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湖北省夷陵中学2014届高三五月全真模拟考试理科数学试题(A卷)


湖北省夷陵中学 2014 届高三五月全真模拟考试理科数 学试题(A 卷)
本试卷共 4 面,满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★祝考试顺利★
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内, 答在试 题卷上无效。 4. 选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂黑.考 生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。 5. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.设全集为 R, A ? {x | x( x ? 2) ? 0}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)}, 则 A ? (C U B)= ( A. (?2,1) B. [1, 2) C. (?2,1] D. (1, 2) 2.若直线 3 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 与直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则 ( ? 的系数为 ( ) A. 40 B. ?10 C. 10 3.关于统计数据的分析,有以下几个结论,其中正确的个数为 ( )

1 ? ax 2 )5 展开式中 x x
D. ?40

①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,期望与方差均没有变化; ②在线性回归分析中,相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱; ) 且 P( 4? ? ? 6 )? 0 . 6 则 826, ③ 已 知 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N( 5 , 1 ,

P(? ? 6) ? 0.1587;

④某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人.为 了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 15 人. A.1 B.2 C.3 D.4 4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形, 则几何体的外接球的表面积为 A.

8? 3

B.

16? 3

C.

48? 3

D.

64? 3

5.若函数

f ( x) ? sin ?x ? cos?x(? ? 0) 对任意实数 x 都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 6 6

?

?

f(

?
3

?

? ) 的值等于 ?




A. ? 1 B.1 C. 2 D. ? 2 ABCD A B 6. 已知长方形 ,抛物线 l 以 CD 的中点 E 为顶点,经过 、 两点,记拋物线 l 与 AB 边 围成的封闭区域为 M.若随机向该长方形内投入一粒豆子,落入区域 M 的概率为 P.则下列结 论正确的是
( )

AB 的值越大,P 越大 BC C.当且仅当 AB ? BC 时,P 最大 D.当且仅当 AB ? BC 时,P 最小 2 3 4 2012 x x x x x 2013 x 2014 x 2015 ? ? ??? ? ? ? ) ? sin2x 在区间 7. 函数 f(x)= (1 ? x ? 2 3 4 2012 2013 2014 2015
A.不论边长 AB, BC 如何变化,P 为定值 B.若 [-3,3]上的零点的个数为 ( ) A.3 B.4
2 2

C.5

D.6

8.已知 F1 , F2 分别为双曲线

x y ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点,若在右支上存在 2 a b

点 A ,使得点 F2 到直线 AF1 的距离为 2 a ,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. (1, 2)
2

B. (1, 2]

C. ( 2 ,??)

D. [ 2 ,??)

9. 设函数 f ( x) ?| x ? 2 x ?1|, 若 a>b>1,且 f (a)=f (b) ,则 ab ? a ? b 的取值范围为 ( ) A.(-2,3) B.(-2,2) C.( 1,2 ) D. ? ?1,1? 10.已知直线 l1 : y ? 3x 和 l 2 : y ? ? 3x ,对于任意一条直线 l : y ? kx 进行变换,记该变换 为 R ,得另一条直线 R(l ) .变换 R 为:先经 l1 反射,所得直线(即以 l1 为对称轴, l 的轴对

? R(l ) ,对于 n ? 2 定义 R ( n) (l ) ? R( R ( n?1) (l )) , ( m) 则使得 R (l ) ? l 恒成立的最小正整数 m 为
称图形)再经 l 2 反射,得到 R(l ) .令 R
(1)

( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必做题(11~14 题) 11. 定义一种运算 S ? a ? b , 在框图所表达的算法中揭示了这种运算 “ ? ”的含义。 那么, 按照运算“ ? ”的含义,计算 tan15 ? tan 30 ? tan 30 ? tan15 ?
? ? ? ?



→ → 12.如图:梯形 ABCD 中,AB//CD,AB=6,AD=DC=2,若AC· BD=-12, → → 则AD· BC= .

13 . 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x) , 对 任 意 不 等 的 实 数 x1 , x2 都 有

[ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ]x1 ( ? x2 ) ? 0 成立,又函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1,0) 对称,若不

等式 f ( x2 ?2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 成立, 则当 1 ? x ? 4 时, 的取值范围是

14.以 ?0, m? 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成分数集合 A1 ,其所有元素 分数集合 A2 ,其所有元素和为 a2 ;……,依次类推以 0, m n 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为 分子,以 m 为分母组成不属于 A 1, A 2 , ???, A n?1 的分数集合 An ,其所有元素和为 a n ;则
n

y x



和为 a1 ;以 0, m 2 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成不属于集合 A1 的
2

?

