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2016届高考数学一轮复习 6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 理


第三节

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

基础回 顾K 一、二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,设有直线 Ax+By+C=0(B 不为 0)及点 P(x0,y0),则 (1)若 B>0,Ax0+By0+C>0,则点 P 在直线的上方,此时不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域; (2)若 B> 0,Ax0+By0+C<0,则点 P 在直线的下方,此时不等式 Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域(注:若 B 为负,则可先将其变为正). 由此可知,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线.当我们在坐 标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时, 此区域应包括边界直线, 则把边界直线 画成实线. 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它们的坐标(x,y)代入 Ax+By +C,所得到的实数的符号都相同,所以只需 在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从 Ax0 +By0+C 的正负情况,即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当 C≠0 时,直线不过原点,通常把原点作为特殊点. 二、线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解, 由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函 数的定义域),使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解. 线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x,y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y); (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数); (6)观察图形,找到直线 f(x,y)=t 在可行域上使 t 取得所求最值的位置,以确定最优 解,给出答案. 生产实际中有许多问题 都可以归结为线性规划问题.

基础自 测K 3x+y-6≥0, ? ? 1.(2013·天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, 则目标函数 z=y-2x 的 ? ?y-3≤0,
1

最小值为(A) A.-7 B.-4 C.1 D.2 解析:可行域如图阴影部分(含边界), 令 z=0,得直线 l0:y-2x=0,平移直线 l0 知, 当直线 l 过 A 点时,z 取得最小值.
? ?y=3, 由? 得 A(5,3). ?x-y-2=0, ?

所以 z 最小=3-2×5=-7,故选 A. x≥0, ? ? 2y+2 2.设 x,y 满足约束条件?y≥x, 则 的最大值是(D) x+ 1 ? ?4x+3y≤12, A.5 B.6 C.8 D.10 y+1 解析:画出可行域如图, 的几何意义是点 M(-1,-1)与可行域内的点 P(x,y)连线 x+1 4-(-1) 的斜率,当点 P 移动到点 N(0,4)时,斜率最大,最大值为 =5, 0-(-1) ∴ 2y+2 =2×5=10.故选 D. x+1

x≥1, ? ? 2 2 3.已知?x-y+1≤0, 则 x +y 的最小值是 5. ? ?2x-y-2≤0, 解析:令 z=x +y ,画出可行域,如图所示,令 d= x +y ,即可行域中的点到原点的 距离,由图得 dmin= 1+4= 5, 2 ∴zmin=d =5. x-1≥0, ? ? 4.已知实数 x,y,z 满足条件?x-y-1≤0,z=y-ax,若使 z 取得最大值的有序数对 ? ?x-3y+3≥0, 1 (x,y)有无数个,则 a= . 3
2 2 2 2

高考方向 1.以选择题、填空题的形式考查平面区域问题,常常与图形面积、函数图象、曲线与方 程、几何概型等问题联系在一起. 2.以考查线性目标函数的最值为重点,兼顾考查非线性目标函数的最值或范围问题. 3.主要在选择题、填空题中出现,有时也会解答题中出现,考查线性规划的实际应用, 属中低档题.

2

品 味 高 考 y≤2x, ? ? 1.(2013·湖南 卷)若变量满足约束条件?x+y≤1,则 x+2y 的最大值是(C) ? ?y≥-1, 5 A.- B.0 2 5 C. 3 5 D. 2

5 ?1 2? 解析:区域为三角形,直线 u=x+2y 经过三角形顶点? , ?时,u= 最大.故选 C. 3 ?3 3? x+y-2≤0, ? ? 2 .(2014·安徽卷)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得最大值的最优 ? ?2x-y+2≥0. 解不唯一,则实数 a 的值为(D) 1 A. 或-1 2 1 B.2 或 2 C.2 或 1 D.2 或-1

解析:结合图形求解.约束条件对应的平面区域是以直线 x+y-2=0,x-2y-2=0 和 2x-y+2=0 为边界围成的三角形, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, 则 a=2 或-1, 故选 D. 高 考 测 验 x-y+2≤0, ? ? y 1.已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的最大值是 6. x ? ?x+y-7≤0, y 解析:先画出可行域(如图), 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O(0,0)连线的斜率,当 x y 直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. x

x-y+3≥0, ? ? 2.如果实数 x,y 满足?x+y-1≥0,若直线 x+ky-1=0 将可行域分成面积相等的两 ? ?x≤1,
3

1 部分,则实数 k 的值为 . 3 解析:依题意,直线 x-y+3=0 分别与直线 x+y-1=0,x=1 的交点为 A(-1,2), B(1,4),在坐标平面内,画出题中的不等式组表示的平面区域,结合图形可知要使直线 x+ ky-1=0 将该平面区域分成面积相等的两部分,直线 x+ky-1=0 必过线段 AB 的中点(0, 1 3),于是有 3k-1=0,k= . 3

课时作业 1.在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线 x-2y+4=0 的上方,则 t 的取值范围是 (B) A.(-∞,1) B.(1,+ ∞) C.(-1,+∞) D.(0,1) 解 析: 将 x=-2 代入直线 x-2y+4=0 中, 得 y=1.因为点(-2, t)在直线上方, ∴t>1. x+y≤10, ? ? 2.设实数 x 和 y 满足约束条件?x-y≤2, 则 z=2x+3y 的最小值为(D) ? ?x≥4, A.2 6 B.24 C.16 D.14

? ?y≥2|x|-1, 3.在坐标平面内,不等式组? 所表示的平面区域的面积为(B) ?y≤x+1 ?

