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广东省中山一中等七校2015届高三8月摸底考试数学理试题 (1)


2015 届

宝安中学,潮阳一中,桂城中学, 南海中学,普宁二中,中山一中,仲元中学

高三摸底考
2014.8

理科数学
命题人:普宁二中 陈左华 潮阳一中
黄绵凤

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题意要求的。
1 设集合 A={ x | x2 ? 3x ? 2 ? 0 },则满足 A A1 B3 C4 B={0,1,2}的集合 B 的个数是( D6

)

2.

i 为虚数单位,复平面内表示复数 z=(1+ i )(2+ i )的点在(
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限


3.“ a ? 1 ”是“函数 y ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? ”的(

A .必要不充分条件 C .充要条件

B . 充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件


4.右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为(

A. 11

B. 11.5

C. 12

D. 12.5 )

5.执行上图所示的程序框图,则输出的结果是(

A. 5
2

B. 7
3

C. 9

D. 11 )

6、由曲线 y ? x , y ? x 围成的封闭图形的面积为( A.

7 12

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 12

1

?x ? y ? 2 ? 7. 已知 O 是坐标原点,点 A ? ?1,0? ,若 M ? x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 ?y ? 2 ?
上的一个动点,则 OA ? OM 的取值范围是( A ) D 0,5

?1,5?

B 2,5

? ?

C ?1 , 2?

? ?

8.对于集合 A ,如果定义了一种运算“ ? ”,使得集合 A 中的元素间满足下列 4 个条件: (ⅰ) ?a, b ? A ,都有 a ? b ? A ; (ⅱ) ?e ? A ,使得对 ?a ? A ,都有 e ? a ? a ? e ? a ; (ⅲ) ?a ? A , ? a? ? A ,使得 a ? a? ? a? ? a ? e ; (ⅳ) ?a, b, c ? A ,都有 ? a ?b? ? c ? a ? ?b ? c ? , 则称集合 A 对于运算“ ? ”构成“对称集”.下面给出三个集合及相应的运算“ ? ”: ① A ? 整数 ,运算“ ? ”为普通加法;② A ? 复数 ,运算“ ? ”为普通减法; ③ A ? 正实数 ,运算“ ? ”为普通乘法.其中可以构成“对称集”的有( A①② B①③ C②③ D①②③

?

?

?

?

?

?

)

二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 (一)必做题(9~13 题)
9. 若 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

lg a 是奇函数,则实数 a =_________。

B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? b ? c , 3a ? 2b sin A . 10.在△ ABC 中,角 A ,
则角 B 的大小为 ;
1 1

11.已知某四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形,则它的体积为__________.
2

12.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的 7 个专业中,选择 3 个作为 自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生不同的填报专业志愿的方法 有 种。

13.若实数 a、b、c 成等差数列,点 P(–1, 0)在动直线 l:ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N(0, 3),则线段 MN 长度的最小值是

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)
14、(坐标系与参数方程选做题 )在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1 与 ? cos ? ? 1 的公共点到极点的距离为 __________

2

15、如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6,则 MP·NP= . A M C B P O B

D N

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 1 ? ? 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ( x ? R, 0 ? ? ? )的图象过点 M ( , 3) . 3 2 2 (1)求 ? 的值;
(2)设 ? , ? ? [0,

?
2

] , f (3? ? ? ) ?

10 5? 6 , f (3? ? ) ? ? , 求 sin(? ? ? ) 的值. 13 2 5

17. (本小题满分 12 分)2014 年巴西世界杯的周边商品有 80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层 层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品,为了解甲、乙两厂的产品质量,以确定这一产品最终的 供货商,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

3

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂 生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其均 值(即数学期望)。

18. (本小题满分 14 分)

?ABC ? 600 , 如图 6, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形, 且 AB ? 1 ,BC ? 2 ,
E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD .⑴证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ;
⑵若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值.
B1 A1 C1
A
B

D1

D

E

C

图 6

4

19 .(本小题满分 14 分)
2 已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1)求 a1 (2) 求数列 {an } 的通项; (3) 若 bn ?

1 an

2

(n ? N ? ) , Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn ,求证: Tn <

5 3

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 与两圆 x2 ? ( y ? 4)2 ? 1, 圆 C 的圆心轨迹方程为 L, 设 L 上的点与点 M ( x, y ) x2 ? ( y ? 2)2 ? 1外切, 的距离的最小值为 m ,点 F (0,1) 与点 M ( x, y ) 的距离为 n . (Ⅰ)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (Ⅱ)求满足条件 m ? n 的点 M 的轨迹 Q 的方程; (Ⅲ)试探究轨迹 Q 上是否存在点 B( x1 , y1 ) ,使得过点 B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 若存在,请求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由。

1 。 2

5

21. (本小题满分 14 分)

已知函数f ( x) ? ke x ? x 2 (其中k ? R, e是自然对数的底数) ( 1 )若k ? ?2, 判断函数f ( x)在区间( 0, ? ?)上的单调性。 (2)若函数f ( x)有两个极值点x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ), 求k的取值范围。 (3)在(2)的条件下,试证明: 0 ? f ( x1 ) ? 1

6

2015 届

宝安中学,潮阳一中,桂城中学, 南海中学,普宁二中,中山一中,仲元中学

高三摸底考

理科数学答案 2014.8
一、选择题: 1 C2.A3. B4. C 5. C 6、D7. A 8.B

二、填空题: 9.

