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2016-2017学年江苏省无锡市江阴市南菁高中高一(下)开学数学试卷(解析版)


2016-2017 学年江苏省无锡市江阴市南菁高中高一(下)开学数 学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)函数 的最小正周期为 . . 共线,其中 为不共线的单位单位 .

2. (5 分)不等式﹣x2+5x>6 的解集是 3. (5 分)sin75°cos30°﹣sin15°sin150°=

4. (5 分)若向量 向量,则实数 λ 的值等于 与 .

5. (5 分)将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度,再把所

得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式 是 . . . = . .

6. (5 分)已知 α 是第三象限角,tanα= ,则 sinα= 7. (5 分)已知函数 f(x)= 8. (5 分)若向量 , 满足 9. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f[f( )]的值是 且 与 的夹角为 ,则

,若 f(a)=4,则实数 a=

10. (5 分)若不等式(a+2)x2+2(a+2)x+4>0 对一切恒成立,则 a 的取值范 围是 .

11. (5 分)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) , f(﹣ )= .

12. (5 分)若函数 f(x)=lg(x2﹣2mx+3m)在[1,+∞)上是增函数,则 m 的 取值范围为 . + )

13. (5 分) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, 点 P 为对角线 AC 上一点, 则 ( ?( + )的最大值为

14. (5 分)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈[0,1]
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时,f(x)=x,则函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点的个数是



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 15. (14 分)在平行四边形 ABCD 中,A 点的坐标为(1,0) ,B 点的坐标为(3, 2) ,C 点的坐标为(4,﹣1) . (1)求点 D 的坐标; (2)求 与 夹角的余弦值.

16. (14 分)已知 (1)求 tanα 的值 (2)求 的值.

17. (14 分)若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[﹣1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 18. (16 分)据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移 动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一 点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内 沙尘暴所经过的路程 s(km) . (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650km,试判断这场沙尘暴是否会 侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会, 请说明理由.

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19. (16 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= (Ⅰ)求 a,b 的值;

是奇函数.

(Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围. 20. (16 分)已知函数 是定义在(0,+∞)上的函数.

(1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若函数 y=f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n](m<n) ,求实数 a 的取值 范围; (3)若不等式 x2|f(x)|≤1 对 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2016-2017 学年江苏省无锡市江阴市南菁高中高一(下) 开学数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分) (2017 春?江阴市校级月考) 函数 【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论. 【解答】解:由三角函数的周期公式:T= 故答案为:π 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,比较基础. , 的最小正周期为 π .

2. (5 分) (2017 春?江阴市校级月考)不等式﹣x2+5x>6 的解集是 (2,3) . 【分析】将不等式﹣x2+5x>6 变形为 x2﹣5x+6<0,因式分解为(x﹣2) (x﹣3) <0,即可求解. 【解答】解:不等式﹣x2+5x>6 变形为 x2﹣5x+6<0, 因式分解为(x﹣2) (x﹣3)<0, 解得:2<x<3. ∴不等式﹣x2+5x>6 的解集为{x|2<x<3}, 故答案为(2,3) . 【点评】本题主要考查了一元二次不等式解法,比较基础.

3. (5 分) (2014 春?黄岛区校级期末)sin75°cos30°﹣sin15°sin150°=



【分析】利用诱导公式把 sin15°转换成 cos75°,sin150°转换成 sin30°,进而利用 两角和公式求得答案. 【解答】解:sin75°cos30°﹣sin15°sin150°=sin75°cos30°﹣cos75°sin30°=sin(75°﹣ 30°)=sin45°=

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答案:



【点评】 本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用.解题的关键是凑出两角 和公式的形式.

4. (5 分) (2017 春?江阴市校级月考)若向量 为不共线的单位单位向量,则实数 λ 的值等于

与 ±1 .

共线,其中

【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出. 【解答】解:∵向量 位向量, ∴存在实数 k 使得: ∴λ=k,﹣1=﹣kλ. 解得 λ=±1. 故答案为:±1. 【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理,考查了推理能力与计算 能力,属于基础题. =k( )=k ﹣kλ , 与 共线,其中 为不共线的单位单

5. (5 分) (2014?静安区校级三模)将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移 动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所 .

得图象的函数解析式是

【分析】先根据左加右减进行左右平移,然后根据横坐标伸长到原来的 2 倍时, x 的系数变为原来的 倍进行横向变换.从而可得函数解析式. 个单位

【解答】解:由题意,将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 长度,利用左加右减,可所函数图象的解析式为 y=sin(x﹣ )

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,利用 x 的系数变为原 来的 倍进行横向变换,可得图象的函数解析式是

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故答案为 【点评】 本题的考点是利用图象变换得函数解析式,主要考查三角函数的平移变 换,周期变换.关键是利用平移的原则是左加右减、上加下减.