A.2 2

8 2 2 B. C. 3 3

D.2

? 2 1? 解析:作出不等式组所表示的可行域(如图)通过解方程可得 A?- , ?,B(2,3),C(0, ? 3 3?
1 8 -1),E(0,1),如图可知,S△ABC=S△ACE+ S△BCE= ×|CE|×(xB-xA)= . 2 3

4

2x-y-2≥0, ? ? 4.(2013·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组?x+2y-1≥0,所表示的区 ? ?3x+y-8≤0 域上一动点,则直线 OM 斜率的最小值为(C) 1 1 A.2 B.1 C.- D.- 3 2
? ?x+2y-1=0, 1 解析:如图所示,由? 得A(3,-1).此时线 OM 的斜率最小,且为- . 3 ?3x+y-8=0 ?

5.给出平面区域 G,如图所示,其中 A(5,3),B(2,1),C(1, 5).若使目标函数 P=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个, 则 a 的值为(C) A.4 B.2 C. 1 2 D. 2 3

解析:∵目标函数 P=ax+y, ∴y=-ax+P. 故目标函数值 P 是直线 y=-ax+P 的截距,当直线 y=-ax+P 的斜率与边界 AC 的斜率相等时, 目标函数 P=ax+y 取得最大值的最优解有无数多个, 此时, 5-3 1 1 -a= =- ,即 a= ,故选 C. 1-5 2 2 x-y≥0, ? ? y 6.设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, 则 的最大值是(B) x+1 ? ?2x+y≤1, 1 A.1 B. 4 1 C. 2 D.2

0≤x≤2, ? ? 7.若平面区域?0≤y≤2,是一个梯形,则实数 k 的取值范围是(2,+∞). ? ?y≤kx-2
5

?0≤x≤2, ? 解析:如图,? 表示的区域是一个正方形,当直线 y=kx-2 与线段 BC(不含端 ? ?0≤y≤2

2-(-2) 点)相交时,所给区域表示梯形,由图可得 k> =2. 2-0

8.如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那么 2x-y 的最小值为 1.

解析:设 z=2x-y,当 x=0 时,z=-y, ∴当 y 取得最大值时,z 的值最小; ∵移动直线 2x-y=0 到过点 A 时 y 最大, 即 z 的值最小,此时 z=2×1-1=1. 9.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件 和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的 租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类 产品 140 件,所需租赁费最少为 2_300 元. 解析:设甲种设备需要生产 x 天,乙种设备需要生产 y 天,该公司所需租赁费为 z 元, 则 z=200x+300y,甲、乙两种设备每天生产 A,B 两类产品的情况见下表: 产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品/ 件(≥50) 5 6 B 类产品/ 件(≥140) 10 20 租赁费/ 元 200 300

5x+6y≥50, ? ? x,y 满足的关系式为?10x+20y≥140, ? ?x≥0,y≥0,

6

6 x+ y≥10, ? 6 ? ? 5 ?x+ y=10, 即? 作出不等式表示的平面区域, 当对应的直线过两直线? 5 的交 x+2y≥14, ? ?x+2y=14 ? ?x≥0,y≥0. 点(4,5)时,目标函数 z=200x+300y 取得最小值为 2 300 元. 2 2 10.若直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my-4=0 相交于 P、Q 两点,且点 P、Q 关于直 kx-y+1≥0, ? ? 线 x+y=0 对称,求不等式组?kx-my≤0, 表示的平面区域的面积. ? ?y≥0 解析:依题意直线 x+y=0 必 经过圆心, k m ∴- - =0, 2 2 ∴m+k=0, ∵直线 y=kx+1 和直线 x+y=0 垂直, ∴k=1,m=-1. kx-y+1≥0, x-y+1≥0, ? ? ? ? ∴不等式组?kx-my≤0, 即为?x+y≤0, ? ? ?y≥0, ?y≥0,

如图平面区域为三角形 ABO, 在 x-y+1=0 中, 令 y=0,得 x=-1,
?x-y+1=0, ? 1 由? 得 y= , 2 ?x+y=0, ?

1 1 1 ∴平面区域的面积为 S= ×1× = . 2 2 4 11. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载 重量为 6 吨的乙型卡车. 某天需运往 A 地至少 72 吨的货物, 派用的每辆车需满载且只运送一 次.派用的每辆甲型卡车 需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需 配 1 名工人, 运送一次可得利润 350 元, 该公司应如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数, 才能使公司获得最大的利润,最大利润是多少元?

7

解析:设派用甲型卡车 x(辆),乙型卡车 y(辆),获得利润为 z(元),z =450x+350y, 由题意,x、y 满足关系式

? ?2x+y≤19, 10x+6y≥72, ?0 ≤x≤8, ? ?0≤y≤7,
x+y≤12, 作出相应的平面区域, z=450x+350y=50(9x+7y),
?x+y=12, ? 联立? 解得 x=7,y=5. ? ?2x+y=19

∴点 A 的坐标为(7,5). ∴zmax=50(9×7+7×5)=4 900(元) 所以该公司派用甲型卡车 7 辆,乙型卡车 5 辆,公司的利润最大,最大利润是 4 900 元.

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