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【解析版】江苏省扬州中学2012-2013学年高二(下)期末数学试卷


2012-2013 学年江苏省扬州中学高二(下)期 末数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. (5 分)函数 f(x)=cos2x 的最小正周期为 π . 考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由函数解析式找出 ω 的值,代入周期公式 T=
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即可求出函数的最小正周期.

解答: 解:f(x)=cos2x, ∵ ω=2,∴ T= =π.

故答案为:π 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键. 2. (5 分)复数 的虚部是 .

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 根据复数的除法法则计算即可. 解答: 解: = = , 所以复数 故答案为: . 的虚部是 .

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点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念,属基础题.

3. (5 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若

= ,

= ,

=,则

= ﹣ ﹣ +



考点: 空间向量的加减法. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量加法的三角形法则, 得到
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=

, 再由向量加法的三角形法则,



最后利用相反向量即得到结论. 解答: 解:向量加法的三角形法则,得到 = = =﹣ ﹣ + =﹣ ﹣ + .

故答案为:﹣ ﹣ + . 点评: 本题考查的知识点是向量的三角形法则,要将未知向量用已知向量表示,关键是要根据向量加减法

及其几何意义,将未知的向量分解为已知向量. 4. (5 分) △ ABC 中, “A=

”是“sinA= ”的 充分不必要 条件 (从“充分不必要”, “必要不充分”, “充要”,

“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空) . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据 A= 可以判断 sinA= ,得到前者可以推出后者,举出一个反例来说明后者不一定推出前者,
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得到前者是后者的充分不必要条件. 解答: 解:若 A= ,根据三角函数的特殊值知 sinA= ,

即前者可以推出后者, 当 sinA= ,比如 sin = ,显然 A= ,不成立.

得到前者不能推出后者, ∴ 综上可知前者是后者的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要 点评: 本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义,正弦函数的值,本题解题的关键是通过举反例来 说明某个命题不正确,这是一种简单有效的方法,本题是一个基础题.

5. (5 分)幂函数 f(x)=x (α∈R) 过点

α

,则 f(4)= 2 .

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把幂函数 y=xα 的图象经过的点(2, ) 代入函数的解析式,求得 α 的值,即可得到函数解析式, 从而求得 f(4)的值. α α 解答: 解:∵ 已知幂函数 y=x 的图象过点(2, ) ,则 2 = ,
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∴ α= ,故函数的解析式为 f(x)=x



∴ f(4)=4

=2,

故答案为 2. 点评: 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,根据函数的解析式求函数的值,属于基础题. 6. (5 分)五名同学站成一排,甲不站在正中间,则不同的站法有 96 (用数字作答) . 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 先排甲,有 4 种方法;再排其它的 4 人,有
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种方法,依据分步计数原理求得所有的排法. 种方法.

解答: 解:先排甲,有 4 种方法;再排其它的 4 人,有

根据分步计数原理,共有 4

=96 种不同的方法,

故答案为 96. 点评: 本题主要考查分步计数原理的应用,注意特殊元素优先排,属于中档题. 7. (5 分)如果复数 z 满足|z﹣i|=2,那么|z+1|的最大值是 2 .

考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 设 z=x+yi(x,y∈R) ,由复数的几何意义可知复数 z 对应点的轨迹为以 A(0,1)为圆心,2 为半径 的圆,再借助|z+1|的几何意义可求其最大值. 解答: 解:设 z=x+yi(x,y∈R) , 由|z﹣i|=2,知复数 z 对应点的轨迹为以 A(0,1)为圆心,2 为半径的圆, 图形如下所示:
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|z+1|表示复数 z 对应的点到 N(﹣1,0)的距离, 易知该距离的最大值为|MN|的长,|MN|= . 故答案为:2+ . 点评: 本题考查复数求模、复数的几何意义,属基础题,正确理解复数的几何意义是解决该题的关键.

8. (5 分)函数

的单调递增区间是 (0,e) .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 求出函数 的导数为 y′ 的解析式,令 y′ >0 求得 x 的范围,即可得到函数
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的单调递增区间. 解答: 解:由于函数 的导数为 y′ = ,

令 y′ >0 可得 lnx>1,解得 0<x<e, 故函数 的单调递增区间是 (0,e) ,

故答案为 (0,e) . 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于基础题.