6. (5 分) (2015 秋?成都期末) 已知 α 是第三象限角, tanα= , 则 sinα= 【分析】由已知中





,根据同角三角函数平方关系,我们易求出 cos2α 值,

进而求出 sin2α 的值,结合 α 是第三象限角,sinα<0,即可求出 sinα 的值. 【解答】解:∵ 则 1+tan2α= 则 cos2α= = ,则 sin2α=1﹣cos2α= ,

又∵α 是第三象限角, ∴sinα=﹣ 故答案为:﹣ . 【点评】 本题考查的知识点是同角三角函数间的基本关系,在解答过程中易忽略 α 是第三象限角,而错解为 .

7. (5 分) (2014?广东校级模拟)已知函数 f(x)= 的值是 . ,

,则 f[f( )]

【分析】先求

,故代入 x > 0 时的解析式;求出

=﹣2,

,再求值即可. 【解答】解: ,

故答案为:

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【点评】本题考查分段函数的求值问题,属基本题.求 f(f(a) )形式的值,要 由内而外.

8. (5 分) (2008?上海)若向量 , 满足 则 = .

且 与 的夹角为



【分析】根据 【解答】解:∵ ∴ ∴则 故答案为: = 且 与 的夹角为 =7

可得答案.

【点评】本题主要考查向量的数量积运算,属基础题.

9. (5 分) (2014 秋?浠水县校级期中)设函数 f(x)= 则实数 a= ﹣4 或 2 .

,若 f(a)=4,

【分析】利用分段函数的性质求解. 【解答】解:∵函数 f(x)= ∴当 x≤0 时,﹣a=4,解得 a=﹣4; 当 x>0 时,a2=4,解得 a=2 或 a=﹣2(舍) . ∴a=﹣4 或 a=2. 故答案为:﹣4,2. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质 的合理运用. ,f(a)=4,

10. (5 分) (2017 春?江阴市校级月考)若不等式(a+2)x2+2(a+2)x+4>0 对 一切恒成立,则 a 的取值范围是 [﹣2,2) .
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【分析】当 a+2=0,即 a=﹣2 时,不等式化为 4>0 对一切实数 x 恒成立;当 a+2 ≠ 0 时,要使不等式( a+2 ) x2+2 ( a+2 ) x+4 > 0 对一切实数 x 恒成立,则 ,求解不等式组得到 a 的范围,取并集得答案. 【解答】解:若 a+2=0,即 a=﹣2,不等式化为 4>0 对一切实数 x 恒成立; 若 a+2≠0,要使不等式(a+2)x2+2(a+2)x+4>0 对一切实数 x 恒成立, 则 ,解得:﹣2<a<2.

综上,使得不等式(a+2)x2+2(a+2)x+4>0 对一切实数 x 恒成立的 a 的取值范 围是[﹣2,2) . 故答案为:[﹣2,2) . 【点评】本题考查恒成立问题,考查二次函数性质的应用,体现了分类讨论的数 学思想方法,是中档题.

11. (5 分) (2014?汕头一模)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f (x)=2x(1﹣x) ,f(﹣ )= 【分析】由题意得 =f(﹣ . )=﹣f( ) ,代入已知条件进行运算.

【解答】解:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) , ∴ =f(﹣ )=﹣f( )=﹣2× (1 ﹣ )=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值.

12. (5 分) (2017 春?江阴市校级月考)若函数 f(x)=lg(x2﹣2mx+3m)在[1, +∞)上是增函数,则 m 的取值范围为 (﹣1,1] .

【分析】令 u(x)=x2﹣2mx+3m,由复合函数的单调性可得函数 u(x)在区间 [1,+∞)上单调递增且恒为正实数,再解不等式组即可. 【解答】解:记 u(x)=x2﹣2mx+3m,则 f(x)=lgu(x) ,显然, u(x)在(﹣∞,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,
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再由复合函数的单调性可得, 函数 u(x)在区间[1,+∞)上单调递增且恒为正实数, 则 ,解得﹣1<m≤1,

故答案为: (﹣1,1]. 【点评】本题主要考查了复合函数单调性性的应用,二次函数的图象和性质,体 现了转化的数学思想,属于中档题.

