a 2 ? b 2 ? 2ab ,在应用它或均值不等式求最 值时,为使用条件,应根据函数式的特点灵活处理,本题若不将函数式 平方,则难以求解。
12

2、应用换元法求最值 例 5 设 a, b, c, d 是四个不同的实数,使得 ? ? ? ? 4 ,且 ac ? bd, 求
a b c d ? ? ? 的最大值。 c d a b

a b

b c

c d

d a

解 设 x ? , y ? ,由 ac ? bd ,得 约 束 条 件 x ? 1, y ? 1, x ? y ? ?
x? 1 x

a b

b c

d c 1 c b 1 ? ? , ? ? ,问题转化成在 a b y d a x

1 y 1 x ? 4 下 求 xy ? ? ? 的最大值。又设 y x xy y

1 1 1 1 y 1 x 1 则 当 ? e, y ? ? f , ef ? ( x ? )( y ? ) ? xy ? ? ? 。 t ? 0 时,t ? ? 2 。 x y x y x xy y t

1 又由 x ? y ? x ?1 ? y ?1 ? 4 , x, y 不同号(否则有 x ? y ? 1 )。 知 t ? 0 时,t ? ? ?2 。 t

不 妨 设 x ? 0, y ? 0 , 则 f ? ?2 , e ? 4 ? f ? 6, ef ? ?12 。 当 且 仅 当 y ? ?1 ,
x ? 3 ? 2 2 时等号成立。特别地,当 a ? 3 ? 2 2 , b ? 1, c ? ?1, d ? ?3 ? 2 2 时等

号成立,故所求的最大值为 ? 12 。 通过适当换元,将原问题变为一个较易解决的问题,是极为重要的 转化手段,这在求条件最值中也很有用。作何种代换,都应根据问题的 特点灵活选取。 (三)多元函数的极值与最值 下面我们就以二元函数为例来讨论多元函数的极值与最值问题。 在求多元函数极值时,一般涉及两种条件下的情况,一种是无条件 极值,一种是条件极值。无条件极值问题 ? 函数中的自变量只受定义域约 束的极值问题。条件极值问题 ? 函数中的自变量除受定义域约束外,还受 其他条件限制的极值问题。 1、无条件极值解决方法: (1)利用二阶偏导数之间的关系和符号判断是否取极值及极值的类
13

型。具体步骤为:
? f ? ( x, y ) ? 0 ? (i)求 f ( x, y ) 的偏导数 f x ( x, y ) 与 f y ( x, y ) , ? x ? ; ? f y ( x, y ) ? 0 ?
?
?

(ii)由取得极值的必要条件,解方程组,得出驻点; (iii)再求出二阶偏导数,利用取得极值的充分条件来判断上述驻 点是否是极值点及极值的类型。 (2)配方法: 适用于多项式或类似于多项式的函数类型, 常用方法(1) 无法解决的问题。这类题通常会给出一个等式,等式中含有几个未知量, 而其中一个未知量由另外几个未知量确定。 (i)先配方,再导出被确定未知量的含有其余未知量的表达式; (ii)求出在被确定的未知量达到极值时其余未知量的值; (iii)将由②得出的值带入表达式中,得出极值。
2 2 2 例 6 求由方程 x ? y ? z ? 2 x ? 2 y ? 4 z ? 10 ? 0 确定的函数 z ? f ( x, y) 的

极值。 解法一:将原方程的两边分别对 x , y 求偏导,得
?2 x ? 2 zz ?x ? 2 ? 4 z ?x ? 0 ? ?2 y ? 2 zz ?y ? 2 ? 4 z ?y ? 0 ? 由函数取极值的必要条件: z ?y ? 0 ? ? z ?x ? 0

(1) (2)

将(2)代入式(1)解得 x ? 1 , y ? ?1 , p ?1, ?1? 为驻点, 将(1)的两个方程分别对 x, y 求偏导,得
A ? z ??x 2 p ?
( z ? 2) 2 ? (1 ? x ) 2 1 ? 3 p 2? z (2 ? z ) (2 ? z ) 2 ? (1 ? y ) 2 1 = 3 p 2? z (2 ? z )

(3)

B ? z ??xy p ? 0 , C ? z ??y 2 p=
14

2 因为 B ? AC ? ?

