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平面向量的数量积与平面向量应用举例


第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入

第三 节

平面
向量 的数 量积 与平

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

面向
量的 应用 举例

提 能 力

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[备考方向要明了]
考 什 么 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的 运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断
两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

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怎 么 考 平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一,

考查重点是向量的数量积运算,向量的垂直以及用向量
方法解决简单的几何问题等,既有选择题,填空题,又 有解答题,属中低档题目.近几年试题中与平面几何、 三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热 点,主要考查运算能力和数形结合思想.

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一、两个向量的夹角
1.夹角的定义:

定义 范围 已知两个非零 向量a,b,作 向量夹角θ的范围是 [0,π] , ??? ? ??? ? OA =a,OB =b,则∠AOB 当θ= 0或π 时,两向量共 =θ叫做向量a与b的夹角(如 π 图). 线;当θ= 2 时,两向量垂 直,记作a⊥b(规定零向量可 与任一向量垂直). 返回

2.射影的定义: 设θ是a与b的夹角,则 |b|cos θ 叫作向量b在a方向上的射 影. |a|cos θ 叫作a在b方向上的射影. 射影是一个实数,不是线段的长度,也不是向量.当 θ为锐角 时,它是正值;当θ为钝角 时,它是负值;当 θ=90° 时,它是0. 3.平面向量数量积的定义:

已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,把 |a||b|cosθ叫作a b 与b的数量积(或内积),记作 a· . 返回

4.数量积的几何意义: a与b的数量积等于 a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ 的
乘积,或 b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ 5.数量积的物理意义: 力对物体做功,就是 力F与其作用下物体的位移s的数量积F· . s 的乘积.

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二、向量数量积的性质 1.如果e是单位向量,则a· e=e· |a|cos θ(θ为a与e的夹角) a= b=0 . 2.a⊥b? a· 3.a· |a| ,|a|= a· . a= a 4.cosθ =
2



a· b (θ为a与b的夹角) . |a||b|

5.|a· ≤ |a||b|. b|

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三、数量积的运算律 1.交换律 a· b· . b= a (λa)·= b a· . (λb)

2.对λ∈R,λ(a·b)=

3.分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.

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四、数量积的坐标运算
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 1.a· a1b1+a2b2 . b= 2.a⊥b? a1b1+a2b2=0 . 3.|a|= a2+a2 . 1 2 4.cos θ=

a1b1+a2b2 (θ为a与b的夹角) . a2+a2 b2+b2 1 2 1 2

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1.已知向量a,b和实数λ,下列选项中错误的是 A.|a|= a· a C.λ(a· b)=λa·b B.|a· b|=|a|· |b| D.|a· b|≤|a|· |b|

(

)

解析:|a· b|=|a|· |b||cos θ|,只有a与b共线时,才有|a· b| =|a||b|,可知B是错误的. 答案:B

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2.(2011· 辽宁高考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k), a· (2a-b)=0,则k= ( )

A.-12
C.6

B.-6
D.12

解析:∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k), 由a· (2a-b)=0,得(2,1)· (5,2-k)=0 ∴10+2-k=0,解得k=12. 答案: D

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3.已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角为120° ,则b在a方向上的射影 为 A.2 C.-2 3 B.2 3 D.-2 ( )

3 解析:|b|cos θ=3cos 120° =-2.

答案: D

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??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 4.已知 OA=(-1,2), OB =(3,m), OA ⊥ AB ,则实数

m=________.

??? ? ??? ? ??? ? 解析:∵ OA=(-1,2), OB =(3,m),∴ AB =(4,m-2). ??? ??? ? ? ∵ OA⊥ AB ,∴-4+2(m-2)=0,∴m=4.

答案:4

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5.(2011· 安徽高考)已知向量a,b满足(a+2b)· (a-b)= -6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.
解析:设a与b的夹角为θ,依题意有(a+2b)· (a-b)=a2+a· b- 1 2b =-7+2cos θ=-6,所以cos θ=2,
2

π 因为0≤θ≤π,所以θ=3.

π 答案:3

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1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向 量的有向线段所形成的角,若起点不同,应通过移动,

使其起点相同,再观察夹角.
(2)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线且同 向时,其夹角为0,共线且反向时,其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意 两向量夹角的范围.