13. (5 分) (2015 秋?武进区期末)已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 P 为对角线 AC 上一点,则( + )?( + )的最大值为 1

【分析】由已知中正方形 ABCD 的边长为 2,我们可以建立直角坐标系,选求出 各点坐标,设出动点 P 的坐标,再求出各向量的坐标,得到( 表达式,进而得到最大值. 【解答】解:以 A 为坐标原点,以 AB 为 X 轴正方向, 以 AD 为 Y 轴正方向建立直角坐标系, 则 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,2) ,D(0,2) , ∵P 点有对角线 AC 上,设 P(x,x) ,0<x<2 所以 ( + =(x,x) , )?( + =(﹣2,2) , ) =(2﹣x,﹣x) , =(﹣x,2﹣x) + ) . ( + )

=4x﹣4x2=﹣4(x﹣ )2+1 当 x= 时,有最大值为 1 故答案为:1 【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,其中建立坐标系,引入各 向量的坐标,是解答问题的关键.

14. (5 分) (2014 秋?船营区校级期中) 若定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x+2) =f(x) ,且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点的个数是 4 .

【分析】在同一个坐标系中画出函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象,
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这两个函数图象的交点个数即为所求. 【解答】解:∵偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,故函数的周期为 2. 当 x∈[0,1]时,f(x)=x,故当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x. 函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点的个数等于函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x| 的图象的交点个数. 在同一个坐标系中画出函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象,如图所示: 显然函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象有 4 个交点, 故答案为 4.

【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答 关键是运用数形结合的思想,属于中档题.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 15. (14 分) (2017 春?江阴市校级月考)在平行四边形 ABCD 中,A 点的坐标为 (1,0) ,B 点的坐标为(3,2) ,C 点的坐标为(4,﹣1) . (1)求点 D 的坐标; (2)求 与 夹角的余弦值. = ;列出方程组求出点 D 的坐标; 与 夹角的余弦值.

【分析】 (1)根据平行四边形 ABCD 中, (2)根据平面向量数量积的定义求出向量

【解答】解: (1)平行四边形 ABCD 中,A(1,0) ,B(3,2) ,C(4,﹣1) ; 设 D 的坐标为(x,y) ,
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=



即(x﹣1,y)=(1,﹣3) , ∴ 解得 , ,

∴D(2,﹣3) ; (2)∵ ? | | 设 |= |= 与 =(2,2) , =(﹣1,﹣5) ,

=2×(﹣1)+2×(﹣5)=﹣12, =2 , = 的夹角为 θ, = =﹣ . ,

则 cosθ=

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与夹角的计算问题,是基础题.

16. (14 分) (2015 春?浦东新区校级期中)已知 (1)求 tanα 的值 (2)求 的值. = ,解方程求得 .

【分析】 (1)由题意可得

( 2 ) 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 及 二 倍 角 公 式 可 得 = 把 代入运算. ,∴ = ,解得 . = ,

【解答】解: (1)∵

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(2)

=

=

=

=



【点评】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,二倍角公式,两角和的正切 公式,式子的恒等变形,是解题的关键.

17. (14 分) (2015 春?抚顺期末) 若二次函数 f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 满足 f (x+1) ﹣f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[﹣1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 【分析】 (1)由二次函数可设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,由 f(0)=1 求得 c 的值, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x 可得 a,b 的值,即可得 f(x)的解析式; (2)欲使在区间[﹣1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,只须 x2﹣3x+1﹣m> 0 在区间[﹣1,1]上恒成立,也就是要 x2﹣3x+1﹣m 的最小值大于 0,即可得 m 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意可知,f(0)=1,解得,c=1, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x.可知,[a(x+1)2+b(x+1)+1]﹣(ax2+bx+1)=2x, 化简得,2ax+a+b=2x, ∴ ,

∴a=1,b=﹣1. ∴f(x)=x2﹣x+1; (2)不等式 f(x)>2x+m,可化简为 x2﹣x+1>2x+m, 即 x2﹣3x+1﹣m>0 在区间[﹣1,1]上恒成立, 设 g(x)=x2﹣3x+1﹣m,则其对称轴为 ∴g(x)在[﹣1,1]上是单调递减函数. 因此只需 g(x)的最小值大于零即可, g(x)min=g(1) , ∴g(1)>0,
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即 1﹣3+1﹣m>0,解得,m<﹣1, ∴实数 m 的取值范围是 m<﹣1. 【点评】 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式,以及函数的恒 成立与函数的最值求解的相互转化,主要涉及单调性在函数的最值求解中的应 用.属于中档题.

18. (16 分) (2016 春?宝应县期中)据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙 尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图 所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部 分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km) . (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650km,试判断这场沙尘暴是否会 侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会, 请说明理由.