1 ?0 (2 ? z ) 2

( z ? 2) ,所以 z ? f ( x, y ) p 取极值。

将 x ? 1 , y ? ?1 代入原方程,得 z1 ? ?2 , z2 ? 6 ,把 z1 ? ?2 代入(3),
A=
1 2? z

?
z ? ?2

1 ? 0 ,故 z ? f ?1, ?1? ? ?2 为极小值,把 z2 ? 6 故代入式 (3) 4

A?

1 2? z

? z=6 -

1 ?0, 4

故 z ? f ?1, ?1? ? 6 为极大值。

解法二:配方法 原方程变形为

? x ? 1? ? ? y ? 1? ? ? z ? 2 ?
2 2

2

? 16 于是, z ? 2 ? 16 ? ? x ? 1? ? ? y ? 1? 显然,
2 2

当 x ? 1, y ? ?1 时, 根号中的极大值为 4 , 由此可知 z ? 2 ? 4 为极值,z ? 6 为极大值, z ? ?2 为极小值 (四)极值与最值在高等数学中的应用 1、极值与最值在不等式证明中的应用 例 7 设 0 ? ? ? 1 ,证明不等式 x? ? ? x ? 1 ? ? ? x ? 0 ?
? 证明: f ( x) ? x ? ? x ,

当 x ? 0 时, f '( x) ? ? ? x

? ?1

? 1? 只有一个零点 x ? 1 ,有 f '' ?1? ? ? ?? ? 1? ? 0 ,

说明 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上仅有唯一的极值 f ?1? ? 1 ? ? 。 且 又 为 极 大 值 , 因 而 也 是 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 的 最 大 值 , 又 由 于
f ? 0 ? ? 0 ? 1 ? ? ,故有 x? ? ? x ? 1 ? ? ? x ? 0 ? 。

2、极值与最值在三角函数中的应用 例 8 求函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的最大值和最小值。 解 则 令
t ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ) , 4
t 2 ? 1 ? 2 sin x cos x , sin x cos x ?

?

t 2 ?1 , 2

15

所以

y?

t 2 ?1 1 ? t ? (t ? 1) 2 ? 1 。 2 2

当 t ? 2 时, y 有最大值 ( 2 ? 1) 2 ? 1 即 ? 2 ; 当 t ? ?1 时, y 有最小值 ? 1。 (五)条件极值的解法: 1、化为无条件极值问题,在依据无条件极值的解题步骤来解题。 2、更一般的是利用拉格朗日乘数法求解 下面以二元函数为例. 在约束条件 ? ( x, y ) ? 0 下,如果目标函数 u ? f ( x, y) 的最大(小)值是 存在的,那么可按下述步骤来求其最大(小)值. (1)写出辅助函数 L( x, y) ? f ( x, y) ? ? ? ? ( x, y) ,其中 ? 是一个待定的 常数,称为拉格朗日乘数. (2)求出辅助函数的偏导数: L'x ( x, y ) 和 L'y ( x, y ) .
? L'x ( x, y ) ? 0 ? (3)求出满足方程组 ? L'y ( x, y) ? 0 的所有解 ( x0 , y0 ) . ? ?? ( x, y ) ? 0

1 2

1 2

(4)分别求出目标函数 u ? f ( x, y) 关于这些点 ( x0 , y0 ) 的函数值,这些 值中最大或最小的,就是在约束条件 ? ( x, y ) ? 0 下, u ? f ( x, y) 的最大值或 最小值 例 9 求函数 u ? x 2 ? y 2 ? z 2 在约束条件 z ? x 2 ? y 2 和 x ? y ? z ? 4 下的最大 值和最小值。 解:本题求多元函数的条件极值,利用拉格朗日乘数法求解
L ? x, y , z , a , b ? ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? a ? x 2 ? y 2 ? ? b ? x ? y ? z ? 4 ?