?

?

?

(1) a1 =



(2) a1 ? a2 ? ??? ? an =________. (二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的 题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15.(选修 4-1:几何证明选讲选做题) 如图,⊙O 的直径 AB =6cm, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点 C 为 ,连接 AC , 若 ?CPA ? 30°,PC = 。 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 直线 ?

? x ? ?2 ? t 2 2 (t为参数) 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 所截得的弦长为 ? y ? 1? t



三.解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cosx ,? y) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的单调增区间; (2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且

??

?

a ? 2 , b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

A 2

18. (本小题满分 12 分) 设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列 {an } 的集合:①对任意 n ? N ,
*

an ? an ? 2 * ? an ?1 恒成立; ②对任意 n ? N , 存在与 n 无关的常数 M, 使 an ? M 恒成立. 2 (1)若 是等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 试探究数列 {Sn } 与集
合 W 之间的关系; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 5n ? 2n ,且 {bn } ?W ,求 M 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1,侧面 BCC1B1 ? 底面 ABC. (I)若 M、N 分别为 AB、A1C 的中点,求证:MN//平面 BCC1B1; (II)若三棱柱 ABC —A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱 BB1 与底面 ABC 所成的角为 60°.问在线 . 段 .CC1 上是否存在一点 P,使得平面 ABP 与底面 ABC 的所成角为 60 ,若存在,求 BP 的长 度,若不存在,说明理由.
0

20.(本小题满分 12 分) 宜昌市教育主管部门到夷陵中学调查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取 12 名进行体质健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下: 成绩 5 6 7 8 9 2 5 2 6 0

8 6 8

6

7

7

8

根据学生体质健康标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行体质健 康测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅲ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列及 期望. 21.(本小题满分 13 分) 已知定点 A(

p , 0) (p 为常数,p>O),B 为 x 轴负半轴上的一个动点,动点 M 使得 2

AM ? AB ,且线段 BM 的中点在 y 轴上.
(I)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 EF 为曲线 C 的一条动弦(EF 不垂直于 x 轴) ,其垂直平分线与 x 轴交于点 T(4,0), 当 p=2 时,求 EF 的最大值

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值; (2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ? [3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?
1 1 恒 ? g ( x2 ) g ( x1 )

ex ,其中 m,a 均为实数. ex

成立,求 a 的最小值; ( 3 )设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0, e]上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得
f ( t1 ) ? f ( t2 )? g ( x 0 ) 成立,求 m 的取值范围.

参考答案
一.选择题:

1.B. A ? ? 0, 2 ? , B ? ? ??,1? , CU B ? ?1, ?? ? , 2. D 3. B

4. D.【解析】此几何体是三棱锥 P-ABC(直观图如右图) , 底面是斜边长为 4 的等腰直角三角形 ACB,且顶点在 底面内的射影 D 是底面直角三角形斜边 AB 的中点。 易知,三棱锥 P-ABC 的外接球的球心 O 在 PD 上。 设球 O 的半径为 r,则 OD=2 3-r,∵CD=2,OC=r, 2 4 ∴ 2 3 ? r ? 22 ? r 2 ,解得: r ? , 3

?

?

∴外接球的表面积为 4? r 2 ? 5.D.

64? . 3

6.A. 解析:以 E 为原点,CD 为 x 轴,过点 E 垂直于 CD 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系如 下图所示.设正方形的长为 2a,宽为 b,则 C (a,0), B (a ,b ), A ( a ? , b ), D ( ,0) a? 程为 y ? mx2 ,代入点 B,得 m ? ,设抛物线方

b b 2 ,所以 y ? 2 x .阴影面积 2 a a

a? b ? b ? ? a 4ab ,矩形 ABCD 的面积 S ? ? ab ,故由几何概 S ? 2? ? b ? 2 x 2 ?dx ? 2 ? bx ? 2 x3 ? |0 ? 0 a 3a 3 ? ? ? ?

型得,所求事件的概率为 P ? 7.B.