【分析】 (1) 设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点. 由图象知, 点 A 的坐标为 (10, 30) , 故直线 OA 的解析式为 v=3t, 当 t=4 时, D 点坐标为 (4, 12) , OT=4, TD=12, S= ×4×12=24(km) ; (2)分类讨论:当 0≤t≤10 时;当 10<t≤20 时;当 20<t≤35 时; (3)根据 t 的值对应求 S,然后解答. 【解答】解:设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点, (1)由图象知,点 A 的坐标为(10,30) ,故直线 OA 的解析式为 v=3t, 当 t=4 时,D 点坐标为(4,12) , ∴OT=4,TD=12,
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∴S= ×4×12=24(km) ; (2 分)

(2)当 0≤t≤10 时,此时 OT=t,TD=3t(如图 1) ∴S= ?t?3t= (4 分)

当 10<t≤20 时,此时 OT=t,AD=ET=t﹣10,TD=30(如图 2) ∴S=S△AOE+S 矩形 ADTE= ×10×30+30(t﹣10)=30t﹣150(5 分) 当 20<t≤35 时,∵B,C 的坐标分别为(20,30) , (35,0) ∴直线 BC 的解析式为 v=﹣2t+70 ∴D 点坐标为(t,﹣2t+70) ∴TC=35﹣t,TD=﹣2t+70(如图 3) ∴S=S 梯形 OABC﹣S△DCT= (10+35)×30﹣ (35﹣t) (﹣2t+70)=﹣(35﹣t)2+675; (7 分) (3)∵当 t=20 时,S=30×20﹣150=450(km) , 当 t=35 时,S=﹣(35﹣35)2+675=675(km) ,而 450<650<675, ∴N 城会受到侵袭,且侵袭时间 t 应在 20h 至 35h 之间, (8 分) 由﹣(35﹣t)2+675=650,解得 t=30 或 t=40(不合题意,舍去) . ∴在沙尘暴发生后 30h 它将侵袭到 N 城. 【点评】本题考查的是一次函数在实际生活中的运用,比较复杂,解答此题的关 键是根据图形反映的数据进行分段计算,难度适中.

19. (16 分) (2006?重庆)已知定义域为 R 的函数 f(x)=
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是奇函数.

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围. 【分析】 (Ⅰ)利用奇函数定义,在 f(﹣x)=﹣f(x)中的运用特殊值求 a,b 的值; (Ⅱ)首先确定函数 f(x)的单调性,然后结合奇函数的性质把不等式 f(t2﹣ 2t)+f(2t2﹣k)<0 转化为关于 t 的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知 识求出 k 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, 即

又由 f(1)=﹣f(﹣1)知 所以 a=2,b=1. 经检验 a=2,b=1 时,



是奇函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 易知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数. 又因为 f(x)是奇函数, 所以 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0



等价于 f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2) , 因为 f(x)为减函数,由上式可得:t2﹣2t>k﹣2t2. 即对一切 t∈R 有:3t2﹣2t﹣k>0, 从而判别式 所以 k 的取值范围是 k<﹣ . 【点评】 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等 式恒成立问题的解决策略. .

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20. (16 分) (2017 春?江阴市校级月考)已知函数 上的函数. (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;

是定义在(0,+∞)

(2)若函数 y=f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n](m<n) ,求实数 a 的取值 范围; (3)若不等式 x2|f(x)|≤1 对 【分析】 (1)直接用定义法证明; (2)将题目条件转化为 2x2﹣ax+1=0 在(0,+∞)上有两个不等的根,然后结 合判别式求解; (3)由 x2|f(x)|≤1,令 =t,t∈[2,3],用换元法化简不等式. 【解答】 (1)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=(a﹣ )﹣(a﹣ )= <0. 恒成立,求实数 a 的取值范围.

∴函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解:由(1)知 y=f(x)在[m,n]上单调递增, ∴ ,

∴m,n 是 f(x)=2x,即 a﹣ =2x 的两个不等的正根, ∴2x2﹣ax+1=0 在(0,+∞)上有两个不等的根, ∴ ,解得 a>2 ; ≤a≤ ,

(3)解:由 x2|f(x)|≤1,得 令 =t,t∈[2,3], 则 t﹣t2≤a≤t+t2, ∴﹣2≤a≤6, 故实数 a 的取值范围为[﹣2,6].

【点评】本题考查恒成立问题,考查了单调性证明的方法、单调性的应用、换元 法及等价转化的思想,是中档题.
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