16

??L ? ?x ? 2 x ? 2ax ? b ? 0 ? ?L 令 ? ? 2 y ? 2ay ? b ? 0, 联合 z ? x 2 ? y 2 和 x ? y ? z ? 4 解之得 ? ? ?y ? ?L ? ? 2z ? a ? b ? ?z

驻点 p1 ? ?2, ?2,8? , p2 ?1,1, 2 ? 又 ? x2 ? y2 ? z 2 ? ?2,?2,8 ? 72, ? ? 所求的最大值为 72 ,最小值为 6 (六)多元函数的极值、条件极值和最值的关系

?x

2

? y2 ? z 2 ?

?1,1,2?

?6故

在讲到多元函数的微分法的应用方面都列举了多元函数的极值、条 件极值和最值的有关理论和例题,至于三者的关系很少谈起,下面我们 就此问题浅谈一下。 定理 1(极值与条件极值的关系) :设 z ? f ? x, y ? 定义在开区域 D 内,
? ? x, y ? ? 0 表示一条平曲线 ? ,且 ?? D ,若 z ? f ? x, y? 在 P0 ? x0 , y0 ? 点处有极

值,且 p0 ?? ,则 f ? p0 ? 也是 z ? f ? x, y ? ,在条件 ? ? x, y ? ? 0 下的条件极值, 反之不真。 定理 2(极值与最值的关系) :假设 z ? f ? x, y ? ,在开区域 D 内有有限 个极值, Z 在 D 内有最大值和最小值, 且 则最大值和最小值就是极值中的 最大值和最小值。 定理 3 (极值、条件极值和最值的关系) :设 z ? f ? x, y ? 在开区域 D 上 定义,区域 D 的边界是一条平面曲线 ?(它可以是一条闭曲线也可以是几 条曲线组成的闭曲线) 。则函数 z ? f ? x, y ? 在 D 上的最大、最小值是函数 D 内的极值和函数 Z 在条件 ? 下的条件极值中的最大、最小值。 了解了三者的联系,那么我们来用定理 3 求函数的最值 例 10 研究函数 z ? x 2 ? y 2 在区域 D : ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 上的最值。
2

17

解:由于 D 在闭区域,且函数 Z 在 D 上连续,所以最值存在。 根据定理 3 我们有
? z ?x ? 2 x ? 0 ? ? z ?y ? 2 y ? 0

得 x ? y ? 0 ,但原点不属于区域 D ,所以,在 D 内函数 z ? x 2 ? y 2 没有极 值。再设 F ? x, y, ? ? ? x2 ? y 2 ? ? ?? x ? 2? ? y 2 ?1? 有 ? ?
2

? Fx? ? 2 x ? 2? ? x ? 2 ? ? 0 ? , ? ? Fy? ? 2 y ? 2? y ? 0 ?



? x ?1 ? ? ? ? 2 y ? 0 ? , ? ? y ?1 ? ? ? ? 0 ?
2

由于 ? ? 1 ? 0 无意义,得 y ? 0 ,代入到 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 中得 x1 ? 1, x2 ? 3 于是得 zmin ? 12 ? 02 ? 1, zmax ? 32 ? 02 ? 9 。 例 11 设 ?OAB 的三个顶点分别为 O ? 0, 0? , A ?1, 0? , B ? 0,1? 。在 ?ABC 所围 的区域 D 上,求出三个顶点距离平方和最大和最小的点。 解:设点 p ? x, y ? ? D 是要求的点,它到三个顶点 O ? 0, 0 ? , A ?1, 0 ? , B ? 0,1? 的 距离平方和为 z ? x 2 ? y 2 ? ? x ? 1? ? y 2 ? x 2 ? ? y ? 1? ? 3x 2 ? 3 y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2
2 2