S 4 ? 为常数.故选 A. S? 3

8. C

9. D 【解析】 作出函数 f(x)的图象, 得 f 1 ? 2 ? f 1 ? 2 ? 0, f ? 3? ? f ? ?1? ? f ?1? ? 2, 由

?

?

?

?

a>b>1,且 f(a)=f(b),得 a 2 ? 2a ? 1 ? ? ? b 2 ? 2b ? 1, ? 整理得 ? a ? 1? ? ? b ? 1? ? 4 ,
2 2

设 a ? 1 ? 2cos ? , b ? 1 ? 2sin ? ,? ? ? 0,

? ?? ? , 则 ab ? a ? b = (a ? 1)(b ? 1) ? 1= 2 sin 2? ? 1 , ? 4?

sin 2? ? ? 0,1? , 2sin 2? ?1? ? ?1,1? ,所以 ab ? a ? b ? ? ?1,1?
10. B 11.1 12. 0.

→ → → → 1→ → → → 【提示】以AB,AD为基底,则AC=AD+3AB,BD=AD-AB, → → → 2→ → 1→ 则AC·BD=AD2-3AB·AD-3AB2=4-8cos∠BAD-12=-12, 1 → → → → → → → 2 → →2 2 → → 所以 cos∠BAD=2, 则∠BAD=60o, 则AD· BC=AD· (AC-AB)=AD· (AD-3AB)=AD -3AB· AD =4-4=0. 13. [ ?

【解析】函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,则函数 y ? f ( x) 的图象关于坐标原点 对 称 , 所 以 函 数 y ? f ( x) 是 奇 函 数 , 又 对 任 意 不 等 的 实 数 x1 , x2 , 都 有

1 ,1] 2

? ?f( x 1 )

f ( 2x? ) (1? x

2

x? ) , 0 故 函 数

y ? f ( x)

是 减 函 数 , 所 以

f ( x2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 ? f ( x2 ? 2x) ? f ( y 2 ? 2 y) ? x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y , 即 ?1 ? x ? 4, ? 2 2 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 ,即 ( x ? y)( x ?y ?2) ?0 ,故实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 0, ?x ? y ? 2 ? 0 ?
?1 ? x ? 4, ? 或者 ? x ? y ? 0, 其表示的平面区域如入所示。目标函数的几何意义是区域内的点与坐标 ? x ? y ? 2 ? 0. ?
原点连线的斜率,显然在点 B 处取得最小值、在点 C 处取得最大值。点 B(4, ?2), C (4, 4) , 故?

1 ? y? ? y? ? 1 ? ? ? ? , ? ? ? 1 ,故所求的取值范围是 ? ? ,1? 2 ? x ?max ? x ?min ? 2 ?

1 2 m-1 14. 解:由题意 a1 =m+m+?+ m 1 2 1 2 2m-1 2m+1 1 m-1 m+1 m2-1 1 2 m2-1 m-1 a2 =m2+m2+?+ m2 + m2 +?+ m2 + m2 +?+ m2 =m2+m2+?+ m2 -(m+m+?+ m )=m2 2 m2-1 + 2+?+ 2 -a1 m m 1 2 m3-1 a3= 3+ 3+?+ 3 -a1-a2 m m m 1 2 mn-1 an= n+ n+?+ n -an-1?-a1-a2 m m m 1 2 mn-1 1 mn-1 所以 a1 ? a2 ? ??? ? an = n+ n+?+ n = n+[1+2+…+mn-1]= m m m m 2 15. 3 3 解:连接 OC ,PC 是⊙O 的切线,∴∠OCP=Rt∠. ∵ ?CPA ? 30°,OC= 16.

AB 3 0 =3, ∴ tan 30 ? ,即 PC= 3 3 . 2 PC

82
: 把 直 线



? x ? ?2 ? t ? ? y ? 1? t





( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25



(?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
17.

