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函数应用第6课时 函数模型的应用实例(一)


Xupeisen110

高中数学

函数应用第 6 课时 函数模型的应用实例(一)
(一)教学目标 1.知识与技能:初步掌握一次和二次函数模型的应用,会解决较简单的实际应用问题. 2.过程与方法:经历运用一次和二次函数模型解决实际问题,提高学生的数学建模能 力. 3.情感、态度与价值观:了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而

培养学生的 应用意识,提高学习数学的兴趣. (二)教学重点、难点 一次和二次函数模型的应用是本节的重点,数学建模是本节的难点. (三)教学方法 本节内容主要是例题教学,因此采用学生探究解题方法,总结解题规律,教师启发诱 导的方法进行教学. (四)教学过程 教学环节 教学内容 回顾一次函数和二次函 数的有关知识. 师生互动 教师提出问题,学生回答. 师:一次函数、二次函数的解析式及图 象与性质. 生:回答上述问题. 教师提出问题,让学生读题,找关 键字句,联想学过的函数模型,求出函 数关系式.学生根据要求,完成例 1 的解 答. 例 1 解:因为火车匀速运动的时间 为(200 – 13)÷120 = 所以 0 ?
t ? 11 5

设计意图 以旧引新,激 发兴趣.

复习引入

应用举例

1.一次函数模型的 应用 例 1 某列火车从北 京西站开往石家庄, 全程 277km. 火 车 出 发 10min 开出 13km 后, 120km/h 以 的速度匀速行驶.试写出 火车行驶的总路程 S 与 匀速行驶的时间 t 之间的 关系, 并求火车离开北京 2h 内行驶的路程.

11 5

(h),

.

因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶路 程为 120t,所以,火车运行总路程 S 与 匀速行驶时间 t 之间的关系是
S ? 130 ? 120t (0 ? t ? 11 5 ).

通过此问 题背景,让学 生恰当选择相 应一次函数模 型解决问题, 加深对函数概 念本质的认识 和理解.让学 生体验解决实 际问题的过程 和方法.

2h 内火车行驶的路程
S ? 13 ? 120 ? 11 6

=233(km). 培养学生 分析归纳、 概括

解题方法: 1.读题,找关键点;
1

学生总结,教师完善.

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2.抽象成数学模型; 3. 求出数学模型的解; 4.做答.

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能力.从而初步 体验解应用题 的规律和方法. 让学生自己读题,并回答下列问题: ①题目求什么,应怎样设未知量; ②每天客房的租金收入与每间客房 的租金、客房的出租数有怎样的关系; ③学生完成题目. 法一:用列表法求解.此法可作为学 生探求思路的方法,但由于运算比较繁 琐,一般不用,应以法二求解为重点.对 法二让学生读题,回答问题.教师指导, 学生自己动手解题. 师生合作由实际问题建模,让学生尝试 解答. 例 2 解答: 方法一 依题意可列表如下: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 300×20 = 6000 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 6380 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 6720 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 7020 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 7280 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 7500 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 7680 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 7820 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =7920 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 7980
2

2. 二次函数模型的应 用 例 2 某农家旅游公司 有客房 300 间, 每间日房 租 20 元,每天都客满.公 司欲提高档次, 并提高租 金.如果每间客房每日增 加 2 元, 客房出租数就会 减少 10 间.若不考虑其他 因素, 旅社将房间租金提 高到多少时, 每天客房的 租金总收入最高?

解应用题 首先要读懂题 意,设计出问 题指导学生审 题,建立正确 的数学模型. 同时,培养学 生独立解决问 题的能力.

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10 11 12 13 ? (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 8000 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 7980 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 7920 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820 ?

由上表容易得到,当 x = 10,即每天租金 为 40 元时,能出租客房 200 间,此时每 天总租金最高,为 8000 元.再提高租金, 总收入就要小于 8000 元了. 方法二 设客房租金每间提高 x 个 2 元, 则将有 10x 间客房空出,客房租金的总 收入为 y = (20 + 2x) (300 – 10x ) = –20x2 + 600x – 200x + 6000 = –20(x2 – 20x + 100 – 100) + 6000 = –20(x – 10)2 + 8000. y 由此得到, x = 10 时, max = 8000.即每 当 间租金为 20 + 10×2 = 40(元)时,客房租 金的总收入最高,每天为 8000 元. 3. 分将函数模型的应 用 例 3 一辆汽车在某 段路程中的行驶速率与 时间的关系如图所示. (1) 求图中阴影部分 的面积, 并说明所求面积 的实际含义; (2) 假设这辆汽车的 里程表在汽车行驶这段 路程前的读数为 2004km, 试建立行驶这段路程时 汽车里程表读数 skm 与 时间 th 的函数解析式, 生:解答: (1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这 5 小 时内行驶的路程为 360km. (2)根据图,有
0 ? t ? 1, ? 5 0 t ? 2 0 0 4, ? 8 0 ( t ? 1) ? 2 0 5 4, 1 ? t ? 2, ? ? s ? ? 9 0 ( t ? 2 ) ? 2 1 3 4, 2 ? t ? 3, ? 7 5( t ? 3) ? 2 2 2 4, 3 ? t ? 4, ? ? 6 5( t ? 4 ) ? 2 2 9 9, 4 ? t ? 5 . ?

实际应用 用问题解决的 一般步骤:理 解问题 ? 简 化假设 ? 数 学建模 ? 解 答模型 ? 检 验模型 ? 评 价与应用的进 一步深体.