9. (5 分)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概 率都是 的概率 , 遇到红灯时停留的时间都是 2min, 则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是 4min .

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据所给的条件可知该学生在路上遇到 2 次红灯,符合独立重复试验,根据独立重复试验公式可得 结论. 解答: 解:由题意,∵ 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是 4min ∴ 该学生在路上遇到 2 次红灯,
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∴ 所求概率为 P= 故答案为:

=

点评: 本题考查概率知识,考查独立重复试验公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

10. (5 分)若 (1﹣2x)

2013

=a0+a1x+a2x+…+

(x∈R) ,则

= ﹣1 .

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 把 x=0 代入已知的式子可得 a0=1,把 x= 代入已知的式子可得:0=a0+
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,计算可

得答案. 解答: 解:由题意把 x=0 代入已知的式子可得: 1=a0,即 a0=1, 把 x= 代入已知的式子可得:

0=a0+



故可得

=0﹣a0=﹣1,

故答案为:﹣1 点评: 本题考查二项式定理的应用,给式中的 x 赋值是解决问题的关键,属中档题.

11. (5 分)E,F 是等腰直角△ ABC 斜边 BC 上的四等分点,则 tan∠ EAF=



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 根据题意和等腰直角三角形的性质求出∠ EAF 与∠ EAO 的关系,再求出 tan∠ EAO,根据倍角的正切公 式求出 tan∠ EAF. 解答: 解:根据题意画出图形:点 O 是 BC 的中点,
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∵ △ ABC 是等腰直角三角形,且 AC=AB,E,F 是斜边 BC 上的四等分点, ∴ EO= AO,∠ EAF=2∠ EAO,则在 RT△ AEO 中,tan∠ EAO= = ,

∴ tan∠ EAF=

=

= ,

故答案为: . 点评: 本题考查了倍角的正切公式应用:求值,关键找到角之间的关系,属于基础题. 12. (5 分)函 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0≤φ<2π)在 R 上的部分图象如图所示,则 f(x)= 4sin( ) .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由最大值可得 A,由周期 T=2[5﹣(﹣1)]=12 可求 ω,根据 f(﹣1)=0 及 0≤φ<2π 可得 φ. 解答: 解:由最大值得 A=4,T=2[5﹣(﹣1)]=12,则 ,ω= ,
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f(x)=4sin(

x+φ) , +φ)=0,

由 f(﹣1)=0,得 4sin(﹣ 又 0≤φ<2π,所以 φ= 所以 f(x)=4sin( 故答案为:4sin( x+ x+ ,

) , ) .

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式,考查数形结合思想,属中档题. 13. (5 分)已知函数 y=f(x) (x∈(0,2) )的图象是如图所示的圆 C 的一段圆弧.现给出如下命题: ① f′ (1)=0; ② f′ (x)≥0; ③ f′ (x)为减函数; ④ 若 f′ (a)+f′ (b)=0,则 a+b=2. 其中所有正确命题的序号为 ① ③ ④ .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 对于① 根据导数的几何意义,f′ (1)表示函数 f(x)在 x=1 处切线的斜率,由图可知其正确性;对 于② 由于函数 f(x)在区间(1,2)上是减函数,根据导数的符号与单调性的关系知② 不正确;对于③ 根据导数的几何意义,f′ (x)表示函数 f(x)在点(x,y)处切线的斜率,切线的斜率从正数→0→ 负数,且是渐渐变大的,从而进行判断;对于④ 若 f′ (a)+f′ (b)=0,说明点 x=a 与 x=b 关于直线 x=1 对称,结合中点坐标公式可得结果. 解答: 解:① 根据导数的几何意义,f′ (1)表示函数 f(x)在 x=1 处切线的斜率,由图可知,函数 f(x) 在 x=1 处切线平行于 x 轴,故 f′ (1)=0,正确; ② 由于函数 f(x)在区间(1,2)上是减函数,故当 x∈(1,2)时,f'(x)<0,故② 不正确; ③ 根据导数的几何意义,f′ (x)表示函数 f(x)在点(x,y)处切线的斜率,由图可知,切线的斜 率从正数→0→负数,且是渐渐变大的,故 f′ (x)为减函数,正确;
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④ 若 f′ (a) +f′ ( b) =0, 说明点 x=a 与 x=b 关于直线 x=1 对称, 由中点坐标公式得 正确. 故答案为:① ③ ④ . 点评: 本题考查命题的真假判断和应用,解题时要熟练掌握导函数的图象和性质.