由于 Z 在闭区域 D 上连续,故最大、最小值存在。 首先,求 Z 在 D 内的最值 因为 ?
1 1 4 故得 z ? , ? ? 。 ? ? ?3 3? 3
? z ? ? bx ? 2 ? 0 ? 1 1 ? x ? ?x ? , y ? 3 3 ? z ? ? by ? 2 ? 0 ? ? y

其次,再求在三条边上的条件极值 在 OA 边上,有 z ? 3x2 ? 2x ? 2 ,易知当 x ? 1 时即在 A 点处有最大值
z1 ? 3 ,类似的,在 OB 边上,当 y ? 1时(即在 B 处)有 z1 ? 3 在 AB 边上,有

x ? y ? 1,设 F ? x, y, ? ? ? 3x 2 ? 3 y 2 ? 2 x ? 2 y ? ? ? x ? y ? 1?
18

1 ? ? ? 6x ? 2 ? ? ?x ? 2 ?F ? x ? y ? 1, ? x ? y ,解方程组 ? 于是有 ? x 得? , ? ? ? ? Fy ? 6 y ? 2 ? ? ? x ? y, ? ?y ? 1 ? ? 2
1 1 1 1 3 1 将 x ? y ? 代入 Z 中得 z ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?2? ?2? ?2? ? 2?
2 2

综上所述,知点 ? , ? 到 ?OAB 三顶点距离平方和最小, A ?1, 0 ? , B ? 0,1? ? ? 3 3
1 1 ? ?

两点到 ?OAB 三顶点距离平方和为最大,且这最小、最大值分别为 , 。

4 3 3 2

四、极值与最值的实际应用
(一) 、极值与最值在经济学中的应用 经济学是与数学密不可分的学科,好多经济中的问题往往是先用经 济的理论与方法分析问题,最后都归结到数学上来。求解经济问题的关 键是理解经济函数的定义,掌握相关经济函数的边际和弹性的概念,在 解决最值问题时搞清目标函数,然后利用函数求最值的步骤、方法求解。 例 12 某商场购进一批单价为 16 元的日用品,销售一段时间后,为了 获得更多利润,商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件 20 元的 价格销售时, 每月能卖 360 件, 若按每件 25 元的价格销售时, 每月能卖 210 件,假定每月销售件数 y (件)是价格 x (元/件)的一次函数。 (1) 试求 y 与 x 之间的关系式。 (2) 在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多 少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少(总利润=总收 入 ? 总成本)? 解 (1) 由每月销售件数 y (件)是价格 x (元/件)的一次函数, 设 y ? kx ? b ,
19

依题意,得 ? ?

?360 ? 20 k ? b ?210 ? 25k ? b ?

解得 k ? ?30, b ? 960

所以 y ? ?30 x ? 960

(16 ? x ? 32) .

(2) 设销售价格定为 x 时,由总利润=总收入 ? 总成本,得每月获得 利润为
S ? (?30 x ? 960 )( x ? 16) ? 30(? x ? 32)( x ? 16)
? 30(? x 2 ? 48 x ? 512 ) ? ?30( x ? 24) 2 ? 1920

所以,当 x ? 24 时,每月获得利润 S 有最大值,最大值为1920 元。 例 13 生产某产品必须投入两种要素 x1 , x2 , x1 和 x2 分别为两要素的 投入量, Q 为产出量,若生产函数为 Q ? 2 x1? x2? 其中 ? , ? 为正常数 ,且
? ? ? ? 1 ,假设两种要素的价格分别为 p1 和 p2 ,试当问产出量为12 时,

两要素各投入多少可使得投入总费用最少? 思路探究:该题为条件极值的实际应用题,应用拉格朗日乘数法求 解,即在产出量 2 x1? x2? ? 12 的条件下,求投入总费用 p1 x1 ? p2 x2 的最小值。 解:做拉格朗日函数
? ? F ? x1 , x2 , ? ? ? p1 x1 ? p2 x2 ? ? ?12 ? 2 x1 x2 ?