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2.相关概念及运算的区别

(1)若a、b为实数,且a· b=0,则有a=0或b=0,但a· b=0
却不能得出a=0或b=0. (2)若a、b、c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a· b =a· c及a≠0却不能推出b=c.

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(3)若a、b、c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于

向量a、b、c,而(a· c与a· c)一般是不相等的,向 b)· (b·
量的数量积是不满足结合律的. (4)若a、b∈R,则|a· b|=|a|· |b|,但对于向量a、b,却有 |a· b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.

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[精析考题] [例1] (2010· 广东高考)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=

(3,x)满足条件(8a-b)· c=30,则x=
A.6 C.4 B.5 D.3

(

)

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[自主解答]

8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),

所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30,
即18+3x=30,解得:x=4. [答案] C

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[例2]

π (2011· 江西高考)已知两个单位向量e1,e2的夹角为3,若向

量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·2=________. b
[自主解答] b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·2=(e1-2e2)· 1+ b (3e

π 2 4e2)=3e2-2e1·2-8e2.又因为e1,e2为单位向量,夹角为=3, e 1 1 所以b1·2=3-2×2-8=3-1-8=-6. b

[答案] -6

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 银川模拟)在平行四边形ABCD中,已知AB=2, ??? ??? ? ? AD=1,∠BAD=60° ,E为CD的中点,则 AE · BD =________.

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? ? ??? ??? ? ??? 1 ??? ? ? 解析: AE · =? AD +2 DC BD
?

? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ·BA + BC )= AD · + AD · ( BC BA

? ? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? ??? 3 +2 DC · +2 DC · =-2. BC BA
3 答案:-2

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2.(2012· 浙江模拟)已知△ABC的三边长AC=3,BC=4, ? ??? ??? ??? ? AB=5,P为AB边上任意一点,则 CP ·BA - BC )的最大值 ( 为________.

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解析:以C为原点,建立平面直角坐标系如图, ? ??? ??? ??? ? ??? ??? 则 CP ·BA - BC )= CP · =(x,y)· ( (0,3)=3y, CA 当y=3时,取得最大值9.

答案:9

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[冲关锦囊]

(1)解决与夹角有关问题时一定要注意两向量是否共起点, 否则会造成失误. (2)向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则,但并不 是所有乘法运算都可以推广到向量数量积的运算,如 (a· b)c≠a(b· c).

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[精析考题] [例3] (2011· 湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与 ( π B.6 3π D. 4 )

a-b的夹角等于 π A.-4 π C.4

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[自主解答]

2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),

a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3). (2a+b)· (a-b)=9, |2a+b|=3 2,|a-b|=3. 设所求两向量夹角为α,则cos α= 9 2 π = 2 ,∴α=4. 3 2×3

[答案] C

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本例条件不变,若(λa+b)⊥(a-b),试求λ的值.
解:λa+b=(λ+1,2λ-1),a-b=(0,3), 若(λa+b)和(a-b)的夹角为90° , ∴(λa+b)· (a-b)=0.∴3(2λ-1)=0. 1 ∴λ=2.

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[例4] (2011· 新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的 单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,

则k=________.

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[自主解答]

∵a与b是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1.

又ka-b与a+b垂直,∴(a+b)· (ka-b)=0, 即ka2+ka· b-a· 2=0. b-b

∴k-1+ka· b-a· b=0.
即k-1+kcos θ-cos θ=0.(θ为a与b的夹角) ∴(k-1)(1+cos θ)=0.又a与b不共线, ∴cos θ≠-1,∴k=1. [答案] 1

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012· 佛山质检)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b 的夹角为 π A.6 π C.3 π B.4 π D.2 ( )

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解析:由a=(1,1),2a+b=(4,2), 得b=(4,2)-2(1,1)=(2,0). 设向量a,b的夹角为θ, a· b 2 2 π 则cos θ=|a||b|= = ,θ=4. 2 2 2

答案:B

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4.(2012· 郑州模拟)若向量a、b满足|a|=|b|=1,且

(a+3b)· (a+5b)=20,则向量a,b的夹角为 (
A.30° C.60° B.45° D.90°

)

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解析:∵(a+3b)(a+5b)=a2+15b2+8a· b =16+8a· b=20. 1 ∴a· 2.设向量a,b的夹角为α, b= 1 则a· b=|a|· |b|cos α=2. 1 ∴cos α=2,∴α=60° .