, 则 a+b=2,

14. (5 分) (2010?南通模拟)有 n 个小球,将它们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,再将其中 一堆小球任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,如此下去,每次都任选一堆,将这堆小球任意分成 两堆,求出这两堆小球球数的乘积,直到不能再分为止,则所有乘积的和为 .

考点: 等比数列的前 n 项和. 分析: 用特殊值法,假设每次分出一个,分别求出每一次的乘积,然后等差数列的性质相加可得答案. 解答: 解:假设每次分堆时都是分出 1 个球, 第一次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n﹣1 个,则乘积为 1×(n﹣1)=n﹣1; 第二次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n﹣2 个,则乘积为 1×(n﹣2)=n﹣2; 依此类推 最后一次应该是应该一堆是 1 个球,另一堆 1 个,则乘积为 1×1=1;
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设乘积的和为 Tn, 则 Tn=1+2+…+(n﹣1)= 故答案为: 点评: 本题主要考查等差数列的求和.属基础题. 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分) (2010?南京三模)已知 A 为锐角, ,求 cos2A 及 tanB 的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正切函数;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: 先根据二倍角公式,利用 sinA 求得 cos2A.利用同角三角函数基本关系,利用 sinA 求得 tanA,进 而根据 tanB=tan[A﹣(A﹣B)]利用正切的两角和公式求得答案. 解答: 2 解:cos2A=1﹣2sin A=1﹣ ×2=
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∵ A 为锐角,sinA= ∴ tanA= =

∴ tanB=tan[A﹣(A﹣B)]=

=

=2

点评: 本题主要考查同角三角函数基本关系,正切的两角和公式,及二倍角的余弦.三角函数基本关系多, 复杂,平时应注意多积累. 16. (14 分)已知函数 (1)若 ,m∈R.

,求证:函数 f(x)是 R 上的奇函数;

(2)若函数 f(x)在区间(1,2)没有零点,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数零点的判定定理;函数奇偶性的判断. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用奇函数的定义,考察 f(﹣x)=﹣f(x)或 f(x)+f(﹣x)=0 在定义域内是否恒成立, 若是则为奇函数,否则不是奇函数.
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(2)求导函数,确定 f(x)的单调性,要使函数 f(x)在区间(1,2)上没有零点,先考察其对立 面即在区间(1,2)恰有一个零点时 m 的取值范围,最后由此求补集即可求得所求实数 m 的取值范 围. 解答: 解: (1 )定义域为 R 关于原点对称.因为 f(x)+f(﹣x)= + = + =0,

所以函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数. (2)f'(x)=﹣ <0,

∴ f(x)是实数集 R 上的单调递减函数(不说明单调性扣 2 分) 又函数 f(x)的图象不间断,在区间(1,2)恰有一个零点,有 f(1)f(2)<0 即(m+ ) (m+ )<0 解之得﹣ <m<﹣ ,故函数 f(x)在区间(1,2)没有零点时,实数 m 的取值范围是 m≥﹣ 或 m≤﹣ …(14 分) 点评: 本题考查函数奇偶性的判断,考查导数知识的运用,考查函数的零点,考查不等式的解,属于中档 题. 17. (14 分)已知命题:“?x∈{x|﹣1<x<1},使等式 x ﹣x﹣m=0 成立”是真命题, (1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式(x﹣a) (x+a﹣2)<0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,求 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 2 2 (1) 由 x ﹣x﹣m=0 可得 m=x ﹣x= 结合﹣1<x<1 及二次函数的性质可求集合 M
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2