1 ? ,10 60 10

11.

4 3

12.180

13. 4 ? 2

14、

1? 5 15、 2

25 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解:(1)依题意得 2sin( ∵0 ?? ? ∴? ?

?

? 3 ? ? ) ? 3 , sin( ? ? ) ? ,????2 分 6 6 2
6 ? 2? ?????4 分 3

?
2



?
6

?? ?

?

?
6

?

?
3

,∴ ? ?

?
6

?????????5 分

10 , 2 13 5? 6 ) ? 2sin( ? ? ? ) ? ?2sin ? ? ? , 又∵ f (3? ? 2 5
(2)∵ f (3? ? ? ) ? 2sin(? ?

?

) ? 2 cos ? ?

∴ cos ? ?

∵ ? , ? ? [0,

?

5 ,???7 分 13 3 ∴ sin ? ? ,???9 分 5

2

] ,???????
2

∴ sin ? ? 1 ? cos

? ? 1 ? ( )2 ?

5 13

12 3 2 4 2 , cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? ,??10 分 13 5 5
12 4 5 3 33 ? ? ? ? ?????12 分 13 5 13 5 65

∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)乙厂生产的产品总数为 5 ? (2)样品中优等品的频率为

14 ? 35 ;………….2 分 98

2 2 ,乙厂生产的优等品的数量为 35 ? ? 14 ;????4 分 5 5

(3) ? ? 0, 1, 2 , ……………………..5 分

P(? ? i) ?

i 2 ?i C2 C3 (i ? 0, 1, 2) ,………….8 分 C52

? 的分布列为

?

0

1

2

7

P

3 10

3 5

1 10
……………….11 分

均值 E (? ) ? 1 ?

3 1 4 ? 2 ? ? ………………….12 分 5 10 5

⒙(本小题满分 14 分) ⑴依题意, BE ? EC ?

1 BC ? AB ? CD ??1 分,所以 ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 600 ??2 分,又 2

?CED ?

1 ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 ??3 分, 2

0 所 以 ?AED ? 90 , DE ? AE ? ? 4 分 , 因 为 AA1 ? 平 面 A B C D, DE ? 平 面 A B C D, 所 以

AA1 ? DE ??5 分,因为 AA1 ? AE ? A ,所以 DE ? 平面 A1 AE ??6 分,
因为 DE ? 平面 A1 DE ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ??7 分. ⑵取 BB1 的中点 F ,连接 EF 、 AF ??8 分,连接 B1C ,则 EF // B1C // A1 D ??9 分,所以 ? AEF 是 异面直线 AE 与 A1 D 所成的角??10 分。 因为 DE ? 3 , A1 E ?

A1 A 2 ? AE 2 ,所以 A1 A ? 2 ??11 分,

BF ?

1 6 2 , AF ? EF ? ??12 分, ?1 ? 2 2 2

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 ??14 分(列式计算各 1 分). ? 2 ? AE ? EF 6 (方法二)以 A 为原点,过 A 且垂直于 BC 的直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴、 AA1 所在直线为 z 建立
所以 cos?AEF ? 右手系空间直角坐标系??1 分, 设 AA1 ? a ( a ? 0 ),则 A(0 , 0 , 0) , D(0 , 2 , 0) , A1 (0 , 0 , a) , E (

3 1 , , 0) ??3 分. 2 2

? 3 1 m? n ?0 ?n1 ? AE ? ⑴设平面 A1 AE 的一个法向量为 n1 ? (m , n , p) ,则 ? ?4 分, 2 2 ?n ? AA ? ap ? 0 1 ? 1
p ? 0 ,取 m ? 1 ,则 n ? ? 3 ,从而 n1 ? (1 , ? 3 , 0) ??5 分,
同理可得平面 A1 DE 的一个法向量为 n 2 ? ( 3 , 1 ,

2 ) ??7 分, a

直接计算知 n1 ? n2 ? 0 ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ??8 分. ⑵由 DE ? A1 E 即 ( 解得 a ?

3 2 1 3 1 ) ? (2 ? ) 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? a 2 ??9 分, 2 2 2 2

2 ??10 分。

8

AE ? (

3 1 , , 0) ??11 分, 2 2 A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) ??12 分,
| AE ? A1 D | | AE | ? | A1 D | ? 6 ??14 分. 6

所以异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值 cos? ?