这个函数的图象如图所示.

3

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并作出相应的图象.

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巩固练习

课堂练习 习题 1.如果一辆汽 1.5h 行驶路 车匀速行驶, 程为 90km,求这辆汽车 行驶路程与时间之间的 函数关系,以及汽车 3h 所行驶的路程. 习题 2.已知某食品 5kg 价格为 40 元,求该 食品价格与重量之间的 函数关系, 并求 8kg 食品 的价格是多少元. 习题 3.有 300m 长 的篱笆材料, 如果利用已 有的一面墙(设长度够用) 作为一边, 围成一块矩形 菜地,问矩形的长、宽各 为多少时, 这块菜地的面 积最大? 习题 4.某市一种出 租车标价为 1.20 元/km, 但事实上的收费标准如 下:最开始 4km 内不管 车行驶路程多少, 均收费 10 元(即起步费), 4km 后 到 15km 之间,每公里收 费 1.20 元,15km 后每公 里再加收 50%, 即每公里 1.80 元.试写出付费总数 f 与打车路程 x 之间的函数 关系.

学生练习,师生点评. 1.设汽车行驶的时间为 t h,则汽车 行驶的路程 Skm 与时间 t h 之间的函数关 系为 S = vt. 当 t = 1.5 时,S = 90,则 v = 60. 因此所求的函数关系为 S=60t, 当 t = 3 时,S = 180, 所以汽车 3h 所行驶的路程为 180km. 2.设食品的重量为 xkg,则食品的 价格 y 元与重量 xkg 之间的函数关系式为 y=8x,当 x = 8 时,y = 64, 所以当 8kg 食品的价格为 64 元. 3.设矩形菜地与墙相对的一边长为 xcm,则另一组对边的长为 而矩形菜地的面积为:
S ? 1 2 ? ? 1 2 ( x ? 1 5 0 ) ? 1 1 2 5 0 (0 ? x ? 3 0 0 ).
2

300 ? x 2

m,从

学生动手实 践、体验所学 方法,从而提 升解应用题的 技能.

x (3 0 0 ? x )

当 x = 150 时,Smax = 11250. 即当矩形的长为 150m,宽为 75m 时,菜地的面积最大. 4.解:所求函数的关系式为
?1 0 ? y ? ?1 0 ? 1 .2 ( x ? 4 ) ? 2 3 .2 ? 1 .8 ( x ? 1 5 ) ? 0 ? x ? 4 4 ? x ? 15 x ? 15

4

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课堂小结 解 决 应 用 用问 题 的 步骤: 读题—列式—解答. 习题 2—3B 第 1、3 题: 教材第 71 页“思考与讨 论”.

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使学生养 成归纳总结的 好习惯.让学 生初步掌握数 学建模的基本 过程. 使学生巩固本 节所学知识与 方法.

归纳小结

学生总结,师生完善

布置作业 备选例题

学生练习

例 1 某游艺场每天的盈利额 y 元与售出的门票数 x 张之间的关 系如图所示,试问盈利额为 750 元时,当天售出的门票数为多少? 【解析】根据题意,每天的盈利额 y 元与售出的门票数 x 张之 间的函数关系是:
? 3 .7 5 x (0 ? x ? 4 0 0 ) y ? ? ?1 .2 5 x ? 1 0 0 0 ( 4 0 0 ? x ? 6 0 0 )

(1)当 0≤x≤400 时,由 3.75x=750,得 x=200. (2)当 400≤x≤600 时,由 1.25x + 1000 = 750,得 x = – 200 (舍去). 综合(1)和(2),盈利额为 750 元时,当天售出的门票数为 200 张. 答:当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元. B 例 2 某个经营者把开始六个月试销 A、 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表: 投资 A 种商 品金额(万 元) 获纯利润 0.65 (万元) 投资 B 种商 品金额(万 元) 获纯利润 0.25 (万元) 该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品,但不知投入 A、B 两种商品各多少才 最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者获得最大的利润,并按你的方案求
5

1

2

3

4

5

6

1.39

1.85

2

1.84

1.40

1

2

3

4

5

6

0.49

0.76

1

1.26

1.51

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出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). 【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图: 据此,可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系. y = – a (x – 4)2 + 2 (a>0) y = bx 把 x = 1,y = 0.65 代入①式,得 0.65 = – a (1 – 4)2 + 2, 解得 a = 0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资 A 商品的金额的函数关系式可近似地用 y = – 0.15(x – 4) + 2 表示,再把 x = 4,y = 1 代入②式,得 b = 0.25,故前六个月所获利润关于月投资 B 种商品的金额的函数关系可近似地用 y = 0.25x 表示. 设下月投资 A 种商品 x 万元, 则投资 B 种商品为(12 – x)万元,可获纯利润 y = – 0.15 (x – 4)2 + 2 + 0.25 (12 – x) = – 0.15x2 + 0.95x + 2.6, 当x
? ? 0 .9 5 2 ? ( ? 0 .1 5 )
2

① ②

≈3.2 时,
2

y m ax ?

4 ? ( ? 0 .1 5) ? 2 .6 ? 0 .9 5 4 ? ( ? 0 .1 5)

≈4.1.

故下月分别投资 A、B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元,可获最大纯利润 4.1 万元. 【评析】 幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现, 要注意 y = x2 变换到 y = a (x – m)2 + b 后发生的变化.

6


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