(2)若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,则 M?N 分类讨论① 当 a>2﹣a 即 a>1 时,N={x|2﹣a<x<a},② 当 a<2﹣a 即 a<1 时,N={x|a<x<2﹣a},③ 当 a=2﹣a 即 a=1 时,N=φ 三种情况进行求解 解答: 解: (1)由 x ﹣x﹣m=0 可得 m=x ﹣x= ∵ ﹣1<x<1 ∴ M={m| }
2 2

(2)若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,则 M?N

① 当 a>2﹣a 即 a>1 时,N={x|2﹣a<x<a},则



② 当 a<2﹣a 即 a<1 时,N={x|a<x<2﹣a},则



③ 当 a=2﹣a 即 a=1 时,N=φ,此时不满足条件 综上可得 点评: 本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解,集合之间包含关系的应用,体现了分类讨论思 想的应用.

18. (16 分)设函数

的定义域为 E,值域为 F.

(1)若 E={1,2},判断实数 λ=lg 2+lg2lg5+lg5﹣ (2)若 E={1,2,a},F={0, },求实数 a 的值. (3)若

2

与集合 F 的关系;

,F=[2﹣3m,2﹣3n],求 m,n 的值.

考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由已知中函数 f(x)的解析式,将 x∈{1,2}代入求出集合 E,利用对数的运算性质求出 λ,进 而根据元素与集合的关系可得答案;
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(2)分别令 f(a)=0,即

,令 f(a)= ,即可求出实数 a 的值.

(3)求出函数 f(x)的导函数,判断函数的单调性,进而根据函数 f(x)的值域为[2﹣3m,2﹣3n], x∈[ , ],m>0,n>0 构造关于 m,n 的方程组,进而得到 m,n 的值. 解答: 解: (1)∵ ,∴ 当 x=1 时,f(x)=0;当 x=2 时,f(x)= ,∴ F={0, }.

∵ λ=lg 2+lg2lg5+lg5﹣16 ∴ λ∈F.…(5 分) (2)令 f(a)=0,即

2

=lg2(lg2+lg5)+lg5﹣ =lg2+lg5﹣ =lg10﹣ = .

,a=±1,取 a=﹣1;

令 f(a)= ,即 故 a=﹣1 或﹣2.…(9 分) (3)∵

,a=±2,取 a=﹣2,

是偶函数,且 f'(x)=

>0,

则函数 f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. ∵ x≠0,∴ 由题意可知: 或 0< .


2

,则有

,即



整理得 m +3m+10=0,此时方程组无解;

若 0<

,则有

,即



∴ m,n 为方程 x ﹣3x+1=0,的两个根.∵ 0< ∴ m= ,n= .…(16 分)

2

,∴ m>n>0,

点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性, 考查运算求解能力, 考查方程思想, 化归与转化思想. 属 于基础题. 19. (16 分)阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣① sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣② 由① +② 得 sin(α+β)+sin(α﹣β)=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③ α+β=A,α﹣β=B 有 α= 代入③ 得 sinA+cosB=2sin ,β= cos . sin ;

(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA﹣cosB=﹣2sin

(2)若△ ABC 的三个内角 A,B,C 满足 cos2A+cox2C﹣cos2B=1,直接利用阅读材料及(1)中的结论试 判断△ ABC 的形状. 考点: 归纳推理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 规律型;解三角形. 分析: (1)通过两角和与差的余弦公式,令 α+β=A,α﹣β=B 有 α=
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,β=

,即可证明结果.

(2)利用(1)中的结论和二倍角公式,cos2A﹣cos2B=2sin C,以及 A+B+C=π,推出 2sinAcosB=0.∠ B= .得到△ ABC 为直角三角形.

2

解答: 解: (1)证明:因为 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣① cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ② ① ﹣② 得 cos(α+β)﹣cos(α﹣β)=﹣2sinαsinβ③ … 令 α+β=A,α﹣β=B 有 α= 代入③ 得 cosA﹣cosB=﹣2sin ,β= sin , . .…(8 分)
2

(2)由 cos2A+cox2C﹣cos2B=1 得:cos2A﹣cos2B=2sin C. 2 由(1)中结论得:﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2sin C, 因为 A,B,C 为△ ABC 的内角,所以 A+B+C=π,

所以﹣sin(A+B)sin(A﹣B)=sin (A+B) . 又因为 0<A+B<π,所以 sin(A+B)≠0, 所以 sin(A+B)+sin(A﹣B)=0. 从而 2sinAcosB=0.…(10 分) 又因为 sinA≠0,所以 cosB=0,即∠ B= .