注:由于给分板按方法一设置,即第⑴问 7 分,第⑵问 7 分。若学生按方法二答题,得分 ? 7 时,得分记在 第⑴问;得分 ? 7 的部分,记在第⑵问。
2 19 解:(1)令 n ? 1 ,得 a1 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 ,? a1 ? 0 ? a1 ? 1 ???2 分

2 (2)又 an ? an ? 2S n ???①

2 有 an ?1 ? an?1 ? 2S n?1 ???? ②????????3 分

②-①得 an?1 ? S n?1 ? S n ???????4 分

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 0 ∴ an?1 ? an ? 1 ????????6 分 ∴ an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n ??????????8 分 5 (3)n=1 时 b1 =1< 符合?????????9 分 3
n ? 2 时,因为 1 ? 2
n
所以

1 n2 ? 1 4

?

1 ? ,………………………………11 分 ? 1 ? 2? ? ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ………….13 分 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5
5 ??????????14 分 3

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn <

第二问方法不唯一,请酌情给分 20.(本小题满分 14 分) 解析:(Ⅰ)两圆半径都为 1,两圆心分别为 C1 (0, ?4) 、 C2 (0, 2) ,由题意得 CC1 ? CC2 ,可知圆心 C 的 轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线, C1C2 的中点为 (0, ?1) ,直线 C1C2 的斜率等于零,故圆心 C 的轨迹是线段

C1C2 的垂直平分线方程为 y ? ?1 ,即圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y ? ?1 。(4 分)
(Ⅱ)因为 m ? n ,所以 M ( x, y ) 到直线 y ? ?1 的距离与到点 F (0,1) 的距离相等,故点 M 的轨迹 Q 是以

p 2 y ? ?1 为准线, 点 F (0,1) 为焦点, 顶点在原点的抛物线, ? 1 , 即 p?2, 所以, 轨迹 Q 的方程是 x ? 4 y 2
(8 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)得 y ?

1 2 x , 4

y? ?

1 1 x , 所 以 过 点 B 的 切 线 的 斜 率 为 k ? x1 , 切 线 方 程 为 2 2

y ? y1 ?

1 1 2y x1 ( x ? x1 ) ,令 x ? 0 得 y ? ? x12 ? y1 ,令 y ? 0 得 x ? ? 1 ? x1 , 2 2 x1

9

因为点 B 在 x2 ? 4 y 上,所以 y1 ? 故y??

1 2 x1 4

1 2 1 x1 , x ? x1 4 2

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ? 设S ?

1 1 1 1 1 3 | x || y |? ? x12 x1 ? x1 2 2 4 2 16

1 1 3 1 x1 ? 得 x1 ? 2 ,所以 x1 ? ?2 ,即 2 16 2

当 x1 ? 2 时, y1 ? 1 ,当 x1 ? ?2 时, y ? 1 , 所以点 B 的坐标为 (2,1) 或 (?2,1) . (14 分)

21. ( 1 )解:k=-2,f(x) = ? 2e x ? x 2 , 则f?(x)= ? 2e x ? 2 x............1分 当x ? (0, +?)时,f?(x)= ? 2e x ? 2 x ? 0...................................3分 故函数f ( x)的单调递减区间为(0, +? ) ...................................4分 (2)函数f ( x)有两个极值点,即方程f?(x)=ke x ? 2 x =0有两个实根, 2x 2x 2-2 x ? x)= x ............5分 有两个实根,设( ? x)= x , 则? ( x e e e ? x)>0,函数( 当x ? 0时,? ( ? x)单调递增且( ? x)<0; ............6分 即方程k = ? x)>0,函数( 当0 ? x ? 1时,? ( ? x)单调递增且( ? x)>0; ............7分 ? x)<0,函数( 当x ? 1时,? ( ? x)单调递减且( ? x)>0; ............8分 2x 2 有两个实根,只需 0<k< ? ( 1 ) = . ex e 2 故实数k的取值范围是(0, ) ............9分 e (3)由(2)可知,函数f(x)的两个极值点x1 ,x2满足 要使k = 0<x1 <1<x2 由f?(x1 )=ke x1 ? 2 x1 =0得k ? 所以f(x1 )=ke x1 ? x12 = 2 x1 ............10分 e x1

2 x1 x1 2 e ? x12 =x1 (2-x1 ) ? ?(x1 ? 1 ) +1............12分 x1 e 2 由于x1 ? (0,1), 所以0 ? ?(x1 ? 1 ) +1 ? 1............13分 所以0 ? f (x1 )+1 ? 1............14分
第二问答案中更正:方程有两个不等实根,第二问也可二次求导,请酌情给分。

10


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