答案:C

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5.(2012· 豫南九校联考)已知平面向量a,b满足|a|=1, |b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a- mb)⊥a”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

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解析:由(a-mb)⊥a ?a· (a-mb)=0 ?|a|2-ma· b=0

?1-m×1×2cos60°=0?m=1.
∴m=1是(a-mb)⊥a的充要条件. 答案:C

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[冲关锦囊] 1.求两非零向量的夹角时要注意
(1)向量的数量积不满足结合律; (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量 积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两 向量不能共线时两向量的夹角就是钝角.

2.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a· b及
|a|,|b|或得出它们的关系.

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[精析考题] (2011· 天津高考)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC, ??? ? ??? ∠A=90° ,AD=2,BC=1,P是腰上的动点,则| PA+3 PB | [例5] 的最小值为________.

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[自主解答]

(1)法一:以D为原点,分别以DA、

所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角 坐标系,设=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a), P(0,x), ??? ? ??? PA=(2,-x), PB =(1,a-x),

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??? ? ??? ∴ PA+3 PB =(5,3a-4x), ??? 2 ? ??? | PA+3 PB | =25+(3a-4x)2≥25, ??? ? ??? ∴| PA+3 PB |的最小值为5. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 法二:设 DP =x DC (0<x<1),∴ PC =(1-x) DC , ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? PA= DA - DP = DA -x DC ,
??? 1 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? PB = PC + CB =(1-x) DC +2 DA . ??? ? ??? 5 ??? ? ? ??? ∴ PA+3 PB =2 DA +(3-4x) DC .

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??? 2 ? ??? 2 25 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? ??? 5 2 | PA+3 PB | = 4 DA +2×2×(3-4x) DA · +(3-4x) · DC DC ??? 2 ? =25+(3-4x) DC ≥25. ??? ? ??? ∴| PA+3 PB |的最小值为5.
2

[答案] 5

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
6.(2012· 江西模拟)已知向量a=(2,1),a· b=10,|a+b| =5 2,则|b|= A. 5 C.5 B. 10 D.25 ( )

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解析:∵a=(2,1),∴|a|= 5. 又∵|a+b|=5 2,|a+b|2=a2+b2+2a· b, ∴(5 2)2=( 5)2+|b|2+2×10,|b|2=25,|b|=5.

答案: C

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7.(2012· 聊城质检)已知向量a=(sin (1)当a⊥b时,求|a+b|的值;

? x,1),b=?cos ?

1? x,-2?. ?

(2)求函数f(x)=a· (b-a)的最小正周期.

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解:(1)由已知得a· b=0, |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· 2= a2+b2 b+b = 1 3 sin2x+1+cos2x+4=2.

1 (2)∵f(x)=a· 2=sin xcos x-2-sin2x-1 b-a
? 1-cos 2x 3 π? 1 2 =2sin 2x- -2= 2 sin ?2x+4?-2, 2 ? ?

∴函数f(x)的最小正周期为π.

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[冲关锦囊]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问 题的处理方法 (1)|a|2=a2=a· a; (2)|a± 2=(a± 2=a2± b+b2; b| b) 2a· (3)若a=(x,y),则|a|= x2+y2.

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[精析考题] ??? ? ??? ? [例6] (2012· 枣庄模拟)已知向量 OA=a=(cos α,sin α), OB =b ??? ? =(2cos β,2sin β), OC =c=(0,d)(d>0),其中O为坐标原点,且 π 0<α<2<β<π. (1)若a⊥(b-a),求β-α的值; ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 3 OB · OC OA· OC ? ? (2)若 ??? =1, ??? = 2 ,求△OAB的面积S. | OC | | OC |

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[自主解答] a· 2=0, b-a

(1)由a⊥(b-a)?a· (b-a)=0?

又|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=|α-β|, 1 ∴2cos |α-β|=1?cos |α-β|=2. π π 由0<α<2<β<π,得β-α=3.