2

所以△ ABC 为直角三角形.…(12 分) 点评: 本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识,考查推 理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想等. 20. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣2a(﹣1) lnx(k∈N ,a∈R 且 a>0) , (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 k=2014 时,关于 x 的方程 f(x)=2ax 有唯一解,求 a 的值; (3)当 k=2013 时,证明:对一切 x>0∈(0,+∞) ,都有 f(x)﹣x >2a(
2 2 k *



)成立.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)对 k 分类讨论,利用导数的正负,可得函数的单调性; (2)构造 g(x)=f(x)﹣2ax,方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解,求导数,确定 函数的单调性,即可求得结论;
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(3) 当 k=2013 时, 问题等价于证明 (x∈(0,+∞) )的最小值是 解答: (1)解:由已知得 x>0 且 ,当且仅当

, 由导数可求 φ (x) =xlnx 时取到,由此可得结论. .

当 k 是奇数时,f′ (x)>0,则 f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 k 是偶数时,则 .

所以当 x∈(0, )时,f′ (x)<0,当 x∈( ,+∞)时,f′ (x)>0. 故当 k 是偶数时,f (x)在(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数.…(4 分) 2 (2)解:若 k=2014,则 f(x)=x ﹣2alnx. 记 g(x)=f(x)﹣2ax=x ﹣2alnx﹣2ax,∴ 若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解; 令 g′ (x)=0,得 x ﹣ax﹣a=0. 因为 a>0,x>0,所以 <0(舍去) , .
2 2



当 x∈(0,x2)时,g′ (x)<0,g(x)在(0,x2)是单调递减函数; 当 x∈(x2,+∞)时,g′ (x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数. 当 x=x2 时,g′ (x2)=0,g(x)min=g(x2) . 因为 g(x)=0 有唯一解,所以 g(x2)=0. 则

设函数 h(x)=2lnx+x﹣1, 因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x)=0 至多有一解. 因为 h(1)=0,所以方程(*)的解为 x 2=1,从而解得 a= …(10 分) (3)证明:当 k=2013 时,问题等价于证明 由导数可求 φ(x)=xlnx(x∈(0,+∞) )的最小值是 ,当且仅当 时取到,



,则





,当且仅当 x=1 时取到, 成立.故命题成立.…(16 分)

从而对一切 x∈(0,+∞) ,都有

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查学生分析解决问题的能力,难度大.

21. (10 分)已知(

+

) 的展开式中第 3 项与第 2 项系数的比是 4,

n

(1)求 n 的值; (2)展开式里所有 x 的有理项. 考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二项式系数的性质可得
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=4

,从而可求得 n 的值;

(2)利用二项展开式的通项公式 Tr+1=

(r=0,1,2,…,9) ,由 x 的幂指数

∈Z

即可求得 r 的值,从而可求得展开式里所有 x 的有理项. 解答: 解: (1)由题设,得 即 =4 ,…(3 分)

=4n,解得 n=9,n=0(舍去) .…(4 分)

(2)通项 Tr+1= 根据题意: ∈Z,解得 r=3 或 9
2

=

(r=0,1,2,…,9) , …(8 分) …(10 分)

∴ 展开式里所有 x 的有理项为 T4=84x ,T10=

点评: 本题考查二项式定理,考查二项展开式的通项公式,考查分析与运算能力,属于中档题. 22. (10 分)一个盒子里装有 3 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4;另一个盒子也装有 3 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5.现从一个盒子中任取一张卡片,其上面的数记为 x;再 从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随机变量

η=x+y, (1)求事 x≤y 发生的概率 (2)求 η 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)从一个盒子中任取一张卡片,其上面的数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数 记为 y,根据乘法原理得共有 2×3 种方法,满足 x≤y 共有 8 种方法,根据概率的公式得到要求的概 率. (2)随机变量 η=x+y,依题意 η 的可能取值是 5,6,7,8,9.结合变量对应的事件,根据相互独 立事件同时发生的概率做出概率的值,写出分布列和期望. 解答: 解析: (1)根据乘法原理得共有 2×3 种方法,满足 x≤y 共有 8 种方法,
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故事件 x≤y 发生的概率 P= . (2)依题意,可分别取 η=5、6、7、8、9 取,则有 P(η=5)= ∴ η 的分布列为 η 5 P