? ? ? Fx1 ? p1 ? 2?? x1 ?1 x2 ? 0, ?1? ? ? ?1 ? ? Fx2 ? p2 ? 2?? x2 x1 ? 0, ? 2 ? ? ? ? ? F ? ? 12 ? 2 x1 x2 ? 0, ? 3?

由(1)和(2)得

p1 ? x1 p? ? ? x1 ? 2 x2 p2 ? x2 p1?
? ??

将 x1 代入(3)得 x2

? p? ? ? 6? 1 ? ? p2? ?
?

?

? p? ? 因为 ? ? ? ? 1 ,所以 x2 ? 6 ? 1 ? ? p2? ?

20

同理

?p?? x1 ? 6 ? 2 ? 因 为 驻 点 唯 一 , 且 实 际 问 题 存 在 最 小 值 , 故 当 ? p1? ?
?

?

?p?? ? p? ? x1 ? 6 ? 2 ? , x2 ? 6 ? 1 ? 时投入总费用最少。 ? p1? ? ? p2? ?

?

(二) 、极值与最值在物理中的应用 例 14 某工厂用铁板做成一个体积为 2m3 的有盖长方体水箱, 问当长、 宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? 解:设水箱的长为 xm ,宽为 ym ,则其高应为 的面积 A = 2 ? xy ? y
? ?

2 m ,此水箱所用材料 xy

? 2 2 ? 2 2? ? x ? ,即 A = 2 ? xy ? ? ? , ? x ? 0, y ? 0 ? xy xy ? x y? ?

可见材料面积 A 是 X 和 Y 的二元函数,这就是目标函数,下面求使这函数 取得最小值得点 ? x, y ? 令
2? ? Ax ? 2 ? y ? 2 ? ? 0 x ? ?
? 2 ? Ay ? 2 ? x ? 2 ? ? 0 y ? ?

解这方程组,得 x ? 3 2, y ? 3 2 根据题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区间
D?

?? x, y ? x ? 0, y ? 0? 内取得,又函数在 D 内只有唯一的驻点 ?

3

2, 3 2 因此可

?

断定当 x ? 3 2, y ? 3 2 时 A 取得最小值, 就是说, 当水箱的长为 3 2 , 宽为 3 2 , 高为 3 2 时,水箱所用的材料最省。 1、浅解费马问题 在极值问题的物理解法中, 常用的物理原理是:势能最小原理。 所谓势能最小原理是指:在一个力学系统内,它的势能达到最小时
21

的位置是平衡位置,这里的平衡是指稳定的平衡。 也就是说,当这个力 学系统处于稳定的静止状态时,这时所具有的势能最小。 我们用这一定理来解决费马问题。 费马问题:在一块薄板上画出 ?ABC ,将 A 、 B 、 C 三点钻成光滑的小 孔、将薄板水平放置,距地面高 h 、取三根 l 长的细线,一端结在一起, 放在平板上,另一端各穿过一个小孔伸到薄板下面,再各系上一个质量 同是 m 的砝码(见图) 。放手让这个由绳子和砝码组成的系统平衡,这时 三根绳子的结点所在的位置 P 点即为所求。
C

A

P

B

m m m

道理是:在平衡时,整个系统的势能
E ? mg[h ? (l ? AP)] ? mg[h ? (l ? BP)] ? mg[h ? (l ? CP)] ? mg[3h ? 3l ? ( AP ? BP ? CP)]

根据势能最小原理, 上述平衡位置时的势能 E 达到最小值, 由于上式 中 m, g , h, l 均为常量,这就是说,这时的 AP ? BP ? CP 取得最小值。

小结
以上是对高等数学中的极值与最值问题的论述。我们可以看到先辈 对于这个问题的研究成果,他们早在几百年前就有如此深刻的研究,让 我们深感钦佩,钦佩的同时我们又继承了先辈的研究成果,发展成了现 在的关于极值与最值的理论。文章中又通过这些理论对我们学习高等数
22