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??? ? ??? ? (2)∵| OA|=1,| OB |=2, ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 记〈 OB , OC 〉=θ1,〈 OA, OC 〉=θ2, ??? ? ∵ OC =(0,d),d>0,
? π? π π ∴θ1=β-2,θ2=2-α,且θ1,θ2∈?0,2?. ? ?

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??? ??? ? ? ? 1 OB · OC ??? ? 由 ??? =| OB |· θ1=1?cos θ1=2 cos | OC |
π π 得β-2=3,

??? ??? ? ? ? OA· OC ??? ??? =| OA |· θ2= 3?cos θ2= 3 ? 由 cos 2 2 | OC |
π π 得2-α=6, π 1 ∴∠AOB=β-α=2,∴S=2×2×1=1.

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
8.(2012· 朔州调研)质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛 顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60° 角,且F1,F2的大 小分别为2和4,则F3的大小为 A.2 7 C.2 B.2 5 D.6 ( )

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解析:由已知条件F1+F2+F3=0,则F3=-F1-F2,F2=F2+ 3 1
2 F2+2|F1||F2|cos 60° =28.

因此,|F3|=2 7.

答案: A

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? 9.(2012· 通化模拟)已知向量m=? ?

? ? x x x? ?,n=?cos ,cos2 ?. 3sin4,1 4 4? ? ?

(1)若m⊥n,求cos

?2π ? ? -x?的值; ?3 ?

(2)记f(x)=m· n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求函数f(A)的值域.

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解:(1)因为m⊥n,所以m· n=0, x x x 即 3sin4cos4+cos24=0,则 3 x 1 x 1 2 sin2+2cos2+2=0, 即sin
?x π? ?π x? 1 1 ? + ?=- ,则cos ? - ?=- , 2 2 ?2 6 ? ? 3 2? ?2π ? ? x? 1 2 π ? -x?=2cos ? - ?-1=- . 2 ?3 ? ? 3 2?

所以cos

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(2)由题意,得f(x)=m· n=sin ∴f(A)=sin
?A π? 1 ? + ?+ . ? 2 6? 2

?x π? 1 ? + ?+ . ?2 6 ? 2

由(2a-c)cos B=bcos C,及正弦定理得 (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C, ∴2sin Acos B=sin(B+C),

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∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sin A,且sin A≠0, 1 ∴cos B=2, π 2π ∴B=3,0<A< 3 .
?A π? π A π π 1 ∴6< 2 +6<2,2<sin ? 2 +6?<1. ? ? ? 3? ?1, ?. ∴函数f(A)的值域是 2? ?

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[冲关锦囊] 向量与其它知识结合,题目新颖而精巧,既符合考

查知识的“交汇处”的命题要求,又加强了对双基覆盖面
的考查,特别是通过向量坐标表示的运算,利用解决平 行、垂直、成角和距离等问题的同时,把问题转化为新 的函数、三角或几何问题.

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数学思想

数形结合思想在平面向量

中的应用

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[考题范例]

??? ? ??? ? (2011· 湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中,设 BC =2 BD , ??? ??? ? ? ??? ? ??? BE CA =3CE ,则 AD · =______.

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[巧妙运用]

? ??? ??? ? 由题意画出图形如图所示,取一组基底{ AB , AC }, ? ??? 1 ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 结合图形可得 AD =2( AB + AC ), BE = AE - AB ? ? 2 ??? ??? =3 AC - AB ,

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? ? ? ??? ??? 1 ??? ??? ?2 ??? ??? ? ? ? ? ∴ AD · =2( AB + AC )· AC - AB BE 3
?

? ? ?

? ? ? ? 1 ??? 2 1 ??? 2 1 ??? ??? =3 AC -2 AB -6 AB · AC
1 1 1 1 =3-2-6cos 60° =-4.
1 答案:-4

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[题后悟道]

解答本题首先根据已知画出图形,在图形中标出所
给条件,结合图形进行数量积运算,这种题型在近几年 高考中成为热点,数形结合思想就是将抽象的数学符号 语言与直观的图形语言进行熟练转化,从而实现代数问 题与图形问题之间的熟练转化,做到代数问题几何化、

几何问题代数化.

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