…(3 分)

= ,P(η=6)= ,P(η=7)= ,P(η=8)= ,P(η=9)= . …(8 分) 6 7 8 9

∴ Eη=5× +6× +7× +8× +9× =7

…(10 分)

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查相互独立事件同时发生的概率,考查利用概率知识 解决实际问题,本题是一个综合题目. 23. (10 分)已知数列{an}满足 a1=1,且 4an+1﹣anan+1+2an=9(n∈N ) . (1)求 a2,a3,a4 的值,并猜想{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 考点: 数学归纳法. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)由 a1=1,且 4an+1﹣anan+1+2an=9 即可求得 a2,a3,a4 的值,从而可猜想{an}的通项公式;
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*

(2)由(1)猜得 an=
*

,利用数学归纳法证明,分三步:① 当 n=1 时,猜想成立;② 设当 n=k

(k∈N )时,猜想成立,去证明 n=k+1 时猜想也成立(应用上归纳假设) ,③ 综上所述,即可证得猜 想成立. 解答: 解: (1)由 4an+1﹣anan+1+2an=9 得 an+1= ∵ a1=1, ∴ a2=2﹣(﹣ )= , 同理可求,a3= ,a4= ,猜想 an= …(5 分) =2﹣ ,

(2)证明:① 当 n=1 时,猜想成立.

② 设当 n=k(k∈N )时,猜想成立,即 ak= 则当 n=k+1 时,有 ak+1=2﹣ =2﹣

*

, = = ,

所以当 n=k+1 时猜想也成立. 综合① ② ,猜想对任何 n∈N 都成立. 点评: 本题考查数学归纳法,通过计算猜得 an= 中档题. 24. (10 分)已知边长为 6 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,E,F 为 AD、CD 上靠近 D 的三等分点,H 为 BB1 上靠近 B 的三等分点,G 是 EF 的中点. (1)求 A1H 与平面 EFH 所成角的正弦值; (2)设点 P 在线段 GH 上, =λ,试确定 λ 的值,使得二面角 P﹣C1B1﹣A1 的余弦值为 .
*

…(10 分) 是关键,考查推理、运算、猜想与证明的能力,属于

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1)由题意建立坐标系,求出平面 EFH 的法向量,利用对应向量的数量积求出线面角的余弦值, 再求其正弦值;
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(2)由题意先求出 P 点的坐标,确定面 A1B1C1 的法向量、面 PC1B1 的法向量,利用向量的夹角公 式,即可求得结论. 解答: 解:由题意,以 D1 为坐标原点,A1D1,D1C1,DD1 为 x,y,z 轴建立直角坐标系,可得 E(2,0, 6) ,F(0,2,6) ,H(6,6,4) ,A1(6,0,0) . (1)设平面 EFH 的法向量 =(1,x,y) , ∵ =(﹣2,2,0) , ∴ 由 ,可得 =(4,6,﹣2)

∴ 可取 =(1,1,5) ; ∵ =(0,6,4) ,

∴ cos<

>=

=

=

∴ 求 A1H 与平面 EFH 所成角的正弦值为

; =(5,5,﹣2) ,

(2)由题意知,G(1,1,6) ,C1(0,6,0) , ∵ =λ,∴

=(5λ,5λ,﹣2λ) ,解得 P(5λ+1,5λ+1,﹣2λ+6) , =(0,0,6)

已知面 A1B1C1 的法向量为

设面 PC1B1 的法向量为 =(p,q,r) , ∵ =(5λ+1,5λ﹣5,﹣2λ+6) , =(6,0,0)



∴ 可取 =(0,2λ﹣6,5λ﹣5) ∵ 二面角 P﹣C1B1﹣A1 的余弦值为 ,

∴ |cos<

>|=|

|=|

|=

∴ λ=



点评: 本题用向量法求线面角、面面角的问题,考查学生的计算能力,属于中档题.


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