学中会接触到的题和实际生活中的问题都加以了说明。通过文章中的例 证可见数学对其他学科的辅助作用及其基础性和重要性。事实上,人们 在研究这些纯数学理论时,都是从这些实际问题中得来的,最后又反回 到实践中去,来指导实践也就是说数学知识是客观世界量的关系在人们 头脑中的反映,是第二性的。而客观世界的量的关系又是通过实践的方 式被人们认识的。 既然数学又如此的重要性,我们就应该很好的运用先人的研究成果、 思维方式、解决问题的思路和方法,在理论上不断的进行研究,不断的 创新,同时又将这些纯数学理论引入到其他学科中。在极值与最值这个 问题上也一样,这里只是浅谈了这个问题,希望在以后继续发展和完善。 参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] [8] 吴文俊: 《世界著名数学家传记》 ,北京,科学出版社,1997。 李文林: 《数学珍宝》 ,北京,科学出版社, 1998.10。 陈文灯/黄先开,曹显兵: 《数学复习指南》 ,北京,世界图书出版公司, 2004.2。 同济大学数学教研室: 《高等数学》 ,北京,人民教育出版社, 1982.5。 范秋,沈锡文,刘芸, 傅珉:《数学分析》 ,北京师范大学出版社, 1991. 7。 刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁:数学分析讲义[M],北京,高等教育出版社,2003。

23


相关文章:
浅淡中学数学中最值的求解大学毕业论文
本科毕业论文(设计) 题学学 目:浅淡中学数学最值的求解 生:姚雪飞学号: 201140510448 专业: 数学与应用数学 09 月 讲师 03 月 20 日 15 日 院:数学与...
论文初稿函数的极值和最值及其应用 结课论文
华北水利水电学院 函数的极值和最值及其应用 课程名称: 高等数学(2) 专业班级: 测控技术与仪器(89)班成员组成: 联系方式: 15639726150 2012 年 5 月 27 日 ...
二元函数的极值与最值
编号 学士学位论文二元函数的极值与最值学生姓名: 阿布都热西提.米几提 学系专年号: 部: 业: 级: 20070101013 数学数学与应用数学 2006-3 班年 4 月 30 ...
浅谈函数极值的求法及应用毕业论文
本科毕业论文 论文题目: 学生姓名: 专业: 浅谈函数极值的求法及应用 于淼 数学...在求最值的问题中,我们就用到了函数极值的 概念,所以函数极值的讨论具有非常...
函数极值的求法 大学毕业论文
论文选题方法相关文档推荐 暂无相关推荐文档如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...这类问题可归结为数学中的最大值和最 小值,函数的极值和最值有一定的联系,...
论文_图文
论文_经济学_高等教育_教育专区。学号:2012025786 哈尔滨师范大学 学士学位论文 题学 目生 浅谈数学分析中的极值与最值问题 张小乐 王云花 2012 级 数学与应用...
最优化课程论文——无约束极值问题的PDF求解方法
最优化课程论文——无约束极值问题的PDF求解方法_数学_自然科学_专业资料。无约束...本文在学习最优化方法课程的基础上,运用改进牛顿法,近 似求解无约束极值问题; ...
拉格朗日中值定理的应用毕业论文(1)
拉格朗日中值定理的应用毕业论文(1)_管理学_高等教育_教育专区。本科毕业论文 ...定理中最重要的一个,具有中值性,在微分中值定理和高等 数学中有着承上启下...
拉格朗日中值定理的应用毕业设计
拉格朗日中值定理的应用毕业设计_工学_高等教育_教育专区。毕业论文,单片机论文,...定理中最重要的一个,具有中值性,在微分中值定理和高等 数学中有着承上启下...
中值定理在不等式证明中的应用本科毕业论文
编号: 本科毕业论文 题目:中值定理在不等式证明中的应用 系姓学专年 院:数学...函数的极值点或最值点、已 知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作...
更多相关标签: