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高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解习题 新人教A版必修1


用二分法求方程的近似解
一、选择题 1.下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )

【解析】

利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在 B 中,不满足

f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号,故可采用二分
法求零点.故选 B. 【答案】 B 2.(2014·河南中原名校联考)设 f(x)=lg x+x-3,用二分法求方程 lg x+x-3=0 在(2,3)内近似解的过程中得 f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的 根落在区间( ) B.(2.25,2.5) D.(2.75,3)

A.(2,2.25) C.(2.5,2.75)

【解析】 因为 f(2.25)<0,f(2.75)>0,由零点存在性定理知,在区间(2.25,2.75) 内必有根,利用二分法得 f(2.5)<0,由零点存在性定理知,方程的根在区间(2.5,2.75), 选 C. 【答案】 C 3.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算得 f(0)<0,f(0.5)>0, 可得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容分别为 ( ) A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125) 【解析】 ∵f(0)<0, f(0.5)>0, ∴f(0)·f(0.5)<0, 故 f(x)的一个零点 x0∈(0, 0.5), 利用二分法,则第二次应计算 f? 【答案】 A 4.在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,
3

?0+0.5?=f(0.25). ? ? 2 ?

f(0.68)<0,则函数的一个精确到 0.1 的正实数零点的近似值为(
A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6

)

【解析】 已知 f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数 f(x)的零点的初始区间为[0.64,

1

1 0.72],又 0.68= (0.64+0.72),且 f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72],且该区 2 间的左、 右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 0.7.因此, 0.7 就是所求函数的一个正实数零 点的近似值. 【答案】 C 二、填空题 3 5.用二分法求方程 lnx-2+x=0 在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点 c= , 2 则下一个含根的区间是________. 【解析】 3 1 ?3? 令 f(x)=lnx-2+x,∵f(1)=-1<0,f(2)=ln2>0,f? ?=ln - <0, 2 2 ?2?

?3 ? ∴下一个含根的区间是? ,2?. ?2 ? ?3 ? 【答案】 ? ,2? ?2 ?
6.若函数 f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定 f(x)的零点所在区 间为________.(只填序号) ①(-∞,1];②[1,2];③[2,3];④[3,4];⑤[4,5];⑥[5,6];⑦[6,+∞)

x f(x)

1 136.123

2 15.542

3 -3.930

4 10.678

5 -50.667

6 -305.678

【解析】

∵函数 f(x)的图象是连续不断的,且 f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,

f(4)·f(5)<0,
∴函数零点分别在区间[2,3],[3,4],[4,5]内. 【答案】 ③④⑤ 7.用二分法求函数 f(x)=3 -x-4 的一个零点,其参考数据如下:
x

f(1.600 0)=0.200 f(1.562 5)=0.003
x

f(1.587 5)=0.133 f(1.556 2)=-0.029

f(1.575 0)=0.067 f(1.550 0)=-0.060

据此数据,可得方程 3 -x-4=0 的一个近似解(精确度到 0.01)为________. 【解析】 注意到 f(1.556 2)=-0.029 和 f(1.562 5)=0.003, 显然 f(1.556 2)·f(1.562 5)<0,区间的端点四舍五入都为 1.56,故方程的一个近似 解为 1.56. 【答案】 1.56 三、解答题 8.求函数 f(x)=x +2x -3x-6 的一个正零点(精确度为 0.1).
3 2

2

【解】 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法 逐次计算,列表如下: 区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.625,1.75) (1.687 5,1.75) 中点 1.5 1.75 1.625 1.687 5 1.718 75 中点函数值 -2.625 0.234 4 -1.302 7 -0.561 8 -0.170 7

由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1, 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值. 9.(2014·天津高一检测)借助计算机或计算器,用二分法求方程 log2(x+4)=2 的一 个正根的近似值.(精确度 0.1) 【解】 令 f(x)=log2(x+4)-2 ,其零点为 x0, 借助计算机作出函数 f(x)的图象如图所示.
x x

取正区间[1,2],f(1)≈0.322,f(2)≈-1.415. 取区间[1,2]的中点 x1=1.5, 计算 f(1.5)≈-0.369, 所以 f(1)·f(1.5)<0, 所以 x0∈(1,1.5). 再取区间(1,1.5)的中点 x2=1.25, 计算 f(1.25)≈0.014, 所以 x0∈(1.25,1.5). 同理可得 x0∈(1.25,1.375),

x0∈(1.25,1.312 5),
因为|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1, 故可取 1.312 5 作为此函数的一个零点, 所以方程 log2(x+4)=2 精确度到 0.1 的正根的近似值为 1.312 5. [能力提升层次] 1.(2014·合肥高一检测)函数 f(x)=2x+m 的零点落在(-1,0)内,则 m 的取值范围
x

3

为(

) A.(-2,0) C.[-2,0] B.(0,2) D.[0,2]

【解析】 由题意 f(-1)·f(0)=(m-2)m<0,∴0<m<2. 【答案】 B 2.下列函数不宜用二分法求零点的是( A.f(x)=x -1 C.f(x)=x +2 2x+2
2 2 3

)

B.f(x)=ln x+3 D.f(x)=-x +4x-1
2 2

【解析】 因为 f(x)=x +2 2x+2=(x+ 2) ≥0,不存在小于 0 的函数值,所以不 能用二分法求零点. 【答案】 C 3.(2014·广州高一检测)一块电路板的线路 AB 之间有 64 个串联的焊接点(如图 3?1?2 所示),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多 需要检测______次.

图 3?1?2 64 64 【解析】 第 1 次取中点把焊点数减半为 =32(个), 第 2 次取中点把焊点数减半为 2 4 64 64 =16(个),第 3 次取中点把焊点数减半为 =8(个),第 4 次取中点把焊点数减半为 = 8 16 64 64 4(个), 第 5 次取中点把焊点数减半为 =2(个), 第 6 次取中点把焊点数减半为 =1(个), 32 64 所以至多需要检测的次数是 6. 【答案】 6 4.已知函数 f(x)=ln x+2x-6. (1)证明:f(x)有且仅有一个零点. 1 (2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于 . 4 【解】 (1)因为函数 y=ln x,y=2x-6 在(0,+∞)上都是增函数, 所以 f(x)=ln x+2x-6 在(0,+∞)上是增函数, 所以 f(x)至多有一个零点, 由 f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0, 所以 f(2)·f(3)<0, 所以 f(x)在(2,3)内至少有一个零点, 所以 f(x)有且仅有一个零点.
4

(2)因为 f(2)<0,f(3)>0, 2+3 5 取 x1= = , 2 2

f? ?=ln +5-6=ln -1<0, 2

?5? ? ?

5 2

5 2

?5? 所以 f(3)·f? ?<0, ?2? ?5 ? 所以 f(x)的零点 x0∈? ,3?. ?2 ?
5 +3 2 11 取 x2= = , 2 4

f? ?=ln +2× -6 4
11 1 =ln - >0, 4 2

?11? ? ?

11 4

11 4

?11? ?5? 所以 f? ?·f? ?<0, ? 4 ? ?2? ?5 11? 所以 x0∈? , ?. ?2 4 ? ?11 5? 1 1 因为? - ?= ≤ , ? 4 2? 4 4 ?5 11? 所以满足题意的区间为? , ?. ?2 4 ?

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