18.解:(1)设等差数列 {an } 的公差是 d ,则

? a1 ? 2d ? 4, ? a1 ? 8, 解得 ? ………1 分 ? ?d ? ?2 ?3a1 ? 3d ? 8 n(n ? 1) ? ?n 2 ? 9n (3 分) ∴ S n ? na1 ? 2 Sn ? Sn? 2 ( S ? Sn ?1 ) ? ( Sn ?1 ? Sn ) an ? 2 ? an ?1 d ? Sn ?1 ? n ? 2 ? ? ? ?1 ? 0 ∴ 2 2 2 2 Sn ? Sn? 2 ? S n ?1 ,适合条件① ∴ 2 9 2 81 2 又 S n ? ? n ? 9n ? ? ( n ? ) ? , 2 4 ∴当 n ? 4 或 n ? 5 时, Sn 取得最大值 20,即 Sn ? 20 ,适合条件②. 综上, {Sn } ?W ………(6 分)
(2)∵ bn?1 ? bn ? 5(n ? 1) ? 2n?1 ? (5n ? 2n ) ? 5 ? 2n , ∴当 n ? 3 时, bn?1 ? bn ,此时,数列 {bn } 单调递减;………9 分 当 n ? 1, 2 时, bn?1 ? bn ? 0 ,即 b1 ? b2 ? b3 ,………10 分 因此,数列 {bn } 中的最大项是 b3 ? 7 ,………11 分 ∴ M ? 7 ,即 M 的取值范围是 ? 7, ?? ? .………12 分

19.解: (I)思路点拨 1:连接 AC1 ,证明: MN

/ / AC1 ;------------------4 分

思路点拨 2:取 BC 中点 M 1 ,取 CC1 中点 N1 ,证明: MM 1 N1 N 是平行四边形 思路点拨 3:取 AC 中点 K,连接 MK,NK,证明平面 MKN//平面 BCC1B1 (II)过 B1 作 BC 的垂线,垂足为 O,?侧面 BCC1B1 ? 底面 ABC 所以 B1O

? 平面 ABC,------------------------------------6 分

所以 ?B1 BC 就是侧棱 BB1 与底面 ABC 所成的角,即 ?B1 BC =60°--7 分 又 AB=AC,所以 BC ? AO , 如图,以 O 为原点,BC 所在直线为 X 轴,OA 为 y 轴建立空间直角坐标系 则 B ( ?1,0,0), C (1,0,0), A(0,

3,0), B1 (0,0, 3)

???? ???? ? ? BB1 ? CC1 ? C1 (2,0 3), -------------8 分
解 1: BA ? (1,

??? ?

? ???? ? 3,0), BC1 ? (3,0, 3) ,设平面 ABC1 的法向量为 n ? ( x, y, z )
y=-1,x=-3, 所 以

? n ? ( 3, ?1, ? 3) ---10 分

??? ? ? ?x ? 3y ? 0 ? ? BA ? n ? 0 ? ? 则 ? ???? , 令 x? 3 , 则 ? ? ? BC ? n ? 0 ? 1 ?3 x ? 3 z ? 0 ? ?

又平面 ABC 的法向量为(0,0,1) , 角为 ? 所以 cos ? 调递减,

设平面使得平面 ABC1 与底面 ABC 的所成

?? ?? ? 3 1 ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ? cos 600 ? ,又 y ? cos x 在 [0, ] 上单 2 2 13
0

所以在 CC1 上不存在点 P,使得平面 ABP 与底面 ABC 的所成角为 60 -------12 分 解 2:设 P 在 CC1 上,所以 CP

??? ?

???? ? ? ? CC1 (0 ? ? ? 1) ?

20.解: (Ⅰ)这组数据的众数为 86,中位数为 86;???????2 分 (Ⅱ)抽取的 12 人中成绩是“优良”的频率为 3 , 4 故从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为 3 ,?????4 分 4 设“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是‘优良’的事件”为 A,
0 则 P( A) ? 1 ? C3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 63 ;???????6 分 4 64 64 (Ⅲ)由题意可得, ? 的可能取值为 0,1,2,3.??????7 分

? ?

3

P(? ? 0) ?

3 1 2 C3 C9 C3 1 27 ? P ( ? ? 1) ? ? , , 3 3 C12 220 C12 220

P(? ? 2) ?

1 3 C92C3 C9 108 27 84 21 ? = P ( ? ? 3) ? ? = , , 3 3 C12 220 55 C12 220 55

所以 ? 的分布列为 ? 0

1
27 220

2
27 55

3
21 55

P

1 220

???????11 分
E? ? 0 ? 1 27 27 21 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .???????12 分 220 220 55 55 4

21.

22.解: (1) g ?( x) ?

e(1 ? x) ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x = 1. ex

?????? 1 分

当 m ? 0 时, f ?( x) ?

m( x ? x

2 ) m ,由题意知 f ( x) 在 (0,e] 不单调,




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